三角形

（1）三角形外心；分别作三角形两边的中垂线交点计作O，以O为圆心OA为半径画圆，如图即为三角形外心。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。外心到三个顶点的距离相等。（2）三角形内心；1.做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。2.做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。扩展资料；（1）内心性质；设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r2、∠BIC=90°+∠BAC/23、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。（2）内切圆的半径1，在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．2，在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)3，任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）（3）三角形外心求法；设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有 1) 2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)由此可得：r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）（4)三角形外心的向量关系;向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）参考资料来源；百度百科--三角形内心百度百科--三角形外心

三角形内切圆性质为：1、在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。2、正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。3、常见辅助线：过圆心作垂直。与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点唻。三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。

三角形内心：指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。一、内心性质设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。2、∠BIC=90°+∠BAC/2。3、在RtΔABC中，∠A=90°，三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。二、三角形内切圆心的求法：三角形内切圆心就是这个三角形的外心，三角形三个顶点与圆心的连线交于三个不同的点，这三点分别叫做三角形的三条高。圆心到三个顶点的距离相等。圆周上三点确定一个平面。三条高确定一个平面。圆心是三角形内切圆心。

1）垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。以上两个定理初中阶段基本不用，常用的是构成的直角三角形相似。2）内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3）外心：指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。即外接圆的圆心。三角形外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径R.

三角形内心就是三条角平分线的交点性质：内心到三角形三边距离相等证明的时候把内心和三角形三个顶点连起来构成三个小三角形最后根据大的三角形的面积=三个小三角形面积相加列式就可以了

三角形内心的性质有,内心在△ABC三边距离相等,这个相等的距离是△ABC内切圆的半径。熟悉习题中所涉及的内容,包括定义、公式、定理和规则。 解题、做练习只是学习过程中的一个环节,而不是学习的全部,你不能为解题 而解题。

三角形的五心性质内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。 旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心到三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。三角形的五心定理 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。 旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 线段的重心 线段的重心就是线段的中点 平行四边形的重心 平行四边形的重心就是它两条对角线的交点 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。 三角形内心的性质　　设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心． 　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 　　3、r=S/p． 　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5、∠BIC=90°+A/2． 　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　10、（内角平分线分三边长度关系） 　　⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里。 三角形外心的性质　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 　　3、GA=GB=GC=R. 　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 　　4、R=abc/4S⊿ABC. 　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

区别：三角形内心是三角形内切圆的圆心，是三角形角平分线的交点；三角形外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点。性质：内心到三边的距离相等，均为内切圆的半径。外心到三角形三个顶点的距离相等，均为外接圆的半径。

三角形的内心和外心分别是什么一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。4.OA=OB=OC=R。5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。6.S△ABC=abc/4R。二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3.r=2S/(a+b+c)。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2。6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，这个心是三角形的中心。三角形重心：三角形三条中线的交点即为三角形重心。三角形的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.5、三角形内到三边距离之积最大的点。6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。扩展资料五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。三角形的五心定理：①重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 ②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 ③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 ④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 ⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。参考资料：百度百科-三角形

正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。垂心是高线的交点垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外

三角形垂心性质：1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。3、垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上。三角形垂心的位置：锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心在三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形的外部。三角形的五心重要性质（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。（2）三角形的外心到三顶点的距离相等。（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等。（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心。（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心。（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍。

三角形的垂心是指三条高的交点，也就是三条高的垂足所构成的点。垂心具有以下向量性质：1. 垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH + →BH + →CH = →02. 垂心到三角形三个顶点的向量共线。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH, →BH, →CH共线，且共线方向从垂心H指向各个顶点A、B、C。要证明这些性质，可以采取向量的方法进行推导和证明。以下是垂心向量性质的一个简单证明：证明1：垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。我们取三角形ABC的三边上的中点分别为D、E、F，即AD是边BC的中点，BE是边AC的中点，CF是边AB的中点。那么根据向量的中点定理，我们有：→AD = 1/2(→AB + →AC)→BE = 1/2(→BA + →BC)→CF = 1/2(→CA + →CB)现在我们考虑四个向量的和：→AD + →BE + →CF= 1/2(→AB + →AC) + 1/2(→BA + →BC) + 1/2(→CA + →CB)= 1/2(→AB + →BA) + 1/2(→AC + →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB + →BA + →AC + →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB - →BA + →AC - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= →0 + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC - →CB)= →0由此可见，垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。证明2：垂心到三角形三个顶点的向量共线。我们知道，如果一条向量加上另一条向量等于零向量，那么这两条向量是共线的，并且方向相反。根据证明1中的结果，我们有：→AH + →BH + →CH = →0也就是说，→AH、→BH、→CH共线，并且共线方向是从垂心H指向各个顶点A、B、C。综上所述，垂心具有以上的向量性质，证明是通过向量的加法和性质进行推导得出的。这些性质在解决某些几何问题时可以提供有用的信息和理论基础。

