函数

导数等于0说明函数在这一点的切线斜率为0，既切线平行于x轴，而且函数在这一有极值。如果函数在整个定义域上的导数都为零，那么函数为常量函数。导数等于0表明该函数可能存在极值点。一阶导数等于0只是有极值的必要条件，不是充分条件，也就是说，有极值的地方，其切线的斜率一定为0；切线斜率为0的地方，不一定是极值点。几何意义：从几何的角度来讲，函数在某一点的导数就等于过这一点做函数图像的切线，其切线的斜率。因此在一点的导数为0就相当于过这一点的切线斜率为0，斜率为0的直线就是一条水平线。导数定义介绍：导数是用来反映函数局部性质的工具。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源自于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理表明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

表明该函数可能存在极值点。一阶导数等于0只是有极值的必要条件，不是充分条件，也就是说：有极值的地方，其切线的斜率一定为0；切线斜率为0的地方，不一定是极值点。例如，y = x^3, y"=3x^2，当x=0时，y"=0,但x=0并不是极值点。所以，在一阶导数等于0的地方，还必须计算二阶导数，才能作出充分的判断。

表明该函数可能存在极值点。一阶导数等于0只是有极值的必要条件，不是充分条件，也就是说：有极值的地方，其切线的斜率一定为0；切线斜率为0的地方，不一定是极值点。例如，y=x^3,y"=3x^2，当x=0时，y"=0,但x=0并不是极值点。所以，在一阶导数等于0的地方，还必须计算二阶导数，才能作出充分的判断。

要记住一些公式，如C′=0，(x^α)＇=αx^(α-1)，(e^x)=e^x，(lnx)＇=1/x，(logaX)=1/xlna(sinx)＇=cosx，(cosx)＇=-sinx。

所谓n阶导数的计算实际就是要设法求出以n为参数的导函数表达式。求n阶导数的参数表达式并没有一般的方法，最常用的方法是，先按导数计算法求出若干阶导数，再设法找出其间的规律性，并导出n的参数关系式。 函数的n阶导数怎么求 y " = 2sinxcosx = sin2x y "" = 2cos2x y """ = -4sin2x y^(4) = -8cos2x 一般地，y^(n) = 2^(n-1) * sin[2x+(n-1)兀/2] 例如： ^^^y=lnx/x y"=(1-lnx)/x^2=1/x^2-lnx/x^2 y"=-2/x^3-(1-2lnx)/x^3=-3/x^3+2lnx/x^3 记y(n)=(-1)^(n+1)*[ an- n!dulnx]/x^(n+1) 有zhiy(n+1)=(-1)^n*an (n+1)/x^(n+2)+(-1)^n* n![1- (n+1)lnx]/x^(n+2) a(n+1)=(n+1)an+n! a1=1，a2=3，a3=11，a4=50，a5=274 n阶导数是什么 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 所谓n阶导数，其实是指对函数进行n次求导，就求函数的高阶导数中的n阶导数。关于n阶导数的常见公式可以分成两类：一类是常见导数，也就是初等函数的特殊形式的n阶导数;另一类是复合函数，包括四则运算的n阶导数公式。

导数公式推导过程如下：y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。可以知道，当a=e时有y=e^x y"=e^x。常用导数：y = C(C为常数) , y" = 0。y=xn, y" = nxn-1。y = ax, y" = lna*ax。y = ex, y" = ex。y = logax , y" = 1 / (x*lna)。y = lnx , y" = 1/x。y = sinx , y" = cosx。y = cosx , y" = -sinx。y = tanx , y" = 1/cos2x = sec2x。y = cotx , y" = -1/sin2x= -csc2x。y = arcsinx , y" = 1 / √(1-x2)。y = arccosx , y" = - 1 /√(1-x2)。y = arctanx , y" = 1/(1+x2)。

设f(x)=sinx(f(x+dx)-f(x))/dx=(sin(x+dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx+sindxcosx－sinx)/dx因为dx趋近于0，cosdx趋近于10(f(x+dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于(f(x+dx)-f(x))/dx＝cosx即sinx的导函数为cosx同理可得设f(x)=cos(f(x+dx)-f(x))/dx=(cos(x+dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsindx－sinx)/dx因为dx趋近于0，cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于(f(x+dx)-f(x))/dx＝-sinx即cosx的导函数为-sinx拓展资料三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

高数常见函数求导公式如下图：求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。一阶导数的变化如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在实数域上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数f在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

要求一个函数的导数，可以使用以下方法：1. 使用导数定义计算导数：根据导数的定义，函数 f(x) 在某一点 x 处的导数可以通过计算极限来求得。导数的定义是 f"(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x)) / h]，这个极限表示在 x 点的邻域内，函数在 x 处的变化率。2. 使用基本导数公式：有一些常见的函数的导数可以使用基本导数公式来计算。例如，对于多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等，可以使用相应的导数公式直接计算导数。3. 使用导数规则：导数有一些常用的规则可以简化计算。例如，和法则（求和函数的导数等于各个函数的导数的和）、差法则（求差函数的导数等于各个函数的导数的差）、乘法法则（求乘积函数的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数）、商法则（求商函数的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方）等。4. 使用链式法则：链式法则适用于复合函数的导数求导。根据链式法则，若 y = f(g(x)) 是一个复合函数，则其导数可以用导函数 f"(g(x)) 和 g"(x) 的乘积表示。5. 数值方法：当无法使用解析方法求出函数的导数时，可以使用数值方法来近似计算导数。常用的数值方法包括中心差分法、一阶前向差分法和一阶后向差分法等。需要注意的是，不同类型的函数可能需要使用不同的公式和方法来求导数。对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来计算导数。掌握导数的基本定义、导数公式和规则是求导数的关键。

