函数

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)； (1)若曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值；2)求证f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；(3)若a<0，且对任意x1,x2∈（0,1]都有[f(x1)-f(x2)]≤4|1/x1-1/x2|,求实数a的取值范围。解：(1)。f′(x)=1-(a/x)，f′(1)=1-a=3，故a=-2；(2). f(x)=x-1-alnx的定义域为x>0；令f′(x)=1-(a/x)=(x-a)/x=0，得极小点x=a，故由minf(x)==f(a)=a-1-alna=a(1-lna)-1=0，得a=1；当a=1时minf(x)=f(1)=0；当x≠1时，f(x)=x-1-lnx>0；故f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.(3)f(xu2081)-f(xu2082)=（xu2081-1-alnxu2081)-(xu2082-1-alnxu2082)=(xu2081-xu2082)-a(lnxu2081-lnxu2082)=(xu2081-xu2082)-aln(xu2081/xu2082)而4|(1/xu2081)-(1/xu2082)|=4︱(xu2082-xu2081)/xu2081xu2082︱已知a<0，且0<xu2081<xu2082≦1时不等式(xu2081-xu2082)-aln(xu2081/xu2082)≦4︱(xu2082-xu2081)/xu2081xu2082)︱恒成立；由于0<xu2081<xu2082≦1，故可去掉绝对值符号得(xu2081-xu2082)-aln(xu2081/xu2082)≦4[(xu2082-xu2081)/xu2081xu2082]；aln(xu2081/xu2082)≧(xu2081-xu2082)-4[(xu2082-xu2081)/xu2081xu2082]=(xu2081-xu2082)[1+4/(xu2081xu2082)]即有a≦(xu2081-xu2082)[1+4/(xu2081xu2082)]/(lnxu2081-lnxu2082)=[(xu2082-xu2081)/(lnxu2082-lnxu2081)][1+4/(xu2081xu2082)].......(1)(1)的右边恒>0，故当a<0时(1)式恒成立。

见了东哥还有胖是环境子涛，两个人在我的对经过

解：①当a=9/2时，g(x)=lnx+9/(2(x+1))-k,g"(x)=1/x-9/(2(x+1)^2)=[(x-5/4)^2-9/16]/[x(x+1)^2],有g(x)定义域知x>0;所以，当02时g"(x)>0,1/20时g(x)仅有一个零点，即k>3-ln2或k<3/2+ln2②当a=2时，f"(x)=(x^2+1)/[x(x+1)^2]>0，f(x)在（0,+无穷）上单调递增又当x=1时f(x)=1,所以当01时f(x)>1③由②知当x>1时lnx+2/(x+1)>1,即lnx>(x-1)/(x+1)所以当x>0时有ln(x+1)>x/(x+2)..................................................................式（1）以下用数学归纳法来证明结论：1.当n=1时，ln(2)>1/3成立2.假设n=k时不等式成立即ln(k+1)>1/3+1/5+......1/(2k+1)当n=k+1时，根据式（1）有：ln(k+2)-ln(k+1)=ln[(k+2)/(k+1)]=ln(1/(k+1)+1)>(1/(k+1))/(1/(k+1)+2)=1/(2(k+1)+1)所以ln(k+2)>ln(k+1)+1/(2(k+1)+1)=1/3+1/5+......1/(2k+1)+1/(2(k+1)+1)即n=k+1时不等式也成立由1、2知ln(n+1)>1/3+1/5+......1/(2n+1)n属于正整数给分啊，辛辛苦苦打了这么多

看成t=x+1与y=lnt复合而成，这里t是中间变量复合函数的求导法则：复合函数的导数等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。即[f(t(x))]"=f"|t*t"|x(这里竖线"|"右侧的字母表示下标）y"=y"|t*t"|x=1/t*1=1/(x+1)(把t再代回来）如果y=ln(x2+x)t=x2+xy"=y"|t*t"|x=1/t*(2x+1)=(2x+1)/(x2+1）再如y=lncosxt=cosxy"=1/t*(-sinx)=-sinx/cosx=-tanx(注意化简。任何数学问题的最后结果，一般都有化简的不言自明的要求）我佩服自学者！最佩服自学数学者！我曾经也是后者。y"=1/t*(-sinx)

y=(sinx)^(cosx)两边取对数:lny=cosxln(sinx)两边分别求导:y"/y=(-sinx)ln(sinx)+cosx*cosx/sinx所以y"=[cosx^2/sinx-sinxln(sinx)]*y=[cosx^2/sinx-sinxln(sinx)]*sinx^(cosx)

对f(x)求导再对a的值讨论 就行了

解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=1x+lnx，(x＞0)，f′(x)=-1x2+1x=x-1x2当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．（Ⅱ）因为f′(x)=-ax2+1x=x-ax2，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值．②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；③当a＞e时，x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f(x)min=f(e)=ae+1=2，∴a=e，不符合题意；综上所述，a=e时符合题意．（Ⅲ）证明当a=-1时，函数g(x)=-1x+lnx+lnxx，g′(x)=1x2+1x+1-lnxx2=2+x-lnxx2，令φ（x）=2+x-lnx，（x＞0），则φ′(x)=1-1x=x-1x，所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=-1＜0，而g(e)=-1e+1+1e=1＞0，因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，所以函数g(x)=f(x)+lnxx在其定义域内有唯一的零点．

