- 真颛
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反函数的图像和原函数的图像是对称关系,他们关于y=x这条线对称。
f(x)=2^x+1先改写成y=2^x+1,这样方便我们交换x和y的地位。
反函数的定义域就是原函数的值域,我们现在有了原函数的定义域(-1≤x<0),第一步要根据这个定义域求原函数的值域,不过还要先判断y=2^x+1是增函数还是减函数,以及单调性。画画图就知道y=2^x+1是单调增函数,不用说,它反函数肯定也是单调增函数。这就好办了,当x=-1时,y=1.5,当x=0时,y=2。那么原函数的值域就是(1.5≤y<2),那么反函数的定义域就是(1.5≤x<2)。
第二步,求反函数,把x倒腾过来,y倒腾过去就行了。2^x=y-1;
x=log(2)(y-1);然后,按着习惯,x,y的位置换一下,y=log(2)(x-1);
最后一步,写出完整结果y=log(2)(x-1)定义域为(1.5≤x<2),或者
f-1(x)=log(2)(x-1)定义域为(1.5≤x<2)
- 二分好久没看
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找到一个单调区间,此区间即是烦函数的定义域
把函数看作方程: y=f(x)
解方程,求出x用y标识的表达式,x=f^(-1)(y)
将x,y互换即得反函数表达式: y=f^(-1)(x)
例如:求 y=3x+5的反函数,函数在(-∞, +∞)内单调,值域为:(-∞, +∞)
∴ 所以反函数的定义域为:(-∞, +∞),值域为:(-∞, +∞)
由 y=3x+5 解得:x=1/3*y-5/3
∴ 反函数为: y=1/3*x-5/3 x∈(-∞, +∞)
- 七秒真人
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找到一个单调区间,此区间即是烦函数的定义域
把函数看作方程: y=f(x)
解方程,求出x用y标识的表达式,x=f^(-1)(y)
将x,y互换即得反函数表达式: y=f^(-1)(x)
例如:求 y=3x+5的反函数,函数在(-∞, +∞)内单调,值域为:(-∞, +∞)
∴ 所以反函数的定义域为:(-∞, +∞),值域为:(-∞, +∞)
由 y=3x+5 解得:x=1/3*y-5/3
∴ 反函数为: y=1/3*x-5/3 x∈(-∞, +∞)
- 敬岭
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(1)看不清
(2)y=(1-x)/(1+x),
所以y+xy=1-x,
整理得x(1+y)=1-y,
所以x=(1-y)/(1+y),
把x,y互换得y=(1-x)/(1+x),为所求。
- 阿啵呲嘚
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x≥0,f(x)的范围为实数R
所以反函数定义域为实数R
设√x=t.原式:y=t-1/t
yt=t^2-1 t^2-yt-1=0
t=√x=[y±√(y^2+4)]/2(求根公式)两边平方后:
4x=y^2+y^2+4±2y√(y^2+4)
x=1/2y^2+1±1/2√(y^2+4)
反函数:f^-1(x)=1/2y^2+1±1/2√(y^2+4) (x属于R)
- 云游索拉里
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首先看这个函数是不是单调函数
如果不是则反函数不存在
如果是单调函数
则有反函数
则只要把x和y互换
然后解出y即可
- 晨官
- 大鱼炖火锅
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反函数定义
般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
反函数性质
1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称
(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0},但是y=k(常数)无法通过水平线测试,所以没有反函数。)。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。 (8)反函数是相互的 (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反) (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2)) 例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题:求函数3x-2的反函数 解:y=3x-2的定义域为R,值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)(x属于R) (11)反函数的导数关系:如果X=F(Y)在区间I上单调,可导,且F‘(Y)不等于0,那么他的反函数Y=F"(X)在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导,且[F‘(X)]"=1[F"(Y)]"。
反函数说明
⑴在函数x=f"(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y,把它改写成y=f"(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x),那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。 ⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数,如二次函数在R内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数。 ⑷ 从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f"(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f"(x)的定义域(如下表): 函数:y=f(x) 反函数:y=f"(x) 定义域: A C 值域: C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为: 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f"(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f"(s)=s/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f‘(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将x进行分类讨论:在x大于0时的情况,x小于0的情况,多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
直接求原函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的: 1、先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域; (我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步) 2、反解x,也就是用y来表示x; 3、改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x; 4、写出原函数及其值域。 实例:y=2x+1(值域:任意实数) x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意实数) 特别地,形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数,它的反函数都是它本身。 反函数求解三步骤: 1、换:X、Y换位 2、解:解出Y 3、标:标出定义域