三角函数的半角公式如下：sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

an等于二次函数，b=λ，c=0,a=-2,x=n，所以an=-2n平方+λn=n（-2n+λ）经过点（0，0）（λ/2,0)又an为递减数列，所以λ/2>0，且对称轴x=λ/4处取得最大值f（λ/4)>0,解得λ>2根号2

sincostan关系对边口诀如下：正弦sin=对边比斜边、余弦cos=邻边比斜边、正切tan=对边比邻边。sin、cos、tan关系对边：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

sin(正弦)是对边比斜边 cos(余弦)是邻边比斜边 tan(正切)是对边比邻边 cot(余切)是邻边比对边 可以吗?

　　三角函数有三种分别是：正弦sin=对边比斜边、余弦cos=邻边比斜边、正切tan=对边比邻边。正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。 　　三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

正弦sin=对边比斜边。余弦cos=邻边比斜边。正切dutan=对边比邻zhi边。tan是对边比邻边，sin对边比斜边，cos是邻边比斜边。直角三角形中，zhi正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边。扩展资料：三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

一个直角三角形中，30度角对的边等于斜边的一半，直角三角形中，sin30度等于对边比斜边，等于二分之一。

分类: 教育/科学 >> 学习帮助 问题描述: 对边是不是角所对的哪个边？？？？邻边是不是与角相邻的那个比较短的边？？斜边是不是就是那个与角相邻比较长的边啊？？我很晕呼各位给我个了断吧~~具体点好吗我加分的？？？？？ 解析: 斜边只有直角三角形才有这中叫法,是直角所对的边. 对边和邻边就通用了,角对着的是对边,相邻的两个边都叫邻边

sin:对边比斜边，cos度:邻边比斜边，tan:对边比邻边。

三角函数分别是正弦、余弦、正切、余切，分别对应的边是：正弦是对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边。三角函数的诞生源于人们对测量技术的需求。古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，c.190c.120BC）为了测量天球上的角度和距离，制作了人类历史上第一张和弦表（atableofchords），也被称为三角学的创始人。三角函数（也叫做"圆函数"）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。三角函数分别是正弦、余弦、正切、余切，分别对应的边是：正弦是对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边。三角函数三角函数的诞生源于人们对“测量技术”的需求。古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，c.190_c.120BC）为了测量天球上的角度和距离，制作了人类历史上第一张“和弦表”（atableofchords），也被称为三角学的创始人。所谓“和弦”即圆上两点之间的连线（更一般的也可以指任意曲线上的两点连线），如图1所示，设∠AOB=α，是圆上的圆心角，则AB即为圆心角所对应的和弦长度??公元4-5世纪，三角学在印度得到了非常重要的发展，在一本名为Siddhānta（译为：悉达多，字面意思为“既定的意见、教义、公理或被承认的真理”）的天文学著作中正确的给出了正弦的定义。而后，印度数学家、天文学家Aryabhata（公元476-550）在他的著作Aryabhatiya中以jya表示正弦sin，kojya表示余弦cos，utkrama-jya表示正矢（1减去某角度的余弦，即1-cosθ），otkramjya表示反正弦arcsine。公元9世纪时，阿拉伯-波斯数学家、天文学家花刺子密（Mu_ammadibnMūsāal-Khwārizmī，c._780_c.850）第一次做出了正切表；阿拉伯马尔瓦齐（AhmadibnAbdallahHabashHasibMarwazi,766-869）给出了余切，并完整的应用了正弦、余弦、正切、余切；巴塔尼（Al-Battani,c.858_929）发现了正割(sec)和余割(csc)函数，并制作了第一张从1°到90°每个度数的余割表。至此，六个三角函数全部具备了，三角函数之间的相互运算（如和差化积、积化和差）也具备了。

对边比邻边是正切函数。 直角三角形中，正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边。 1、正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。 2、余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。 3、在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。 以上可以简记为：正弦sin=对边比斜边；余弦cos=邻边比斜边；正切tan=对边比邻边。 三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

直角三角形三角函数如下：正弦sin=对边比斜边。余弦cos=邻边比斜边。正切tan=对边比邻边。1、正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。2、余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。3、在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。cos公式的其他资料：它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角。（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

在直角三角形中，30度角对的边等于斜边的一半。30： 对边/斜边=1/2 60： 对边/斜边=(根号3)/2 利用了勾股定理

假如有一个直角三角形 ABC,其中 a、b 是直角边，c 是斜边。正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c；余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c；正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b。扩展资料1、互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.2、常用的诱导公式设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）有关的定理：1、正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。2、余弦定理：3、在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。参考资料来源：百度百科-正弦参考资料来源：百度百科-余弦参考资料来源：百度百科-正切

sin(正弦)是对边比斜边 cos(余弦)是邻边比斜边 tan(正切)是对边比邻边 cot(余切)是邻边比对边 可以吗?