1a=2,f(x)=2x+lx, f"(x)=2+1/x ∴f(1)=2, 切点（1，2),切线斜率k=32f"(x)=a+1/x=(ax+1)/x (x>0)a≥0时，f"(x)>0恒成立，f(x)递增区间为(0,+∞)a<0时，由f"(x)>0,即ax+1/x>0,x>0解得：0<x<-1/a 由f"(x)<0,即ax+1/x<0, x>0解得：x>-1/a f(x) 递增区间为(0,-1/a) 递减区间为（-1/a +∞)

解:f(x)=2/x+alnxf"(x)=-2/x^2+a/x=(ax-2)/x^2f‘(x)=0x=2/a①当a=0时f"(x)<0恒成立所以f(x)单调递减最小值为f(e)=2/e②当0<2/a<e时f(x)MIN=f(2/a)=a+aln(2/a)③当2/a>=e时f(x)MIN=f(e)=2/e + a③当2/a<0时f(x)MIN=f(e)=2/e + a

求导公式c"=0(c为常数)(a"x)"=a"xlna(logax)"=1/(xlna),a>0且 a≠1(lnx)"=1/x(sinx)"=cosx(cosx)"=-sinx(tanx)"=(secx)2(secx)=secxtanx(cotx)"=-(cscx)2(cscx)=-csxcotx导数的基本公式：y=c(c为常数) y"=0、y=x^n y"=nx^(n-1) 。导数Derivative也叫导函数值，又名微商。对于可导的函数f(x)，xf"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。求导法则：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f"(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

解：定义域 x>0，，f"(x)=1/x-a1、①当a≤0时，f"(x)>0恒成立， f(x)在（0，+∞）上是增函数 ②当a>0时，令 f"(x)>0，则 0<x<1/a，即 f(x)在（0,1/a)上是增函数，在（1/a,+∞）上是减函数2、一、在①情况下，f(x)在（0，+∞）上是增函数，而f(x)<=lnx/(x+1)恒成立可变形为a≥xlnx/(x^2-1),,但是x≥1,所以x>0，lnx>0,x^2-1>0,,所以xlnx/(x^2-1)>0,,即a>0,但是①情况下a≤0，，所以不符合条件。 二、在②情况下，f(x)在（0,1/a)上是增函数，在（1/a,+∞）上是减函数，，可知f(x)有极大值f(1/a)，令g(x)=lnx/(x+1)（x≥1），则g"(x)>0，g(x)在x≥1上单调递增1）当1/a≤1，即a≥1时，f(x)在x≥1上有最大值f(1)=0，又g(x)min=0，故f(x)<=lnx/(x+1)恒成立2）当1/a>1,即0<a<1时，f(x)在x≥1上有最大值f(1/a)=a-lna-1,若f(x)<=lnx/(x+1)恒成立，则只需g(1/a)≥f(1/a）,,即lna-a^2+1≥0。令h(a)=lna-a^2+1,(0<a<1),则h"(a)=1/a-2a可求得h（a）在（0，1）上有极大值h(√2/2)=ln(√2/2)-1/2=ln(√2/2)-ln(√e)=ln[√(1/2e)]<ln1=0即h(a)在（0，1）上恒有h(a)<0 成立，所以f(x)<=lnx/(x+1)在0<a<1，x≥1时不恒成立综上所述，当x>=1时f(x)<=lnx/(x+1)恒成立 ，a的取值范围是 [1,+无穷）好久没做高中的题了，步骤有省略的，在讨论时，你画个草图容易理解些、、、

lne^x等于x。lnx是对数函数。lnx可以理解为ln(x)，即以e为底x的对数，也就是求e的多少次方等于x。lnx=loge^x。一般地，函数y=logaX(au003e0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。lnx是对数函数，属于基本初等函数。lnx=loge^x的定义ln是一个算符，它的意思是求自然对数，即以e为底的对数。e是一个常数，约等于2.71828183，lnx可以理解为ln(x)，即以e为底x的对数，所以也就是求e的多少次方等于x。在1614年开始有对数概念，约翰·纳皮尔以及JostBürgi在6年后。分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。

求导，分母恒大于0，分子为1/x-1，x大于1时导数小于0

e的a次方（e是常数）

方法一：理解lnx = a 表示“x是e的a次方”，换句话说“e的a次方等于x”，其中a就是lnx。那么e的lnx次方不就等于x嘛。方法二：运算1、设 e^(ln x) = y，^( )表示右上标，那么y为被求的数。2、两侧取对数，变成 ln x = ln y3、指数函数、对数函数都是单值单调函数。那么y=x，显然原式=x。

e的a次方（e是常数）

你的错误就在于你没有确定 u 的定义，u 是什么东东呢？ 按照你的思路，应该这样解：解： y = x^a = e^[ ln(x^a) = e^(a*lnx)令 u = u(x) = a*lnx有 u" = a/x故 y = e^uy " =( e^u) * u" = ( e^u) * (a/x) = (x^a) * (a/x) = a * x^(a-1)

