十年阿桑 -
先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。
求多元函数极值的两种特殊方法摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值1. 利用方向导数求二元函数的极值定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：（1）,则函数在上单调增加；（2）,则函数在上单调减少；（3）,则函数在上为常数。证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是当时，，；当时, , ;
故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。同理可证，成立。定理1 设函数在点的某领域内可微，且,如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：（1）, 则为的极大值；（2），则为的极小值。证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。由的任意性，是极大值。情形同理可证。例1 讨论二元函数的极值。解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。, 求得稳定点为。因为，由定理知在点处取得极小值。。 2. 利用实对称矩阵求多元函数的极值
上面用方向导数方法对多元函数求其极值，下面介绍用实对称矩阵求多元函数极值。定义2 设函数在点有连续的二阶偏导数，称矩阵为函数在点的黑塞矩阵。定理2 设元函数在点的某个领域有连续的二阶偏导数，且为其稳定点，则（i）若是正定矩阵时，则为的极小值点；（ii）若是负定矩阵时，则为的极大值点；（iii）若是不定矩阵时，则在处不取极值。证明 设元函数在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点是的稳定点（驻点)，即是 的一组解（极值存在的必要条件），那么如何判断是否是极值呢？如果是极值，是极大值还是极小值呢？这里介绍一种方法，是数学分析下册所学的用黑塞矩阵判定，即根据一个实对称矩阵的正定和负定来进行判断。在点处给自变量微小增量，相应地，函数有增量。按定义，当时，为极大值；反之，当时，为极小值。因此问题归结为如何判断的正负问题。根据泰勒（）公式有
由于 满足方程组，所以上式右端第一项为零，而其余各项当时，每一项都是它前面的高阶无穷小，因此当很小时，和等式右端第二项有相同的符号。所以要判断的正负，只要判断的正负就可以了。是关于变量的二次齐次多项式，其系数为实数，所以此式也是关于变量的一个实二次型。由于，所以其中为实对称矩阵，其元素且不全为零,即。若A为正定矩阵，则，，为极小值；若为负定矩阵，则，，为极大值。若既不正定，又不负定，则不是极值。
应当注意的是，若二次齐次多项式为零，则，此时不能用的正定或负定来判断是否为极值或判断是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判断。用实对称矩阵求多元函数极值的步骤1.先求多元函数一阶偏导数，求取稳定点；2.然后将稳定点代入多元函数对应的矩阵中；3.判断该矩阵是正定矩阵还是负定矩阵。例2 研究二元函数的极值。解 解方程组得稳定点和。在点处有，，，，由于既不是正定矩阵，又不是负定矩阵，所以不是极值。在点处有，，由于的顺序主子式均大于零，即为正定矩阵，所以为极小值。例3 研究三元函数 的极值。
解 解方程组得稳定点。相应地在点有，，，，由于的奇数阶主子式均小于零，而偶数阶主子式均大于零，即为负定矩阵，所以为极大值。参考文献 :[1]余兴民.利用方向导数判别函数极值[J].商洛师范专科学校学报， 2002,16（4）：20-21.[2]华东师范大学数学系.数学分析下册第三版.高等教育出版社.[3]王萼芳 ，石生明.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数第三版.高等教育出版社.[4]叶耀军.n元函数极值的求法.第四届全国农业应用数学研讨会论文集，1993.[5]赵亚明，杨玉敏.多元函数极值的一种新方法[J].鞍山师范学院学报，2003,5（4）：7-9.[6]蔡生.多元函数极值的一个判别法[J].辽宁教育学院学报，1997,14（5）：11-13.[7]赵俊.多元函数极值的判别方法探讨[J].现代商贸工业，2009,13:194-195.[8]凌征球.二次型在求多元函数极值上的应用[J].广西民族学院学报（自然科学版），2002,8(2)
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求多元函数极值的两种特殊方法
求多元函数极值的两种特殊方法
摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。
关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值
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1. 利用方向导数求二元函数的极值
定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。
引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：
（1）,则函数在上单调增加；
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（2）,则函数在上单调减少；
（3）,则函数在上为常数。
证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是
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当时，，；当时, , ;
故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。
同理可证，成立。
定理1 设函数在点的某领域内可微，且,
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如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：
（1）, 则为的极大值；
（2），则为的极小值。
证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。
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由的任意性，是极大值。情形同理可证。
例1 讨论二元函数的极值。
解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。
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求得稳定点为。
因为，由定理知在点处取得极小值。
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