画一个三角形，三个顶点分别是ABC，其对边分别是abc，假设角C=90度，角B=30度，角A=60度，那么sin30度=AC/AB即对边比斜边，同理cos30度=BC/AB即邻边比斜边，tan30度=AC/BC即对边比邻边。楼主看看明白吗？

直角三角形中，sin对边比斜边，cos邻边比斜边，tan对边比邻边

1、正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。2、余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如图所示），∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。3、在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。以上可以简记为：正弦sin=对边比斜边余弦cos=邻边比斜边正切tan=对边比邻边扩展资料三角函数（英语：Trigonometric functions）是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。参考资料：百度百科-三角函数

三角函数分别是正弦、余弦、正切、余切，分别对应的边是： 1、正弦是对边比斜边； 2、余弦是邻边比斜边； 3、正切是对边比邻边； 4、余切是邻边比对边。

1、邻边比斜边是什么函数。 2、三角形邻边比斜边是什么。 3、三角函数邻边比斜边是什么。 4、直角三角形邻边比斜边是什么。1.邻边比斜边是余弦(cos)。 2.在直角三角形中，和直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。 3.直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。 4.若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。 5.其中对边比斜边是正弦（sin），邻边比斜边是余弦（cos），对边比邻边是正切（tan），邻边比对边是余切（cot）。

画一个三角形,三个顶点分别是ABC,其对边分别是abc,假设角C=90度,角B=30度,角A=60度,那么sin30度=AC/AB即对边比斜边,同理cos30度=BC/AB即邻边比斜边,tan30度=AC/BC即对边比邻边.楼主看看明白吗?

是tan（正切）。Tan是正切的意思，角θ在任意直角三角形中，与θ相对应的对边与邻边的比值叫做角θ的正切值。若将θ放在直角坐标系中即tanθ=y/x。tanA=对边/邻边。在直角坐标系中相当于直线的斜率k。sin（正弦）是对边比斜边，cos（余弦）是邻边比斜边，tan（正切）是对边比邻边。三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数。以上内容参考：百度百科——三角函数

数学 mathematics, maths(BrE), math(AmE) 公理 axiom 定理 theorem 计算 calculation 运算 operation 证明 prove 假设 hypothesis, hypotheses(pl.) 命题 proposition 算术 arithmetic 加 plus(prep.), add(v.), addition(n.) 被加数 augend, summand 加数 addend 和 sum 减 minus(prep.), subtract(v.), subtraction(n.) 被减数 minuend 减数 subtrahend 差 remainder 乘 times(prep.), multiply(v.), multiplication(n.) 被乘数 multiplicand, faciend 乘数 multiplicator 积 product 除 divided by(prep.), divide(v.), division(n.) 被除数 dividend 除数 divisor 商 quotient 等于 equals, is equal to, is equivalent to 大于 is greater than 小于 is lesser than 大于等于 is equal or greater than 小于等于 is equal or lesser than 运算符 operator 数字 digit 数 number 自然数 natural number 整数 integer 小数 decimal 小数点 decimal point 分数 fraction 分子 numerator 分母 denominator 比 ratio 正 positive 负 negative 零 null, zero, nought, nil 十进制 decimal system 二进制 binary system 十六进制 hexadecimal system 权 weight, significance 进位 carry 截尾 truncation 四舍五入 round 下舍入 round down 上舍入 round up 有效数字 significant digit 无效数字 insignificant digit 代数 algebra 公式 formula, formulae(pl.) 单项式 monomial 多项式 polynomial, multinomial 系数 coefficient 未知数 unknown, x-factor, y-factor, z-factor 等式，方程式 equation 一次方程 simple equation 二次方程 quadratic equation 三次方程 cubic equation 四次方程 quartic equation 不等式 inequation 阶乘 factorial 对数 logarithm 指数，幂 exponent 乘方 power 二次方，平方 square 三次方，立方 cube 四次方 the power of four, the fourth power n次方 the power of n, the nth power 开方 evolution, extraction 二次方根，平方根 square root 三次方根，立方根 cube root 四次方根 the root of four, the fourth root n次方根 the root of n, the nth root 集合 aggregate 元素 element 空集 void 子集 subset 交集 intersection 并集 union 补集 complement 映射 mapping 函数 function 定义域 domain, field of definition 值域 range 常量 constant 变量 variable 单调性 monotonicity 奇偶性 parity 周期性 periodicity 图象 image 数列，级数 series 微积分 calculus 微分 differential 导数 derivative 极限 limit 无穷大 infinite(a.) infinity(n.) 无穷小 infinitesimal 积分 integral 定积分 definite integral 不定积分 indefinite integral 有理数 rational number 无理数 irrational number 实数 real number 虚数 imaginary number 复数 complex number 矩阵 matrix 行列式 determinant 几何 geometry 点 point 线 line 面 plane 体 solid 线段 segment 射线 radial 平行 parallel 相交 intersect 角 angle 角度 degree 弧度 radian 锐角 acute angle 直角 right angle 钝角 obtuse angle 平角 straight angle 周角 perigon 底 base 边 side 高 height 三角形 triangle 锐角三角形 acute triangle 直角三角形 right triangle 直角边 leg 斜边 hypotenuse 勾股定理 Pythagorean theorem 钝角三角形 obtuse triangle 不等边三角形 scalene triangle 等腰三角形 isosceles triangle 等边三角形 equilateral triangle 四边形 quadrilateral 平行四边形 parallelogram 矩形 rectangle 长 length 宽 width 菱形 rhomb, rhombus, rhombi(pl.), diamond 正方形 square 梯形 trapezoid 直角梯形 right trapezoid 等腰梯形 isosceles trapezoid 五边形 pentagon 六边形 hexagon 七边形 heptagon 八边形 octagon 九边形 enneagon 十边形 decagon 十一边形 hendecagon 十二边形 dodecagon 多边形 polygon 正多边形 equilateral polygon 圆 circle 圆心 centre(BrE), center(AmE) 半径 radius 直径 diameter 圆周率 pi 弧 arc 半圆 semicircle 扇形 sector 环 ring 椭圆 ellipse 圆周 circumference 周长 perimeter 面积 area 轨迹 locus, loca(pl.) 相似 similar 全等 congruent 四面体 tetrahedron 五面体 pentahedron 六面体 hexahedron 平行六面体 parallelepiped 立方体 cube 七面体 heptahedron 八面体 octahedron 九面体 enneahedron 十面体 decahedron 十一面体 hendecahedron 十二面体 dodecahedron 二十面体 icosahedron 多面体 polyhedron 棱锥 pyramid 棱柱 prism 棱台 frustum of a prism 旋转 rotation 轴 axis 圆锥 cone 圆柱 cylinder 圆台 frustum of a cone 球 sphere 半球 hemisphere 底面 undersurface 表面积 surface area 体积 volume 空间 space 坐标系 coordinates 坐标轴 x-axis, y-axis, z-axis 横坐标 x-coordinate 纵坐标 y-coordinate 原点 origin 双曲线 hyperbola 抛物线 parabola 三角 trigonometry 正弦 sine 余弦 cosine 正切 tangent 余切 cotangent 正割 secant 余割 cosecant 反正弦 arc sine 反余弦 arc cosine 反正切 arc tangent 反余切 arc cotangent 反正割 arc secant 反余割 arc cosecant 相位 phase 周期 period 振幅 amplitude 内心 incentre(BrE), incenter(AmE) 外心 excentre(BrE), excenter(AmE) 旁心 escentre(BrE), escenter(AmE) 垂心 orthocentre(BrE), orthocenter(AmE) 重心 barycentre(BrE), barycenter(AmE) 内切圆 inscribed circle 外切圆 circumcircle 统计 statistics 平均数 average 加权平均数 weighted average 方差 variance 标准差 root-mean-square deviation, standard deviation 比例 propotion 百分比 percent 百分点 percentage 百分位数 percentile 排列 permutation 组合 combination 概率，或然率 probability 分布 distribution 正态分布 normal distribution 非正态分布 abnormal distribution 图表 graph 条形统计图 bar graph 柱形统计图 histogram 折线统计图 broken line graph 曲线统计图 curve diagram 扇形统计图 pie diagram