垂足于三角形的内心。三角形三条高的交点称为垂心，垂心到三角形三个顶点的距离相等，且垂心所在的直线与三角形三条边的交点分别构成的三角形互为相似三角形，它垂足于三角形的内心。其他三角形的垂线性质是锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点．三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形。 三角形垂心定义 垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。 三角形垂心记忆口诀 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角有十二，构成九对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清。 三角形垂心性质 设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 。 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形垂心性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 。1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。三角形垂心定义垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。

三角形垂心的性质　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2． 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 　　3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.　　4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).　　6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆.　　7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.　　9、 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.　　12、 　　西姆松(Simson)定理（西姆松线） 　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上.

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。其中2是充要条件。仅供参考。这些性质都是可以直接用的啊。

三角形的垂心是指三条高线的交点，以 H 表示。以下是垂心的一些性质：1. 垂心 H 到三个顶点的连线上的线段长度相等，即 HA = HB = HC。2. 垂心 H 到三条边的距离乘积等于三条边的长度乘积的两倍。即 AH * BH * CH = 2R^3，其中 R 是三角形外接圆的半径。3. 垂心 H 关于三条边的中点的连线是三角形的内心。即 AH 过AH的中点，BH 过 BH 的中点，CH 过 CH 的中点。4. 垂心 H 关于三条边的中点的连线所得的三角形是原三角形的旁心三角形。旁心三角形是指以原三角形的三边中点为顶点构成的三角形。5. 垂心 H 关于三条边的中点的连线与原三角形的外接圆相切。6. 垂心 H 是三角形内角平分线的交点。这些性质是垂心的一些重要特点，也可以用于解决与垂心相关的几何问题。

三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心. 锐角三角形垂心在三角形内部. 直角三角形垂心在三角形直角顶点. 钝角三角形垂心在三角形外部. 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点. 三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.

一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三、三角形的垂心定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。四、三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

百度百科三角形五心定律http://baike.baidu.com/view/1611086.htm一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理　　三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。一、三角形重心定理　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 　　重心的性质： 　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 　　2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。二、三角形外心定理　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 　　外心的性质： 　　1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 　　2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 　　3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 　　4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 　　垂心的性质： 　　1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 　　3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　定理证明 　　已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　　证明： 　　连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 　　∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC 　　∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 　　因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 　　内心的性质： 　　1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 　　4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 　　5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　7、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 　　旁心的性质： 　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 　　2、每个三角形都有三个旁心。 　　3、旁心到三边的距离相等。 　　如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 　　附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。有关三角形五心的诗歌　　三角形五心歌（重外垂内旁） 　　三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 　　重 心 　　三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 　　重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 　　外 心 　　三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 　　此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 　　垂 心 　　三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 　　直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 　　内 心 　　三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 　　点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然． 　　五心性质别记混，做起题来真是好

准确地说,锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心. 下面是垂心性质的总结： 垂心 三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心.三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H. 性质1 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上. 性质2 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF. 性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组). 性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆. 性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC. 性质6 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍. 性质7 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA. 性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍. 性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.

一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵. 90‵圆周角所对弦是直径. (常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等. 同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2 三、垂心 三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。四、内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA. 三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.关于三角形垂心性质百度百科上写的很细，你可以去搜搜看。

三角形垂心所具有的性质主要有下面几个：1. 垂心是三角形三条高线的交点。2. 垂心到三角形三个顶点的距离不相等，但垂心到三角形三个边的垂线长度是相等的。3. 在一个直角三角形中，垂心就是直角的顶点。4. 垂心是三角形内嵌的九点圆的圆心。5. 在任意三角形中，垂心都位于三角形内部或边上，但只有在直角三角形中，垂心才位于三角形的内部。6. 由垂心引出的众线段中，三条垂线垂足连成的三角形面积为原三角形的一半。以上就是三角形垂心的一些基本性质，不过在更高级的数学分析中，可能会有更深入的性质被发现。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

