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多元函数的极值及最大值、最小值
定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式
，
则称函数在点有极大值。如果都适合不等式
，
则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
例３ 函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式
特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式
这表明一元函数在处取得极大值，因此必有
类似地可证
从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面
成为平行于坐标面的平面。
仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。
定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令
则在处是否取得极值的条件如下：
(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；
(2)时没有极值；
(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：
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多元函数的驻点是
z=2x∧2+3y∧2,是2元2次方程.使对x,y的求导同时等于0,得到的（x,y)即（0,0）是驻点,但不一定是极点,若要验证,需求二级导,A=Z"(XX)=4,B=Z"(XY)=0,C=Z"(YY)=6,B^2-AC=-24<0,则（0,0）既是驻点也是极小值点.但有的时候B^2-AC>0,则改点就不是极点2023-11-26 01:04:391
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驻点一定是极值点吗?
不对，因为具有偏导数的极值点必是驻点，但是驻点不一定是极值点。极值点不一定是驻点，也可能是不可导点 。最值点可以有多个，比如y=sinx，2kπ＋π／2都是最值点，也是极值点。最值点也可能不存在，比如y=x闭区间上一定有最大值点和最小值点，开区间则不一定。最值点是对全部定义域而言，而极值点就是局部最值点。驻点和极值点的区别：一、定义不同1、极值点：若一个函数的某一点存在某一邻域，在该邻域内函数处处都有定义，而该点的函数值为最大（小），则该函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）值。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。2、驻点：函数的一阶导数为0的点。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。二、性质不同1、在驻点处的单调性可能改变。在极值点的左右，函数的增减性不一样，比如说在极值点的左方邻域内函数单调增加，则在极值点的右方邻域内函数单调减小。2、驻点：一阶导数为零。3、驻点关注的是，一阶导数的值为0，不关注函数的单调性变化。极值点关注的是函数的单调性变化，不关注一阶导数是否一定存在。2023-11-26 01:12:021
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函数的驻点的定义：函数的一阶导数为0的点（驻点也称为稳定点，临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。驻点并不是点，而是和极值点相似，代表着这一点的x值。驻点和拐点的区别：函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆。“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点。另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）。因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”。拐点是导数符号发生变化的点。拐点点可以是相对最大值或相对最小值（也称为局部最小值和最大值）。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。例如，函数x^3在x=0处有一个固定点，也是拐点，但不是转折点。2023-11-26 01:12:171
什么是函数的驻点?它与拐点有什么区别?
函数的驻点的定义：函数的一阶导数为0的点（驻点也称为稳定点，临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。驻点并不是点，而是和极值点相似，代表着这一点的x值。驻点和拐点的区别：函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆。“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点。另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）。因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”。拐点是导数符号发生变化的点。拐点点可以是相对最大值或相对最小值（也称为局部最小值和最大值）。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。例如，函数x^3在x=0处有一个固定点，也是拐点，但不是转折点。2023-11-26 01:12:411
驻点是点还是坐标
驻点是横坐标。在微积分，驻点又称为平稳点、稳定点或临界点，是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。驻点是导出原函数并使其等于0得到的x的值。在驻点的左右两侧，函数的增量和减量发生变化。如果一般二次函数y=ax^2+bx+c的驻点是它的顶点。在驻点，函数可以得到最大值，但不一定是最大值。函数的单调区间可以根据驻点来划分，即驻点处的单调性可能发生变化。极值点、拐点、驻点的区别1、极值点：若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。2、驻点：函数的一阶导数为0地点(驻点也称为稳定点，临界点)。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。3、拐点：又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。2023-11-26 01:13:061
多元函数无驻点,会有极值点吗?麻烦哪位高数大虾解答下,是多元哦,不是一元~3Q~
多元函数的极值点也有可能不是驻点. 因为,在该点有可能各方向的偏导数都不存在.2023-11-26 01:13:201
高数 多元函数微分学
在多元函数极值判断中，一阶偏导值为零的点是驻点，但是不一定是极值点，要判断是否为极值，则需要借用多元函数极值存在的的充分条件，该定理在《高数》上可查，令该函数对xx的二阶偏导在驻点处的函数值为A,该函数对xy的二阶偏导在驻点处的函数值为B,该函数对yy的二阶偏导在驻点处的函数值为C.则：（1）AC-B^2的值大于0，具有极值，且当A小于0时为极大值，当A大于0时为极小值。（2）AC-B^2的值小于0，没有极值（2）AC-B^2的值等于0，可能存在极值，也可能没有极值，还需另做讨论。2023-11-26 01:13:291
什么是函数的驻点?