原式=2^[(log2 12) - 1]=2^(log2 12) ÷ 2^1，(同底数相除，指数相减)=12 ÷ 2=6用对数的恒等式：

取一个相同底数(通常取10,lg),真数分别为原对数的真数和底数,相除 比如log28 则化为lg8/lg2

1.当底数相同的时候：当0<a<1时，真数越大（越小），函数值越小（越大），如㏒1/2 3>㏒1/2 5.当a>1时，真数越大（越小），函数值越大（越小），如㏒2 3<㏒2 5.2.当底数不相同的时候：①当真数相同时，⑴当0<a<1时，当真数大于0小于1时，底数越大，函数值越大，当真数大于1时，底数越大，函数值越小。⑵当a>1时，当真数大于0小于1时，底数越大，函数值越小，当真数大于1时，底数越大，函数值越大。②当真数不相同时，应该将两个对数相除，利用换底公式，常换成底为e，再运用上述方法。要熟练掌握对数的有关性质，多做练习，才能运用自如。

指数指数在数学中代表着次方。具体的说，指数是有理数乘方的一种运算形式，它表示的是几个相同因数相乘的关系如：2的3次方=2×2×2=8。2的3次方这里2是底数；3是指数；8是幂。计算方法：①同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。③幂的幂，底数不变，指数相乘。④幂的乘方(a^m)^n=a^(mn)，与积的乘方(ab)^n=a^nb^n。指数函数一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数(exponential function) 。也就是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。对数定义如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。①特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。②称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。③零没有对数。④在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。计算公式：①②③④⑤⑥⑦⑧

注释：^是次方的意思。第一题，ln(a-b)和ln(a+b)是没有公式的，不存在正确不正确的问题。第二题，求极限这道把x^(1+x)看做x*(x^x)，使得左边变成x*[(x^x)/((1+x)^x)]，只要把负1提出来，就可以构成极限公式。同时，极限法则里边有lim(a*b)=lima*limb，故而可以变换为limx*[e^(-1)]，从而使得上式的结果成为0。第三题，两式相除，可以的话，运用罗彼得法则，运用两次以后，发现(1+1/n)^n比1/n的值为无穷大。这个答案你没给，要么是你没写出来，要么是我算错了。That is all.