三角形五心及其性质：五心：重心，外心，垂心，内心和旁心。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。5、外心到三顶点的距离相等。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=（a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/（a+b+c）。4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO：ON=AB：BN=AC：CN=（AB+AC）：BC。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 重 心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 垂 心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内 心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然． 外 心 : 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．

内容如下：一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。4.OA=OB=OC=R。5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。6.S△ABC=abc/4R。二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3.r=2S/(a+b+c)。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2。6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

三角形角平分线的交点称为三角形的内心，也被称为内接圆心。1、角平分线的定义和性质三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将对应的角平分为两个相等的角，并延长到对边上的线段。每条角平分线与对边的交点称为角平分线的足点。角平分线具有重要的几何性质，其中最著名的是角平分线定理，即每条角平分线上的点到对边的距离相等。2、三角形的内心定义与性质三角形的内心是三条角平分线的交点，也就是角平分线的足点共同确定的一个点。内心到三角形的三条边的距离相等，内心到三角形三个顶点的连线上的点的距离相等。此外，内心还是三角形内接圆的圆心，内接圆是唯一与三角形的三个边都相切的圆。3、内心的坐标和特性三角形的内心的坐标可以通过三角形的三个顶点的坐标计算出来。内心的坐标是三个顶点的坐标的平均值，即x坐标和y坐标分别为三个顶点的x坐标和y坐标的算术平均数。内心是三角形的一个重要的几何元素，它具有许多重要的几何特性和性质，例如与三角形边长的关系、与三角形面积的关系等。4、内心在三角形构造和计算中的应用内心在三角形的构造和计算中具有重要的应用价值。例如，通过内心可以构造出三角形的内切圆，利用内心到三角形边的距离相等的性质，可以进行三角形面积的计算和勾股定理的证明。内心还在三角形的垂心、重心和外心等几何元素的求解以及相关定理的证明中起到关键的作用。三角形的内心是角平分线的交点，它具有许多重要的性质和应用价值。通过研究内心及与之相关的几何定理和性质，我们可以深入理解三角形的结构和性质，以及解决与三角形相关的各种几何问题。内心的研究不仅在数学上具有深刻的意义，也在实际应用中起到重要的作用，为我们带来了丰富的数学思想和几何直观。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。　　性质：到三边距离相等。　　外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。　　性质：到三个顶点距离相等。　　重心：三条中线的交点。　　性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。　　垂心：三条高所在直线的交点。　　性质：此点分每条高线的两部分乘积　　旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点　　性质：到三边的距离相等。　　界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。　　性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。　　欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理），这个交点叫做三角形的重心。 三角形的三边的垂直平分线交于一点。（外心定理）这个点叫做三角形的外心。 三角形的三条高交于一点。（垂心定理）这个点叫做三角形的垂心。 三角形的三内角平分线交于一点。（内心定理）这个点叫做三角形的内心。三角形的内心定义　　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, 　　内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 　　内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 　　注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 　　若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 　　直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。编辑本段三角形内心的性质　　设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心． 　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 　　3、r=S/p． 　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5、∠BIC=90°+A/2． 　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　10、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.外心定义　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．编辑本段三角形外心的性质　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 　　3、GA=GB=GC=R. 　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 　　4、R=abc/4S⊿ABC. 　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　9、外心到三顶点的距离相等。重心三角形重心　　重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。证明过程又是塞瓦定理的特例。 　　已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。 　　求证：F为AB中点。 　　证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO C，再应用从中点得AF=BF，命题得证。 　　重心的几条性质及证明方法： 　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 　　证明方法： 　　在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。 　　证明方法： 　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。 　　重 心 　　三条中线定相交，交点位置真奇巧， 　　交点命名为“重心”，重心性质要明了， 　　重心分割中线段，数段之比听分晓； 　　长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心定义　　三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。编辑本段三角形垂心的性质　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 　　9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 　　12、 　　西姆松(Simson)定理（西姆松线） 　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。希望对你有帮助