因为f(x)=x-(2/x)-alnx(a>0)f"(x)=1 2/x^2-a/x=(x^2-ax 2)/x^2定义域x>0所以x^2>0x^2-ax 2=(x-a/2)^2-a^2/4 2若2-a^2/4>=0-2√2<=a<=2√2,又a>0即0<a<=2√2则x^2-ax 2恒大于等于0则f"(x)>=0增函数若a>2√2x^2-ax 2=0x=[a±√(a^2-8)]/2则若x^2-ax 2>0,x>[a √(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2若x^2-ax 2<0,[a-√(a^2-8)]/2<x<[a √(a^2-8)]/2定义域x>0综上0<a<=2√2，f(x)是增函数a>2√2,则x>[a √(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数，[a-√(a^2-8)]/2<x<[a √(a^2-8)]/2时是减函数a=3f"(x)=1 2/x^2-3/x=(x^2-3x 2)/x^2=0，x=1，x=2则x>2时是增函数，1<x<2是减函数所以x=2最小=2-3ln2x=1或e^2最大f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]

答：f(x)=lnx-a/x求导：f"(x)=1/x+a/x^2，x>01）a>0时，f"(x)=1/x+a/x^2>0f(x)是单调递增函数2）f(x)在[1,e]上的最小值为2同1）知道，a>0时，x=1处取得最小值f(1)=0-a=2解得：a=-2不符合舍去显然，a=0也不符合所以：a<0f"(x)=1/x+a/x^2=0解得：x=-a>00<x<-a时，f"(x)<0，f(x)是减函数x>-a时，f"(x)>0，f(x)是增函数当0<-a<=1即-1<=a<0时：x=1处取得最小值f(1)=0-a=2，a=-2不符合当1<-a<=e即-e<=a<-1时：x=-a处取得最小值f(-a)=ln(-a)+1=2，a=-e，符合当-a>e即a<-e时：x=e处取得最小值f(e)=1-a/e=2，a=-e，不符合综上所述，a=-e

因为f′(x)=-1 x2 +a x =ax-1 x2 ，当a=1，f′(x)=x-1 x2 ，令f"（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f"（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f"（x） - 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗ 所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）

数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。 令x1＞x2＞0，则：fx1 - fx2 =lnx1-lnx2+a/x2–a/x1 =ln(x1/x2)+a(x1-x2)/(x1x2)x1/x2＞1，ln(x1/x2)＞0a＞0时，a(x1-x2)/(x1x2)＞0，故：fx1 - fx2＞0，fx=lnx–a/x为增函数；a=0时，a(x1-x2)/(x1x2)=0，故：fx1 - fx2＞0，fx=lnx–a/x为增函数；a＜0时，a(x1-x2)/(x1x2)＜0，f(x)递减区间为(-1/a,+∞)，f(x)递增区间为(0,-1/a)设gx=-lnx,若fx>=gx在(0，正无穷)恒成立，则fx - gx≥0，lnx–a/x-（-lnx）≥0，2lnx–a/x≥0， a≤2xlnx，故：a≤ -2/e祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)

虽然1/lnx（x＞0,x≠1 ）是初等函数，但是其原函数却不是初等函数，即我们无法用“有限的解析式”来表达1/lnx的原函数[即不定积分∫(1/lnx)dx]。 这与“求∫[(e^x)/x]dx”有实质性的联系：无法用“有限的解析式”来表达，可以用“无限的解析式”来表达

函数ylnx分之一的图像画法如下：准备材料：函数的图像、函数的相关知识1、函数的定义域。2、通过一阶导数，求出函数的单调区间。3、通过函数的二阶导数，求出函数的凸凹区间。4、判断函数在端点处的极限。5、解析函数上部分点如下。6、综合以上性质，函数的示意图如下。

函数ylnx分之一的图像画法如下：准备材料：函数的图像、函数的相关知识1、函数的定义域。2、通过一阶导数，求出函数的单调区间。3、通过函数的二阶导数，求出函数的凸凹区间。4、判断函数在端点处的极限。5、解析函数上部分点如下。6、综合以上性质，函数的示意图如下。

函数ylnx分之一的图像画法如下：准备材料：函数的图像、函数的相关知识1、函数的定义域。2、通过一阶导数，求出函数的单调区间。3、通过函数的二阶导数，求出函数的凸凹区间。4、判断函数在端点处的极限。5、解析函数上部分点如下。6、综合以上性质，函数的示意图如下。

是的 ln(1/x)的导数为 (1/x)"*(lnx)"=-1/(x^3) 另一个也同理 都应该用复合函数求导法则求导

虽然1/lnx（x＞0,x≠1 ）是初等函数，但是其原函数却不是初等函数，即我们无法用“有限的解析式”来表达1/lnx的原函数[即不定积分∫(1/lnx)dx]。 这与“求∫[(e^x)/x]dx”有实质性的联系：无法用“有限的解析式”来表达，可以用“无限的解析式”来表达