1.当底数相同的时候：当0<a<1时，真数越大（越小），函数值越小（越大），如㏒1/2 3>㏒1/2 5.当a>1时，真数越大（越小），函数值越大（越小），如㏒2 3<㏒2 5.2.当底数不相同的时候：①当真数相同时，⑴当0<a<1时，当真数大于0小于1时，底数越大，函数值越大，当真数大于1时，底数越大，函数值越小。⑵当a>1时，当真数大于0小于1时，底数越大，函数值越小，当真数大于1时，底数越大，函数值越大。②当真数不相同时，应该将两个对数相除，利用换底公式，常换成底为e，再运用上述方法。要熟练掌握对数的有关性质，多做练习，才能运用自如。

取一个相同底数(通常取10,lg),真数分别为原对数的真数和底数,相除 比如log28 则化为lg8/lg2

1.当底数相同的时候：当0<a<1时，真数越大（越小），函数值越小（越大），如㏒1/2 3>㏒1/2 5.当a>1时，真数越大（越小），函数值越大（越小），如㏒2 3<㏒2 5.2.当底数不相同的时候：①当真数相同时，⑴当0<a<1时，当真数大于0小于1时，底数越大，函数值越大，当真数大于1时，底数越大，函数值越小。⑵当a>1时，当真数大于0小于1时，底数越大，函数值越小，当真数大于1时，底数越大，函数值越大。②当真数不相同时，应该将两个对数相除，利用换底公式，常换成底为e，再运用上述方法。要熟练掌握对数的有关性质，多做练习，才能运用自如。

对数的运算法则:一、四则运算法则：loga(AB)=loga A+loga B loga(A/B)=loga A-loga B logaN^x=xloga N 二、换底公式 logM N=loga M/loga N 三、换底公式导出：logM N=-logN M 四、对数恒等式 a^(loga M)=M

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）。对数函数是以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。如果a^x =N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=logaX就叫做对数函数，其中“log”是拉丁文logarithm的缩写。介绍在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。在一个普通对数式里a<0，或＝1的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或＝0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）。

注释：^是次方的意思。第一题，ln(a-b)和ln(a+b)是没有公式的，不存在正确不正确的问题。第二题，求极限这道把x^(1+x)看做x*(x^x)，使得左边变成x*[(x^x)/((1+x)^x)]，只要把负1提出来，就可以构成极限公式。同时，极限法则里边有lim(a*b)=lima*limb，故而可以变换为limx*[e^(-1)]，从而使得上式的结果成为0。第三题，两式相除，可以的话，运用罗彼得法则，运用两次以后，发现(1+1/n)^n比1/n的值为无穷大。这个答案你没给，要么是你没写出来，要么是我算错了。That is all.

定义域为（-∞，1）y=lg（1-x）的定义域满足{x|1-x＞0}，解得：{x|x＜1}。所以，函数y=lg（1-x）的定义域为（-∞，1）。对数函数y=logax的定义域是{x|x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1。如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x|x>1/2且x≠1}。扩展资料基本运算规则若已知P>0，Q>0，a>1或者0<a<1，1、真数相乘logaPQ=logaP+logaQ，简单记忆为真数乘等于对数加。2、真数相除logaP/Q=logaP-logaQ，简单记忆为真数除等于对数减。3、真数的次方logaP^n=n*logaP4、底数的次方loga^mP=1/m*(logaP)5、真数和底数同时含有幂运算loga^mP^n=n/m*(logaP)6、底数更换方法logaP=（log2P）/（log2a），即对数求解可以换成另外一个同底的对数相除的形式，对数换为谁都可以，按照计算的需要进行换即可。真数在上，底数在下。

指数：加减没什么好说的,和多项式是一样的.乘除法：分别是指数的相加和相减,例如e^x * e^2x=e^(x+2x)=e^3x,除法则为相减. 对数：其实对数和指数是逆着来的,指数乘法是指数相加,对数加法则就是相乘,减法则为相除.例如ln x+ln 2x=ln（x*2x）=ln（2x^2).

……书上有定理 n*loga（b）=loga（b的n次方） 所以1/2loga(t)=loga（t的二分之一次方）=loga（根号t） 然后按这个定理算 loga（b）-loga（c）=loga（b/c） 所以loga[(t+1)/2)-loga(根号t)=loga[(t+1)/2*根号t]

多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式，则称函数在点有极大值。如果都适合不等式，则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。例2函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。例3　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式这表明一元函数在处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面成为平行于坐标面的平面。仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

极值点的存在范围情况有两种：1、驻点，2、导数不存在，但在该点连续的点；判断方法有两种：1、该点临近的左右侧的导数的符号不同；2，该点二阶导数的符号驻点和极值点的关系：1、驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点；2、导函数的极值点是驻点。说下我对驻点的意义理解（有助于形象化理解）：驻点是函数导数为0的点，也就是该点的切线水平。是两侧极可能发生函数导数符号变化的点，或者说是切线的斜率符号发生变化的点，也就是函数单调性可能发生转变的点。因而常用来划分函数单调的可能区间。驻点可能是单调性发生变化的点，因而可能是极值点；驻点两侧单调性不发生变化，不是极值点；驻点两侧单调性发生变化，是极值点。（是驻点不是极值点的原因是 两侧单调性不发生变化。）两侧单调性变化，而该点的导数不存在（如左右导数不相等）（但函数要在该点连续），也是极值点。（但不是驻点，这是 是极值点而不是驻点的原因）