三角形内心向量公式推导，详细介绍如下：一、推导过程：三角形内心向量公式为内心向量等于三条角平分线的向量和的一半，三角形是几何学中的基本概念，研究三角形的性质对于理解几何学的基本原理和应用具有重要意义，内心是三角形的一个重要特殊点，它是三条角平分线的交点，具有一些独特的性质。在三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，内角分别为A、B、C那么三角形的内心是三条角平分线的交点设内心为L，目标是推导出向量AI、BI、CI的关系。考虑向量AI和向量BI。根据角平分线的性质，AI和BI分别平分角BAC和ABC，因此它们的方向相反，即AI和BI平行且方向相反。设AI的长度为d1，BI的长度为d2，则有向量向量AC的计算。同样根据角平分线的性质，CI平分角CBA，因此向量CI与向量AC和向量AB夹角相等，设CI与向量AC的夹角为θ，则有向量向量AB，由于向量AI和BI和CI共线，我们可以将它们相加得到向量AI加上向量BI加上向量CI，等于向量代入。二、拓展知识：内心是三角形的一个特殊点，和其他特殊点如重心、垂心、外心等一样，都有其独特的性质和应用。研究特殊点可以帮助我们更好地理解三角形的内在结构和性质，进而应用于几何学的相关问题求解、证明等方面。三角形内心向量公式是内心性质的一种具体表达，还有其他内心性质如内心到三角形三条边的距离相等、内心到三角形三个顶点的线段垂直等。对于不同类型的三角形，内心和其他特殊点的位置和性质也会有所不同，这需要进一步研究和推导。

三角形的内心：三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。内心做法1、做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。2、做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。扩展资料：三角形外心性质：1、锐角三角形的外心在三角形内；2、直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；3、钝角三角形的外心在三角形外.4、等边三角形外心与内心为同一点。参考资料来源：百度百科-三角形内心参考资料来源：百度百科-三角形外心

五心性质：（一）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。（二）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：（ （c2+c3）/2c，（c1+c3）/2c，（c1+c2）/2c ）5、外心到三顶点的距离相等。三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混重心记忆口诀三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心记忆口诀三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．以上内容参考：百度百科-三角形五心

三角形的五心性质内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。 旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心到三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。三角形的五心定理 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。 旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 线段的重心 线段的重心就是线段的中点 平行四边形的重心 平行四边形的重心就是它两条对角线的交点 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。 三角形内心的性质　　设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心． 　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 　　3、r=S/p． 　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5、∠BIC=90°+A/2． 　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　10、（内角平分线分三边长度关系） 　　⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里。 三角形外心的性质　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 　　3、GA=GB=GC=R. 　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 　　4、R=abc/4S⊿ABC. 　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

三角形五心定律及性质如下：三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。三角形“五心歌”，三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心。垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心。外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心，内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心，中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形五心介绍重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓，长短之比二比一，灵活运用掌握好。垂心三角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然。外心三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆，“内心”，“外心”莫记混，“内切”，“外接”是关键。

三角形的五心定义及性质如下：三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。重心定义：三条中线相交的点叫做重心。外心定义：三边垂直平分线的交点是外心。外心到三顶点距离相等。内心定义：三条内角平分线的交点为内心。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形有且只有一个内切圆。垂心定义：三角形三条高线的交点为垂心。旁心定义;三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。五心的性质如下：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。（2）三角形的外心到三顶点的距离相等。（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等。（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心。（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心。（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍。

内容如下：一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。4.OA=OB=OC=R。5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。6.S△ABC=abc/4R。二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3.r=2S/(a+b+c)。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2。6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

（1）三角形外心；分别作三角形两边的中垂线交点计作O，以O为圆心OA为半径画圆，如图即为三角形外心。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。外心到三个顶点的距离相等。（2）三角形内心；1.做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。2.做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。扩展资料；（1）内心性质；设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r2、∠BIC=90°+∠BAC/23、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。（2）内切圆的半径1，在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．2，在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)3，任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）（3）三角形外心求法；设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有 1) 2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)由此可得：r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）（4)三角形外心的向量关系;向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）参考资料来源；百度百科--三角形内心百度百科--三角形外心

中心：三条中线交点。重心：三条角平分线交点垂心：三条垂线交点外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内接圆圆心

重心：三角形的三条中线的交点. 重心分三条中线的比例为1:2,到顶点的是2 外心：三角形三边垂直平分线的交点。 是三角形外接圆的圆心. 垂心：三角形三条高线的交点。 内心：三角形三内角平分线交的点。 是三角形内接圆的圆心。到三边的距离相等. 旁心：三角形一内角平分线和另外两角的外角平分线的交点。有三个。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

三角形五心定律及性质如下：三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。三角形“五心歌”，三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心。垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心。外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心，内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心，中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形五心介绍重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓，长短之比二比一，灵活运用掌握好。垂心三角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然。外心三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆，“内心”，“外心”莫记混，“内切”，“外接”是关键。