(lnx)^2的不定积分是=x(lnx)^2-2xinx+2x+C。∫(lnx)^2dx=x(lnx)^2-∫xd(lnx)^2=x(lnx)^2-∫x*(2lnx)*(1/x)dx=x(lnx)^2-2∫lnxdx=x(lnx)^2-2xinx+2∫xdlnx=x(lnx)^2-2xinx+2x+C不定积分的求解技巧：不定积分的求解方法有第二类换元积分法、第一类换元积分法和分部积分法三种。第二类换元积分法解题步骤是令t=根号下(x-1)，则x=t^2+1，dx=2tdt；原式=∫(t^2+1)/t*2tdt=2∫(t^2+1)dt等等。1、第二类换元积分法令t=根号下(x-1)，则x=t^2+1，dx=2tdt原式=∫(t^2+1)/t*2tdt=2∫(t^2+1)dt=(2/3)*t^3+2t+C=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数2、第一类换元积分法原式=∫(x-1+1)/根号下(x-1)dx=∫[根号下(x-1)+1/根号下(x-1)]d(x-1)=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数3、分部积分法原式=∫2xd[根号下(x-1)]=2x根号下(x-1)-∫2根号下(x-1)dx=2x根号下(x-1)-(4/3)*(x-1)^(3/2)+C，其中C是你任意常数

应该是初等函数，因为1/x是等于1/e，也就是以1为底数。X的对数分之一，也就是说他的值是随x的变化而变化的，如果x越大那么他所对应的函数值就越大。

1/lnx是减函数，且在0＜x≤1时递减，函数值都小于0；在1≤x时递减，函数值都大于0。当x趋近于0时，函数值也无限趋近于0，但不等于0，所以1/lnx在x趋近于0时不是有界函数。

方法如下，请作参考：

lnx的导函数是1/X，由定义推导是：lim(dx->0)ln(1+dx/x)/dx，=lim(dx->0)(dx/x)/dx，=1/x，即y=lnx的导数是y"=1/x。导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f"（x0）或df（x0）/dx。

(lnx)′=1/x，这是公式，记住。

我们需要先知道ln函数的定义，然后才能求导。ln函数是指数函数y=e^x的反函数，其定义域为(0, +∞)，值域为R。根据反函数的求导法则，我们可以得到ln函数的导数：y=ln x 的导数为 y"=1/x所以，ln函数的导数为1/x。

lnx导数是1/x 原式得1/lnx 因为lnx不是x 所以要再乘以lnx的导数 最后得1/xlnx

什么函数的导数是 lnx ？答：x(lnx - 1) 的导数是 lnx 。（lnx 的原函数是 xlnx - x + C ）

因为 1＜2＜3，且底数 3＞1，所以 log3(1)＜log3(2)＜log3(3)，也即 0＜log3(2)＜1，因此 log3(2)∈(0，1)。

对数函数的运算法则是指对数函数在进行四则运算时遵循的规则和性质。下面将从四个方面介绍对数函数的运算法则。一、对数函数的乘法法则对数函数的乘法法则是logb(M*N)=logb(M)+logb(N)，即两个数的乘积的对数等于这两个数的对数相加。例如，log2(4*8)=log2(4)+log2(8)。该法则可以通过对数函数的定义推导得出。对数函数y=logb(x)可以表示为b^y=x，其中b为底数，x为实数。当两个数的乘积等于x时，分别取它们的对数，即有b^y1*y2=b^x，根据指数函数的性质可知，b^(y1+y2)=b^x，因此，logb(M*N)=logb(M)+logb(N)。二、对数函数的除法法则对数函数的除法法则是logb(M/N)=logb(M)-logb(N)，即两个数的商的对数等于这两个数的对数相减。例如，log2(8/4)=log2(8)-log2(4)。该法则可由对数函数的乘法法则推导而得。当两个数的商等于x时，分别取它们的对数，即有b^y1/y2=b^x，根据指数函数的性质可知，b^(y1-y2)=b^x，因此，logb(M/N)=logb(M)-logb(N)。三、对数函数的指数法则对数函数的指数法则是logb(M^p)=p*logb(M)，即一个数的指数的对数等于该数的对数乘以指数。例如，log2(8^2)=2*log2(8)。该法则可以通过对数函数的定义推导得出。当一个数的指数等于x时，取它的对数，即有b^y=x^p，根据指数函数的性质可知，b^(p*y)=x^p，因此，logb(M^p)=p*logb(M)。四、对数函数的换底法则对数函数的换底法则是logb(M)=loga(M)/loga(b)，即一个底数为a的对数可以用底数为b的对数表示。例如，log2(8)=log10(8)/log10(2)。该法则可以通过变换底数的公式推导得出。当一个底数为a的对数等于x时，即a^x=M，将方程取以10为底数的对数，即可得到log10(a^x)=log10(M)，根据指数函数的性质可知，x*log10(a)=log10，因此，logb(M)=loga(M)/loga(b)。

log函数运算公式是按所指定的底数，返回某个数的对数。1、log函数将自然数划为n个等区间，每个区间大小相等。但是每个区间的末端值以底数为倍数依次变化：10，100，1000； 2，4，8；即相对的小值间的间距占有和更大值的间距一样的区间。2、函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0,+∞）.零和负数没有对数。底数a为常数,其取值范围是（0,1）∪（1,+∞）。log的话我们是要加一个底数的，这个数可以是任何数，但lg不同，我们不能加底数，因为lg是log10的简写，就像㏑是loge的简写一样。3、所有的对数函数计算核心都是利用多项式展开。然后多项式求和计算结果。为了性能或者精度的要求可能会对展开后的求和式子做进一步优化。

y1=log1=0;y2=log8=3；因为以2为底x的对数是增函数，所以值域就是【0，3】.