简单分析一下，详情如图所示

多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式，则称函数在点有极大值。如果都适合不等式，则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。例2函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。例3　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式这表明一元函数在处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面成为平行于坐标面的平面。仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

1. 原则上，求出所有驻点，不可导的点，以及边界点，比较各点处的函数值，最大的和最小的选出来，即可。2. 求曲线y=x^2 与直线x-y=2之间的最短距离…… 如果你化成一元函数的无条件极值，可以判断这是唯一的极值，且是个极小值，故该点处取得最小值。 如果你使用Lagrange条件极值的方法，判断这是唯一的一个条件极值点，问题本身有最小值，故在该点取得最小值。（ 因为在无穷远处，距离是无穷大。） 这时需要问题的实际背景，的确不是太严密，因为我们通常并不考虑它是条件极大或极小。

问题一：高等数学 多元函数求极值 1、极值的定义设函数z=f(x,y)在点（x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内不同于（x0,y0)的任意点(x,y)，总有f(x,y)f（x0,y0)),则称f（x0,y0)为函数f(x,y）的一个极大值（或极小值），点（x0,y0)称为极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 2、极值的条件(1)必要条件 设函数f(x,y）在点（x0,y0)处的两个偏导数fx（x0,y0),fy（x0,y0)存在，且在点（x0,y0)处取得极值，则fx（x0,y0)=0,fy（x0,y0)=0。（2）充分条件设函数z=f(x,y）在点（x0,y0)的某邻域内有连续的一阶和二阶偏导数，（x0,y0)为函数的驻点，令A=fxx（x0,y0)，B=fxy（x0,y0),C=fyy（x0,y0),Δ=B2-AC, (i)若Δ0时，点（x0,y0)为极小值点。 (ii)若Δ>0,则点（x0,y0)不是z=f(x,y)的极值点。(iii)若Δ=0，（x0,y0)可能是z=f(x,y)的极值点，也可能不是z=f(x,y)的极值点。 3、3函数的最大值与最小值在实际问题中，根据问题的实际意义，可以判断函数z=f(x,y)在区域D上存在最大值或最小值，且一定在区域D的内部取得，而区域D内仅有一个驻点，则函数必在该驻点处取得最大值或最小值。具体可见mp.weixin.qq/...e=6#rd 问题二：多元函数求极值什么情况下，条件极值可以转换为无条件极值？ 条件极值可以转换为无条件极值 如给了条件x+y=10 你可以把y用x表示就不是条件极值了 问题三：用多元函数求极值方法 第三题用向量貌似可以做呢（我高一） 问题四：多元函数求极值 问题五：高等数学多元函数求极值 极限不存在，令x或y=0，由重要极限知lim=1，令y=kx得lim=0，故答案是不存在。

多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式，则称函数在点有极大值。如果都适合不等式，则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式这表明一元函数在处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面成为平行于坐标面的平面。仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

简单,就是函数对x,y的偏导数分别等于零,列方程组,

不一定,只有在应用问题中是最值点,最直接反例：f(x)=x^3,驻点(0,0),无最值

如果x=x0为驻点，判定极值点的方法就是看当xx0时f"(x)是否异号如果异号，若x0x>x0时，f"(x)<0，则该点为极大值点若xx0时，f"(x)>0，则该点为极小值点xx0时f"(x)同号，则该点不是极值点

在多元函数极值判断中，一阶偏导值为零的点是驻点，但是不一定是极值点，要判断是否为极值，则需要借用多元函数极值存在的的充分条件，该定理在《高数》上可查，令该函数对xx的二阶偏导在驻点处的函数值为A,该函数对xy的二阶偏导在驻点处的函数值为B,该函数对yy的二阶偏导在驻点处的函数值为C.则：（1）AC-B^2的值大于0，具有极值，且当A小于0时为极大值，当A大于0时为极小值。（2）AC-B^2的值小于0，没有极值（2）AC-B^2的值等于0，可能存在极值，也可能没有极值，还需另做讨论。

如果x=x0为驻点，判定极值点的方法就是看当xx0时f"(x)是否异号如果异号，若x0x>x0时，f"(x)<0，则该点为极大值点若xx0时，f"(x)>0，则该点为极小值点xx0时f"(x)同号，则该点不是极值点

在多元函数极值判断中，一阶偏导值为零的点是驻点，但是不一定是极值点，要判断是否为极值，则需要借用多元函数极值存在的的充分条件，该定理在《高数》上可查，令该函数对xx的二阶偏导在驻点处的函数值为A,该函数对xy的二阶偏导在驻点处的函数值为B,该函数对yy的二阶偏导在驻点处的函数值为C.则：（1）AC-B^2的值大于0，具有极值，且当A小于0时为极大值，当A大于0时为极小值。（2）AC-B^2的值小于0，没有极值（2）AC-B^2的值等于0，可能存在极值，也可能没有极值，还需另做讨论。