内心，内接圆的圆心，是三个角平分线的交点，到三条边的距离相等；外心，外接圆圆心，是三条边垂直平分线的交点，到三个角的距离相等。

三角形共有五心： 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。 （1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isoscelestriangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。垂心：三条高所在直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，即重心是中线上靠近边的三等分点；重心和三个顶点的连线把三角形分成面积相等的6个部分三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，到三角形三边的距离相等。但到三角形三边的距离相等的点不一定是外心，三角形的旁心到三角形的三边距离相等。

重心:三中线的交点;性质：重心是中线的一个三等分点，即到顶点的长度与中线长度只比为2：3。主要用于已知顶点坐标求重心坐标。垂心:三高的交点;性质：这个还不太清楚。垂心不怎么应用。内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;性质：到三角形三边的距离相等。外心:三中垂线的交点;性质：到三角形三个顶点的距离相等。中心应该就是重心。这5个中最经常用到的应该是内心和外心。有什么不明白的欢迎继续追问。

三角形的内心：三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。内心做法1、做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。2、做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。扩展资料：三角形外心性质：1、锐角三角形的外心在三角形内；2、直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；3、钝角三角形的外心在三角形外.4、等边三角形外心与内心为同一点。参考资料来源：百度百科-三角形内心参考资料来源：百度百科-三角形外心

一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.90‵圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.中线长度公式:在三角形abc中，d为bc上的中点，设bd=dc=n,ad=m,ab=aac=b,则有2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。四、内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙o是△abc的内切圆，△abc是⊙o的一个外切三角形，点o叫做△abc的内心.张角公式:,设点c在线段ab上,ab外一点p对线段ac、bc的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/pc=sinγ/pb+sinβ/pa.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙o1、⊙o2、⊙o3都是△abc的旁切圆，点o1、o2、o3叫做△abc的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

三角形的内心就是三内角角平分线的交点；三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心就是三边中垂线的交点。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、外心到三顶点的距离相等内心定理1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。垂心定理 三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。内心定理 三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。旁心定理 三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心扫三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力

三角形角平分线的交点称为三角形的内心，也被称为内接圆心。1、角平分线的定义和性质三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将对应的角平分为两个相等的角，并延长到对边上的线段。每条角平分线与对边的交点称为角平分线的足点。角平分线具有重要的几何性质，其中最著名的是角平分线定理，即每条角平分线上的点到对边的距离相等。2、三角形的内心定义与性质三角形的内心是三条角平分线的交点，也就是角平分线的足点共同确定的一个点。内心到三角形的三条边的距离相等，内心到三角形三个顶点的连线上的点的距离相等。此外，内心还是三角形内接圆的圆心，内接圆是唯一与三角形的三个边都相切的圆。3、内心的坐标和特性三角形的内心的坐标可以通过三角形的三个顶点的坐标计算出来。内心的坐标是三个顶点的坐标的平均值，即x坐标和y坐标分别为三个顶点的x坐标和y坐标的算术平均数。内心是三角形的一个重要的几何元素，它具有许多重要的几何特性和性质，例如与三角形边长的关系、与三角形面积的关系等。4、内心在三角形构造和计算中的应用内心在三角形的构造和计算中具有重要的应用价值。例如，通过内心可以构造出三角形的内切圆，利用内心到三角形边的距离相等的性质，可以进行三角形面积的计算和勾股定理的证明。内心还在三角形的垂心、重心和外心等几何元素的求解以及相关定理的证明中起到关键的作用。三角形的内心是角平分线的交点，它具有许多重要的性质和应用价值。通过研究内心及与之相关的几何定理和性质，我们可以深入理解三角形的结构和性质，以及解决与三角形相关的各种几何问题。内心的研究不仅在数学上具有深刻的意义，也在实际应用中起到重要的作用，为我们带来了丰富的数学思想和几何直观。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心到三边距离相等（为内切圆半径）若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下.

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠ABC/23、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)8、　双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、P，则BQ/QC=c/b，BP/PA=a/b， CR/RA=a/c。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。内心:角平分线的交点解设三角形ABC的角平分线的交点是O,过O作三边的高分别是D,E,F ∵OD=OF(角平分线上的任意一点到角的两边距离相等) OF=OE(同理) ∴OD=OE=OF ∴O是三角形内切圆的圆心.(三条半径相等)

三角形的“五心” 我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2均为0°; θ1,θ2取接近30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为34,2493,2509时,θ1=29.658°. 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等.