log10(x)就是10的多少次方等于xlog10(100) = 210的2次方（平房）等于2log2(8) = 32的3次方（立方）等于8 这个就叫做以2为底依此类推:)

y=[log2(8)+log2(x)][log2(4)+log2(x)]=[3+log2(x)][2+log2(x)]令a=log2(x)2<=x<=8log2(2)<=log2(x)<=log2(8)所以1<=a<=3y=(3+a)(2+a)=a^2+5a+6=(a+5/2)^2-1/41<=a<=3,y开口向上，对称轴a=-5/2所以定义域在对称轴的右边，是增函数所以a=1,y最小=12a=3，y最大=30

基本函数求导公式:基本导数公式有:(lnx)"=1/x、(sinx)"=cosx、(cosx)"=-sinxo公式:y=c(c为常数)y"=0、y=xny"=nx^(n-l)。导数的基本公式：y=c(c为常数)y"=0、y=x^ny"=nx^(n-1)。导数Derivative也叫导函数值，又名微商。对于可导的函数f(x)，xf"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找字已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。求导法则：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f"(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

对数函数的倒数可以使用以下公式计算：log(a)(N)^-1 = 1/log(a)(N)其中，log(a)(N)表示以a为底的对数函数，N表示底数。例如，如果已知以10为底的对数函数log(10)(N)，要计算它的倒数，可以使用以下公式：[log(10)(N)]^-1 = 1/log(10)(N)在计算时，可以使用计算器或计算机程序进行计算。如果使用计算器，通常需要使用换底公式将自然对数转换为以任意底数a的对数，然后再进行计算。例如，如果想要计算以2为底的对数函数的倒数，可以使用以下步骤：1.计算log(2)(N)，得到对数函数值。2.将log(2)(N)的值代入公式[log(2)(N)]^-1 = 1/log(2)(N)中，计算得到倒数。需要注意的是，对数函数的倒数不是一个具体的数值，而是一个函数，即对应于不同的底数a和不同的底数N，倒数也会有所不同。

对数函数的求导公式是：d/dx(log(x))=1/x。1.对数函数的定义和性质对数函数是指数函数的逆运算，表示为y=log(x)。常见的对数函数有自然对数(ln)和常用对数(log10)。对数函数具有很多重要的性质，例如log(ab)=log(a)+log(b)，log(a/b)=log(a)-log(b)，以及log(a^b)=b*log(a)等。2.对数函数求导的基本方法要求对数函数的导数，可以使用链式法则。对于自然对数函数ln(x)，其导数为1/x；对于常用对数函数log10(x)，其导数为1/(x*ln(10))。通过使用链式法则，可以推导出更复杂的对数函数的导数公式。3.对数函数的导数公式推导推导常见对数函数的导数公式，需要运用链式法则和对数函数的性质。以自然对数函数ln(x)为例，设y=ln(u)，其中u=f(x)是一个可导函数。根据链式法则，对y进行求导，得到dy/dx=dy/du*du/dx。由于dy/du=1/u，du/dx为f"(x)，所以dy/dx=f"(x)/f(x)。而当u=x时，即得到ln(x)的导数为1/x。4.对数函数求导的应用对数函数的导数公式在微积分和数学建模中具有广泛的应用。例如，在求解复杂函数的导数时，可以通过运用对数函数的导数公式简化计算过程。对数函数的导数也在经济学、物理学、工程学等领域的建模中发挥重要作用，帮助解决实际问题。总结：对数函数的求导公式是微积分中的基础内容，在数学和应用领域都具有重要的作用。了解对数函数求导的基本方法和推导过程，有助于加深对微积分的理解，并在实际问题中灵活运用。

对数函数的导数公式：一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要>0且≠1 真数>0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）扩展资料性质：定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}值域：实数集R，显然对数函数无界；定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数对称性：无最值：无零点：x=1注意：负数和0没有对数。

可以化成以其它数为底的对数相除如log(a)x＝lnx/lna

对数函数的导数公式：一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要>0且≠1 真数>0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）扩展资料性质：定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}值域：实数集R，显然对数函数无界；定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数对称性：无最值：无零点：x=1注意：负数和0没有对数。

对数函数的导数是（logax）"=1/xlna，（lnx）"=1/x。如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数要>0且≠1，真数>0。底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）底数一样，真数越小，函数值越大。对数函数求导公式：（Inx)" = 1/x(ln为自然对数）；（logax)" =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)。当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)。（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)。（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）。（6）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）。设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）＾log(b)n=n^（x·log(b)n）＝n^log(b)（n^x）＝n^(log(b)a)。log（a）a^b=b证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X。对数函数一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。其中对数的定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　对数函数是高中数学的重点之一，那么对数函数求导公式是什么呢?快来和我一起看看吧。下面是由我为大家整理的“对数函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　　对数函数求导公式 　　对数求导的公式：(logax)"=1/(xlna)。一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要>0且≠1 真数>0。并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a>1时)如果底数一样，真数越小，函数值越大。 　　对数与指数之间的关系 　　当a大于0，a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x， 　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R)， 　　换底公式(很重要) 　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lga， 　　ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)， 　　lg常用对数以10为底。 　　拓展阅读：对数函数的性质与定义 　　函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂为自变量。下面是对数函数的性质与定义，希望对考生复习有帮助。 　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 　　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 　　(2)对数函数的值域为全部实数集合。 　　(3)函数总是通过(1，0)这点。 　　(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 　　(5)显然对数函数无界。