多元函数极值定理的必要条件是函数在驻点处的一阶偏导数为零，并且二阶偏导数的行列式非负。这些条件是判断极值点的必要条件，但并不一定是充分条件。这就是为什么函数的驻点不一定是极值点。举个例子，考虑函数$f(x,y)=x3-y3$。该函数的一阶偏导数为$f_x=3x2$和$f_y=-3y2$，驻点为$(0,0)$。计算二阶偏导数得$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=-6y$，则$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}2=-36y2$，在$(0,0)$处这个值等于$0$，不符合定理中的非负要求。因此，驻点$(0,0)$不是$f(x,y)$的极值点。因此，只有满足定理中的充分条件，才能说明在该点处函数取得了极值。

你把二元函数看成一个曲面，，则二元函数的极值点就是最高的一个点，，，当x或者y取得最大时并不能保证取得最高，，所以你说的两者根本就没有什么关系，，是无关条件

你想问的是驻点与极值点的关系吧，总体来说有三点。驻点和极值点的关系为极值所在的点一定是驻点，但是驻点不一定是极值所在的点，x0=0是极值点，但不是驻点，驻点，极值点均与函数y=f(x)的一阶导数f"(x)有关。驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0。

简单计算一下即可，答案如图所示

简单分析一下，答案如图所示

我不知道，但我是来抢分数的，

考虑区域边界的取值

你书看错了，应该是在多元函数中，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。你少看了个具有偏导数这个条件。比如f(x1,x2...)，固定x2，x3...，也就是说f 是x1 的一元函数，然后且这个函数可导(因为多元函数的偏导数存在)，且极值存在，那么在极值这个点的导数为0。同理x2，x3...也就是说这个点是极值点，且偏导数都为0，那么根据驻点的定义。该点就是驻点。你后面两句话是对的。至于第二段话，不是驻点就不是极值点的逆反命题：是极值点就是驻点 这个根据刚才阐述就不对了。我参考的是网页链接，这个网页链接，看到定理2前面，稍微看一下就明白了

设：F(x)= ab + ac + bc + λ（a^2+b^2+c^2-1）F(x)分别对a、b、c、λ求导且令它等于零对a:F=b+c+2aλ=0对b:F=a+c+2bλ=0对c:F=a+b+2cλ=0对λ：F= a^2+b^2+c^2-1=0分别求出a、b、c的值即可。

供参考。

那先看ac-b2是否大于0。 如果ac-b2>0的话，那驻点（如果有驻点的话)就是极值点。 如果ac-b2<0的话，那驻点就不是极值点，函数就没有极值了。

该极限不存在。因 x^2y^2 = (xy)^2 ≤ [(1/2)(x^2+y^2)]^2 = (1/4)(x^2+y^2)^2,则 lim<x→0, y→0> [1-cos(x^2+y^2)]/[(x^2+y^2)x^2y^2]≥ lim<x→0, y→0> 4[1-cos(x^2+y^2)]/(x^2+y^2)^3= lim<x→0, y→0> 2(x^2+y^2)^2/(x^2+y^2)^3= lim<x→0, y→0> 2/(x^2+y^2) = +∞

先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。求多元函数极值的两种特殊方法摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值1. 利用方向导数求二元函数的极值定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：（1）,则函数在上单调增加；（2）,则函数在上单调减少；（3）,则函数在上为常数。证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是当时，，；当时, , ;故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。同理可证，成立。定理1 设函数在点的某领域内可微，且,如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：（1）, 则为的极大值；（2），则为的极小值。证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。由的任意性，是极大值。情形同理可证。例1 讨论二元函数的极值。解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。, 求得稳定点为。因为，由定理知在点处取得极小值。。 2. 利用实对称矩阵求多元函数的极值上面用方向导数方法对多元函数求其极值，下面介绍用实对称矩阵求多元函数极值。定义2 设函数在点有连续的二阶偏导数，称矩阵为函数在点的黑塞矩阵。定理2 设元函数在点的某个领域有连续的二阶偏导数，且为其稳定点，则（i）若是正定矩阵时，则为的极小值点；（ii）若是负定矩阵时，则为的极大值点；（iii）若是不定矩阵时，则在处不取极值。证明 设元函数在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点是的稳定点（驻点)，即是 的一组解（极值存在的必要条件），那么如何判断是否是极值呢？如果是极值，是极大值还是极小值呢？这里介绍一种方法，是数学分析下册所学的用黑塞矩阵判定，即根据一个实对称矩阵的正定和负定来进行判断。在点处给自变量微小增量，相应地，函数有增量。按定义，当时，为极大值；反之，当时，为极小值。因此问题归结为如何判断的正负问题。根据泰勒（）公式有由于 满足方程组，所以上式右端第一项为零，而其余各项当时，每一项都是它前面的高阶无穷小，因此当很小时，和等式右端第二项有相同的符号。所以要判断的正负，只要判断的正负就可以了。是关于变量的二次齐次多项式，其系数为实数，所以此式也是关于变量的一个实二次型。由于，所以其中为实对称矩阵，其元素且不全为零,即。若A为正定矩阵，则，，为极小值；若为负定矩阵，则，，为极大值。若既不正定，又不负定，则不是极值。应当注意的是，若二次齐次多项式为零，则，此时不能用的正定或负定来判断是否为极值或判断是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判断。用实对称矩阵求多元函数极值的步骤1.先求多元函数一阶偏导数，求取稳定点；2.然后将稳定点代入多元函数对应的矩阵中；3.判断该矩阵是正定矩阵还是负定矩阵。例2 研究二元函数的极值。解 解方程组得稳定点和。在点处有，，，，由于既不是正定矩阵，又不是负定矩阵，所以不是极值。在点处有，，由于的顺序主子式均大于零，即为正定矩阵，所以为极小值。例3 研究三元函数 的极值。解 解方程组得稳定点。相应地在点有，，，，由于的奇数阶主子式均小于零，而偶数阶主子式均大于零，即为负定矩阵，所以为极大值。参考文献 :[1]余兴民.利用方向导数判别函数极值[J].商洛师范专科学校学报， 2002,16（4）：20-21.[2]华东师范大学数学系.数学分析下册第三版.高等教育出版社.[3]王萼芳 ，石生明.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数第三版.高等教育出版社.[4]叶耀军.n元函数极值的求法.第四届全国农业应用数学研讨会论文集，1993.[5]赵亚明，杨玉敏.多元函数极值的一种新方法[J].鞍山师范学院学报，2003,5（4）：7-9.[6]蔡生.多元函数极值的一个判别法[J].辽宁教育学院学报，1997,14（5）：11-13.[7]赵俊.多元函数极值的判别方法探讨[J].现代商贸工业，2009,13:194-195.[8]凌征球.二次型在求多元函数极值上的应用[J].广西民族学院学报（自然科学版），2002,8(2)￥5.9百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取求多元函数极值的两种特殊方法求多元函数极值的两种特殊方法摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值第 1 页1. 利用方向导数求二元函数的极值定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：（1）,则函数在上单调增加；第 2 页（2）,则函数在上单调减少；（3）,则函数在上为常数。证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是第 3 页当时，，；当时, , ;故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。同理可证，成立。定理1 设函数在点的某领域内可微，且,第 4 页如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：（1）, 则为的极大值；（2），则为的极小值。证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。第 5 页由的任意性，是极大值。情形同理可证。例1 讨论二元函数的极值。解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。, 求得稳定点为。因为，由定理知在点处取得极小值。第 6 页