函数的驻点的定义：函数的一阶导数为0的点（驻点也称为稳定点，临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。驻点并不是点，而是和极值点相似，代表着这一点的x值。驻点和拐点的区别：函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆。“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点。另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）。因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”。拐点是导数符号发生变化的点。拐点点可以是相对最大值或相对最小值（也称为局部最小值和最大值）。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。例如，函数x^3在x=0处有一个固定点，也是拐点，但不是转折点。2023-11-26 01:13:351
多元函数极值问题.驻点怎么求?
简单,就是函数对x,y的偏导数分别等于零,列方程组,2023-11-26 01:13:501
多元函数唯一驻点一定为最值点吗?
不一定,只有在应用问题中是最值点,最直接反例：f(x)=x^3,驻点(0,0),无最值2023-11-26 01:13:591
极值点是点还是x那驻点与拐点呢?
极值点、驻点与拐点：1、极值点：若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。2、驻点：函数的一阶导数为0地点(驻点也称为稳定点，临界点)。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。3、拐点：又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。极值是“极大值”和“极小值”的统称。如果函数在某点的值大于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值为函数的“极大值”。如果函数在某点的值小于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值为函数的“极小值”。2023-11-26 01:14:051
多元函数极值问题。驻点怎么求？
如果x=x0为驻点，判定极值点的方法就是看当xx0时f"(x)是否异号如果异号，若x0x>x0时，f"(x)<0，则该点为极大值点若xx0时，f"(x)>0，则该点为极小值点xx0时f"(x)同号，则该点不是极值点2023-11-26 01:14:211
驻点是什么
函数的一阶导数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间。(驻点也称为稳定点，临界点。在驻点处，函数能取得极大值，但不一定是最大值。如图中，A、B、C点即为驻点。从图中也见，极大不一定大于极小。极小也不一定小于极大。2023-11-26 01:15:154
多元函数极值存在的条件是什么？
在多元函数极值判断中，一阶偏导值为零的点是驻点，但是不一定是极值点，要判断是否为极值，则需要借用多元函数极值存在的的充分条件，该定理在《高数》上可查，令该函数对xx的二阶偏导在驻点处的函数值为A,该函数对xy的二阶偏导在驻点处的函数值为B,该函数对yy的二阶偏导在驻点处的函数值为C.则：（1）AC-B^2的值大于0，具有极值，且当A小于0时为极大值，当A大于0时为极小值。（2）AC-B^2的值小于0，没有极值（2）AC-B^2的值等于0，可能存在极值，也可能没有极值，还需另做讨论。2023-11-26 01:15:531
求多元函数的极值时怎么把各个驻点都找完？总是不够全。
如果x=x0为驻点，判定极值点的方法就是看当xx0时f"(x)是否异号如果异号，若x0x>x0时，f"(x)<0，则该点为极大值点若xx0时，f"(x)>0，则该点为极小值点xx0时f"(x)同号，则该点不是极值点2023-11-26 01:16:022
如何判断多元函数的极值？？？？
在多元函数极值判断中，一阶偏导值为零的点是驻点，但是不一定是极值点，要判断是否为极值，则需要借用多元函数极值存在的的充分条件，该定理在《高数》上可查，令该函数对xx的二阶偏导在驻点处的函数值为A,该函数对xy的二阶偏导在驻点处的函数值为B,该函数对yy的二阶偏导在驻点处的函数值为C.则：（1）AC-B^2的值大于0，具有极值，且当A小于0时为极大值，当A大于0时为极小值。（2）AC-B^2的值小于0，没有极值（2）AC-B^2的值等于0，可能存在极值，也可能没有极值，还需另做讨论。2023-11-26 01:16:291
为什么多元函数极值定理的必要条件是二阶导数非负？
多元函数极值定理的必要条件是函数在驻点处的一阶偏导数为零，并且二阶偏导数的行列式非负。这些条件是判断极值点的必要条件，但并不一定是充分条件。这就是为什么函数的驻点不一定是极值点。举个例子，考虑函数$f(x,y)=x3-y3$。该函数的一阶偏导数为$f_x=3x2$和$f_y=-3y2$，驻点为$(0,0)$。计算二阶偏导数得$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=-6y$，则$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}2=-36y2$，在$(0,0)$处这个值等于$0$，不符合定理中的非负要求。因此，驻点$(0,0)$不是$f(x,y)$的极值点。因此，只有满足定理中的充分条件，才能说明在该点处函数取得了极值。2023-11-26 01:16:511