对数函数求导公式(loga x)"=1/(xlna)。如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要>0且≠1 真数>0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）扩展资料：对数的运算性质当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）参考资料来源：百度百科-对数公式

基本初等函数的求导公式如下：1、常数函数的导数：f"（x）=0，其中f（x）=c（c为常数）。解释：常数函数的导数为0，因为常数不随x的变化而变化。2、幂函数的导数：f"（x）=ax^（a-1），其中f（x）=x^a。解释：幂函数的导数可以通过指数法则和求导法则进行推导。首先，指数法则告诉我们（x^a）"=ax^（a-1），然后根据求导法则，我们可以得到f"（x）=ax^（a-1）。3、正弦函数的导数：f"（x）=cos（x），其中f（x）=sin（x）。解释：正弦函数的导数可以根据三角函数的求导法则进行推导。根据三角函数的求导法则，我们可以得到（sinx）"=cosx。4、余弦函数的导数：f"（x）=-sin（x），其中f（x）=cos（x）。解释：余弦函数的导数可以根据三角函数的求导法则进行推导。根据三角函数的求导法则，我们可以得到（cosx）"=-sinx。5、对数函数的导数：f"（x）=1/x，其中f（x）=log（x）（以a为底）。解释：对数函数的导数可以根据对数的性质和求导法则进行推导。首先，对数的性质告诉我们（log（a）^b）"=1/ab，然后根据求导法则，我们可以得到f"（x）=1/x。导数的基本原则1、导数的定义：导数是函数值随自变量变化的速度。它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在这一点处变化的快慢程度。导数的定义公式为：f"（x）=lim（h->0）【（f（x+h）-f（x））/h】。2、导数的几何意义：导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。这意味着导数描述了函数图像在某一点处的弯曲程度。导数的运算法则：导数的运算法则包括加法、减法、乘法、除法以及复合函数的求导法则等。这些法则可以帮助我们快速计算函数的导数。3、除了以上三个基本原则，导数还有一些重要的性质和定理，如单调性定理、极值定理、最值定理等。这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和应用导数。

对数函数的导数公式：一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要＞0且≠1真数＞0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0，且a≠1)，则x叫作以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫作对数的底，N叫作真数。通常我们将以10为底的对数叫作常用对数，以e为底的对数称为自然对数。特殊运算如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1)叫作对数函数 它实际上就是指数函数的反函数。

log函数求导如下：对数函数是数学中的一种基础函数，其在自然科学和工程领域中有广泛的应用。其中最常见的对数函数是以e为底的自然对数函数ln(x)，和以10为底的常用对数函数log(x)。这里我们讨论的是常用对数函数。常用对数函数log(x)的定义如下：log10(x) = y <==> 10^y = x其中x是函数的自变量，y是函数的因变量。该函数表示以10为底的指数函数中，指数为y时得到的值是x。接下来，我们来求对数函数log(x)的导数。根据定义，我们有：log10(x) = y <==> 10^y = x对该式两边同时求导数，得到：d/dx(log10(x)) = d/dx(y) <==> d/dx(10^y) = d/dx(x)因为y是x的函数，所以需要使用链式法则：d/dx(10^y) = d/dy(10^y) * d/dx(y) = ln(10) * 10^y * d/dx(log10(x))因为d/dx(x) = 1，所以上述式子变为：ln(10) * 10^y * d/dx(log10(x)) = 1移项得：d/dx(log10(x)) = 1 / (ln(10) * 10^y)由于y = log10(x)，因此我们可以将y带入得到：d/dx(log10(x)) = 1 / (ln(10) * x)所以常用对数函数log(x)的导数为：d/dx(log(x)) = 1 / (ln(10) * x)需要注意的是，对于函数log(x)，只有在x>0的情况下才有定义。对于x<=0的情况，其导数不存在。因此，当我们需要对常用对数函数log(x)进行求导时，需要特别注意以上限制条件。

预备定理：首先需要知道lim(x→∞)（1+1/x）*x=e（只要极限存在即可,定义为e；可以证明上界小于3）.可以用二项式展开,证明略.(log(a) x)"=lim(Δx→0) (log(a) (x+Δx)-lon(a) x)/Δx=lim(Δx→0) log(a) (((x+Δx)/...