1.降维法：可以构造函数：若求max{u(x,y,z)}也就等价于求max{v（x,y,z）}(因为平方运算不改变单调性，所以要求min也是同理),v=x^2+y^2+z^2;将（x-y）^2-1=z^2带入到v中得出一个二维的函数，就转化成了求二元函数求极值的问题，你先求稳定点在用Hesse矩阵判断，后续步骤不讲了，自己算应该没问题。。。2.升维法：同样也需要构造函数：若求max{u(x,y,z)}也就等价于求max{v（x,y,z）}(因为平方运算不改变单调性，所以要求min也是同理),v=x^2+y^2+z^2;此时采用构造lagrange函数的方法，构造L（x,y,z,λ）=x^2+y^2+z^2+λψ((x-y)^-z^2+1)=0此函数比原函数高一维故为“升维法”。求出Lx=0，Ly=0，Lz=0，Lλ=0，解出x,y,z,λ就可以顺利得出极值点，但是别忘了要验证，因为构造出的lagrange函数求出的极值点仅仅为必要条件，非充分条件。综上所述，两种方法各有所长，看看你怎么灵活运用了。。。

需要两个式子同时满足。你是分别解除两个方程的解，然后x，y两两组合，当然有不满足的。

第二种方法显得不严谨。至于为什么大多数是边界值，可以类比高中时期的线性规划理解，只不过这里不是线性的代数式了，因为次数大于2了。得到目标函数，脑子里应该有多维的图，当然了，目标函数也是多维的函数，脑子里想个图。这个大部分老师都不会讲的，因为课时有限，而且，还有这个算是个窍门吧，从应试的角度讲，足够了

因为二元函数的极值点不仅要求一阶导数为0，还要求二阶导数满足一定条件：z"x=2xy(4-x-y)-x^2y=xy(8-3x-2y)z"y=x^2(4-x-2y)B=z"xy=x(6-3x-2y)A=z"xx=8y-6xy-2y^2C=z"yy=-2x^2当B^2-AC<0时有极值，当B^2-AC=0时得另外判断。此题x=0, y=0时，B^2-AC=0, 从(0,0)的邻域判断其不为极值。在(0,0)邻域，z=x^2y(4-x-y)的符号与y的符号相同，即在(0,0）邻域其值可比z(0,0)=0大或小，所以不是极值点。

知道给函数求个导令个0就可以轻松把函数的的极大值极小值算出来，但遇到多元函数时，又该如何处理呢？首先，关于极值点，可以认为是“某点在某领域的最值”。而且，我们认为多元函数的极值求解有两类，无条件极值（给你一条孤零零的函数直接算）和条件极值（高中学过的定积求和和定和求积中的“定”就是条件）其次，我们引入二元函数的两个定理：

函数的驻点的定义：函数的一阶导数为0的点（驻点也称为稳定点，临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。驻点并不是点，而是和极值点相似，代表着这一点的x值。驻点和拐点的区别：函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆。“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点。另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）。因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”。拐点是导数符号发生变化的点。拐点点可以是相对最大值或相对最小值（也称为局部最小值和最大值）。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。例如，函数x^3在x=0处有一个固定点，也是拐点，但不是转折点。