三角形内心性质是内心到三角形三条边的距离相等。三角形内心指三个内角的三条角平分线相交的点，三角形内心到三角形三条边的距离相等，内心也是三角形内切圆的圆心。三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，为几何图案的基本图形。三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等。相似三角形判定定理：1、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。3、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

1.内心是三角形内切圆的圆心；2.内心到三角形三边的距离相等；3.内心是三角形三个内角平分线的交点4.内心都在三角形的内部；5.内切圆的半径一般通过面积方法来解决

三角形内心的性质：设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。2、∠BIC=90°+∠BAC/2。3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。5、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI=R-2Rr。6、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)。7、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。扩展资料：平面三角形的性质：1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

1.内心是三角形内切圆的圆心；2.内心到三角形三边的距离相等；3.内心是三角形三个内角平分线的交点4.内心都在三角形的内部；5.内切圆的半径一般通过面积方法来解决

解：三角形三条中线的交点称重心，重心将中线分成2:1，顶住均匀三角形的重心可以平衡三角形；三条高的交点称垂心锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外面；三条边垂直平分线的交点称外心外心到三角形三个顶点距离相等，即外接圆的圆心；三条角平分线的交点叫内心内心到各边距离相等，即三角形内切圆的圆心；每两个外角平分线交点叫旁心，旁心即旁切圆圆心，每个三角形有三个旁心。重心、垂心、外心、内心、旁心统称三角形五心。

一、三角形的五心定义：三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。二、五心性质：（一）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。（二）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：((c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c).5、外心到三顶点的距离相等。（三）垂心的性质：1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.（四）内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。（五）旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.2.重心三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.3.三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心4.三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，重心三边上中线的交点垂心三条高的交点内心内接圆圆心三个角角平分线交点外心外接圆圆心三条边的垂直平分线交点还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心)只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

内心（Incenter），三角形三条内角角平分线的交点叫三角形的内心，即内切圆的圆心。内心是三角形角角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。详细解释：内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。内心到三边的距离相等。[注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。]若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到三边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。性质：设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形内心为I1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。（1）IX:IY:IZ=1:1:1（2）BD:DC=c:b;CE:EA=a:c;AF:FB=b:a（3）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)（4）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))（5）△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c3、r=S/p。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。

一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三、三角形的垂心定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。四、三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。垂心：三条高所在直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

三角形的五心 一 定理 重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心. 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心. 垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心. 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心. 旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心. 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点. 上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里,但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明,遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽.

三角形共有五心： 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。参考资料：http://baike.baidu.com/view/5670.htm 5670..（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。 性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。 欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

三角形的外角三角形的内角和定理是什么？三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？三角形的外角它是三角形的外角。1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2.三角形外角的特点：顶点在三角形的一个顶点上。一条边是三角形的一条边。另一条边是三角形的某条边的延长线。3．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

三角形外角和的定理介绍如下：三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。也可以用全称命题表示为：u2200△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。其中θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°。三角形外角的性质1、 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；2、 三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；3、 三角形的外角和为360°。三角形的斜边怎么求如下：一,已知直角三角形的两条直角边,求斜边。方法是：利用勾股定理：斜边=根号（两条直角边的平方和）。二,已知直角三角形的一个锐角a及其对边,求斜边。方法是：利用正弦函数：斜边=（角a的对边）/sina。三,已知直角三角形的一个锐角a及其邻边,求斜边。方法是：利用余弦函数：斜边=（角a的邻边）/cosa。四.已知直角三角形的面积及斜边上的高,求斜边。方法是：利用三角形的面积公式：斜边=（2倍三角形的面积）/斜边上的高。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。扩展资料：判定：1、两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"；2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”；3、两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”；4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”；5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”。

三角形外角的定理是三角形内角和定理一个推论。 因为三个角的和是180度，而一个内角和它相邻的外角组成了平角，所以这个内角和这个外角的和也是180度，所以这个外角等于不相邻的两个内角之和。 而两个内角必定都大于0度，所以这个外角也一定大于任何一个与它不相邻的内角。 这就是三角形的外角定理。

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和。三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角。三角形三个外角之和为360° 。三角形的每个顶点处都有两个相等的外角，所以每个三角形都有六个外角。三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角，且三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。多边形外角：（1）多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。（2）多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°。三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。外角的个数等于多边形边数的两倍。三角形外角和是360°。三角形有6个外角，四边形有8个外角；外角的个数等于多边形边数的两倍；任意多边形的外角和都是360°。角的相关性质：1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。6、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

三角形，四边形，五边形，的外角和应该是360度