设y=log(a)x x>0 则 a^y=x 这个函数的反函数是 y=a^x y>0 y"=(a^x)"=ylna 原函数的导数为此结果的倒数, 即 y"=1/(xlna)

log函数，也就是对数函数，它的求导公式为y=logaX，y"=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y"=1/x】。对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数实际上是指数函数的反函数。对数函数的求导公式为为y=logaX，y"=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y"=1/x】。关于导数：导数，是微积分中的重要基础概念。设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。注意：有的函数是没有导数的。若某函数在某一点存在导数，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

log函数，也就是对数函数，它的求导公式为y=logaX，y"=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y"=1/x】。对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数实际上是指数函数的反函数。对数函数的求导公式为为y=logaX，y"=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y"=1/x】。关于导数：导数，是微积分中的重要基础概念。设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。注意：有的函数是没有导数的。若某函数在某一点存在导数，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

log函数的导数公式是：d/dx log_a(x) = 1 / (x * ln(a))其中，a表示对数的底数，x表示自变量。这个导数公式可以用来计算以任意正数为底的对数函数的导数。导数表示函数在某一点上的变化率，可以用于求解曲线的斜率、切线方程以及优化问题等。需要注意的是，对数函数的导数是与对数底数有关的。相同的自变量对不同底数的对数函数求导结果是不同的。同时，对数函数的导数公式也适用于常用对数（以10为底）和自然对数（以e为底）。另外，如果要计算复合函数的导数，可以使用链式法则。例如，如果要计算 g(x) = log_a(f(x)) 的导数，可以使用导数公式和链式法则进行计算。根据链式法则，g"(x) = (1 / (f(x) * ln(a))) * f"(x)，其中 f"(x) 表示 f(x) 的导数。

用的是极限中的一个结论：x趋近于0时ln(1+x)和x是等价无穷小。h趋近于0时，ln(1+h/x)和h/x是等价无穷小。例如:对数函数的推导需要利用反函数的求导法则指数函数的求导，定义法：f(x)=a^xf"(x)=lim(detaX->0)[(f(x+detaX)-f(x))/detax]=lim(detaX->0)[(a^(x+detaX)-a^x/)detax]=(a^x).........(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h=lim(h->0)[loga(x+h)-logax]/h=lim(h->0)1/hloga[(x+h)/x]=1/xIna扩展资料：在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】参考资料来源：百度百科-对数函数

用的是极限中的一个结论：x趋近于0时ln(1+x)和x是等价无穷小。h趋近于0时，ln(1+h/x)和h/x是等价无穷小。例如:对数函数的推导需要利用反函数的求导法则指数函数的求导，定义法：f(x)=a^xf"(x)=lim(detaX->0)[(f(x+detaX)-f(x))/detax]=lim(detaX->0)[(a^(x+detaX)-a^x/)detax]=(a^x).........(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h=lim(h->0)[loga(x+h)-logax]/h=lim(h->0)1/hloga[(x+h)/x]=1/xIna实数域在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。对数函数的底数为什么要大于0且不为1，在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）。

y=log_a(x) =lnx/lna y"=1/lna*1/x =1/(xlna) 记得采纳啊

y=log_a(x) =lnx/lna y"=1/lna*1/x =1/(xlna) 记得采纳啊

　　对数函数的导数怎么求，相关的知识点又是什么？不知道的考生看过来，下面由我为你精心准备了“对数函数的导数及相关知识点”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容! 　　对数函数的导数 　　对数函数求导 　　(Inx)"=1/x(ln为自然对数)，(logax)"=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。 　　一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 　　底数则要>0且≠1真数>0 　　并且，在比较两个函数值时: 　　如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a>1时) 　　如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0 　　对数函数 　　一般地，对数函数是以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。 　　其中对数的定义:如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 　　一般地，函数y=logaX(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。 　　其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)，即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 对数函数的相关知识点 　　对数的定义 　　如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 　　注:1、以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 　　2、称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 　　3、零没有对数。 　　4、在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 　　对数函数的定义 　　一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。 　　其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 　　对数函数的性质 　　定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 　　值域:实数集R，显然对数函数无界。 　　定点:函数图像恒过定点(1，0)。 　　单调性:a>1时，在定义域上为单调增函数; 　　奇偶性:非奇非偶函数 　　周期性:不是周期函数 　　对称性:无 　　最值:无 　　零点:x=1 　　注意:负数和0没有对数。 　　两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。 　　对数公式运算法则 　　对数的定义 　　如果 a^x=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作 x=log(a)N .其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。且a>o并且a≠1，N>0 　　在实数范围内，负数和0没有对数。在复数范围内，负数有对数。 　　由于数学是为现实生活服务的——建立的必须是现实存在的数学模型，故在现实生活中不存在真数为负数的数学模型。所以，高等数学中真数为负数的情况仅在理论上成立。 　　对数公式运算法则 　　对数运算法则，是一种特殊的运算方法。指积、商、幂、方根的对数的运算法则。在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 　　这意味着一个数字的对数，是必须产生另一个固定数字(基数)的指数。 一般来说，乘幂允许将任何正实数，提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。 　　由指数和对数的互相转化关系可得出：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差。一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂的指数。若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则：一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根指数。

预备定理：首先需要知道lim(x→∞)（1+1/x）*x=e（只要极限存在即可，定义为e；可以证明上界小于3）。可以用二项式展开，证明略。解：(log(a) x)"=lim(Δx→0) (log(a) (x+Δx)-lon(a) x)/Δx=lim(Δx→0) log(a) (((x+Δx)/x)^(1/Δx)=lim(Δx→0) (log(a) (1+Δx/x)^(x/Δx))/x=lim(x/Δx→∞) (log(a) (1+Δx/x)^(x/Δx))/x=1/x*log(a) e。特殊地，a=e时，(ln x)"=1/x。若已知(ln x)"=1/x，则也可以得出(log(a) x)"=(ln x/ln a)"=ln a(ln x)"/(ln a)^2=1/（xln a）=1/x*log(a) e。还有若已知y"=(a^x)"=a^xln a，则也可以得出x"=(log(a) y)"=1/(yln a)，所以(log(a) x)"=1/（xln a）=1/x*log(a) e。

log函数的导数公式是：d/dx log_a(x) = 1 / (x * ln(a))其中，a表示对数的底数，x表示自变量。这个导数公式可以用来计算以任意正数为底的对数函数的导数。导数表示函数在某一点上的变化率，可以用于求解曲线的斜率、切线方程以及优化问题等。需要注意的是，对数函数的导数是与对数底数有关的。相同的自变量对不同底数的对数函数求导结果是不同的。同时，对数函数的导数公式也适用于常用对数（以10为底）和自然对数（以e为底）。另外，如果要计算复合函数的导数，可以使用链式法则。例如，如果要计算 g(x) = log_a(f(x)) 的导数，可以使用导数公式和链式法则进行计算。根据链式法则，g"(x) = (1 / (f(x) * ln(a))) * f"(x)，其中 f"(x) 表示 f(x) 的导数。

log函数，也就是对数函数，它的求导公式为y=logaX，y"=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y"=1/x】。对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数实际上是指数函数的反函数。对数函数的求导公式为为y=logaX，y"=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y"=1/x】。关于导数：导数，是微积分中的重要基础概念。设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。注意：有的函数是没有导数的。若某函数在某一点存在导数，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

设y=log(a)x x>0则 a^y=x 这个函数的反函数是 y=a^x y>0y"=(a^x)"=ylna原函数的导数为此结果的倒数,即 y"=1/(xlna)

利用定理：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。x=a^y，它的反函数是y=loga(x)(a^y)"=a^y lna(loga(x))"=1/(a^y)"=1/(a^ylna)=1/(xlna)一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。扩展资料：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1。和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}。在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等。）参考资料来源：百度百科--对数函数

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M)和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M易得log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1

1、利用反函数求导：设y=loga(x) 则x=a^y。 2、根据指数函数的求导公式,两边x对y求导得：dx/dy=a^y*lna 3、所以dy/dx=1/(a^y*lna)=1/(xlna)。 4、如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 5、一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。 6、其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

#include <stdio.h>void main(){long jc(int n);int i;for(i=0;i<20;i++){printf("%d!=%1d ",i,jc(i));}}long jc(int n){if(n==0||n==1)return 1;elsereturn n*jc(n-1);}

简单计算一下即可，答案如图所示

对O(s)求两阶导数

tanx的逆函数是arctanx，那么它的导数就可以通过求导公式推导出来：(dy/dx)(arctanx) = 1 / (dx/dy)(tanx) 因为tanx的导数是sec^2x，所以：(dx/dy)(tanx) = sec^2x 代入公式中得：(dy/dx)(arctanx) = 1 / sec^2x 将sec^2x表示为1 + tan^2x，得到：(dy/dx)(arctanx) = 1 / (1 + tan^2x) 因此，tanx的逆函数arctanx的导数为1 / (1 + tan^2x)。

tanx的逆函数是arctanx，那么它的导数就可以通过求导公式推导出来：(dy/dx)(arctanx) = 1 / (dx/dy)(tanx) 因为tanx的导数是sec^2x，所以：(dx/dy)(tanx) = sec^2x 代入公式中得：(dy/dx)(arctanx) = 1 / sec^2x 将sec^2x表示为1 + tan^2x，得到：(dy/dx)(arctanx) = 1 / (1 + tan^2x) 因此，tanx的逆函数arctanx的导数为1 / (1 + tan^2x)。

tan的诱导公式是:(tanx)" = sec^2x这里,"表示导数,tanx表示tan函数,secx表示sec函数。这个公式的推导过程是:tanx = sinx/cosx对两边求导数得:(tanx)" = (sinx)"/cosx - sinx(cosx)"/cos^2x (商的导数法则)又因为:(sinx)" = cosx, (cosx)" = -sinx代入得:(tanx)" = (cosx)/cosx + sinx(-sinx)/cos^2x= sec^2x所以tan函数的导数就是它的正割函数sec^2x。

题意有两种理解方式：1、如果是求y=tanx^2的导数，则有：y=sec^2(x^2)*(x^2)"=2xsec^2(x^2)2、如果是求y=(tanx)^2的导数，则有：y=2tanx*(tanx)"=2tanxsec^2x函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

tanx的逆函数是arctanx，那么它的导数就可以通过求导公式推导出来：(dy/dx)(arctanx) = 1 / (dx/dy)(tanx) 因为tanx的导数是sec^2x，所以：(dx/dy)(tanx) = sec^2x 代入公式中得：(dy/dx)(arctanx) = 1 / sec^2x 将sec^2x表示为1 + tan^2x，得到：(dy/dx)(arctanx) = 1 / (1 + tan^2x) 因此，tanx的逆函数arctanx的导数为1 / (1 + tan^2x)。

arccscx=arcsin(1/x) arcsecx=arccos(1/x) arccotx=arctan(1/x)=pai/2-arctanx