复合函数导数公式

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，从而（公式）：f"[g(x)]=f"(u)*g"(x)呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)所以f"[g(x)]=[sin(u)]"*(2x)"=2cos(u),再用2x代替u，得f"[g(x)]=2cos(2x).以此类推y"=[cos(3x)]"=-3sin(x)y"={sin(3-x)]"=-cos(x)一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。

复合函数导数公式如下：含义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠0，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。论证说明：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)。证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域);H(x)=f"(x0),x=x0。因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)。所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)。所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)。引理证毕。延伸论证说明：设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。

复合函数求导公式：①设u=g (x)，对f (u)求导得：f" (x)=f" (u)*g" (x);②设u=g (x),a=p (u)，对f (a)求导得：f" (x)=f" (a)*p" (u)*g" (x)；什么是复合函数：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果MxnDu≠0，那么对于MxnDu内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。复合函数怎么求导：总的公式f"[g(x)]=f"(g) Xg"(x)，比如说：求1n(x+2)的导函数。[In(x+2)]"=[1/(x+2)][注: 此时将(x+2)看成一个整体的未知数x]X1[注: 1即为(x+2)的导数]。主要方法:先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方， v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

u=φ（x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ（x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ（x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ＇(x0)=f"(φ（x0))φ＇(x0)。证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ（x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ＇（x0)=G(x0),且φ（x)-φ（x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ（x))-f(φ（x0))=H(φ（x))(φ（x)-φ（x0))=H(φ（x))G(x)(x-x0)。简介：链式法则（英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x, g(x)=3x+3, g(x)就是一个复合函数，并且＇（)=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。链式法则用文字描述，就是＂由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。若h(a)=f，则h"(a)=f"g"(x)。链式法则用文字描述，就是＂由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。

复合函数求导遵循链式法则链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]，则h"(a)=f"[g(x)]g"(x)文字描述就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。"

　　.常用导数公式　　1.y=c(c为常数) y"=0　　2.y=x^n y"=nx^(n-1)　　3.y=a^x y"=a^xlna　　y=e^x y"=e^x　　4.y=logax y"=logae/x　　y=lnx y"=1/x　　5.y=sinx y"=cosx　　6.y=cosx y"=-sinx　　7.y=tanx y"=1/cos^2x　　8.y=cotx y"=-1/sin^2x　　9.y=arcsinx y"=1/√1-x^2　　10.y=arccosx y"=-1/√1-x^2　　11.y=arctanx y"=1/1+x^2　　12.y=arccotx y"=-1/1+x^2　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：　　1.y=f[g(x)],y"=f"[g(x)]u2022g"(x)『f"[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g"(x)中把x看作变量』　　2.y=u/v,y"=u"v-uv"/v^2　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y"=1/x"　　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。　　2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y"=e^x和y=lnx y"=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。　　3.y=a^x,　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x　　如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。　　所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β　　显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。　　把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。　　可以知道，当a=e时有y=e^x y"=e^x。　　4.y=logax　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x　　⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x　　因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有　　lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。　　可以知道，当a=e时有y=lnx y"=1/x。　　这时可以进行y=x^n y"=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,　　所以y"=e^nlnxu2022(nlnx)"=x^nu2022n/x=nx^(n-1)。　　5.y=sinx　　⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)　　⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)　　所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)u2022lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx　　6.类似地，可以导出y=cosx y"=-sinx。　　7.y=tanx=sinx/cosx　　y"=[(sinx)"cosx-sinx(cos)"]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x　　8.y=cotx=cosx/sinx　　y"=[(cosx)"sinx-cosx(sinx)"]/sin^2x=-1/sin^2x　　9.y=arcsinx　　x=siny　　x"=cosy　　y"=1/x"=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2　　10.y=arccosx　　x=cosy　　x"=-siny　　y"=1/x"=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2　　11.y=arctanx　　x=tany　　x"=1/cos^2y　　y"=1/x"=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2　　12.y=arccotx　　x=coty　　x"=-1/sin^2y　　y"=1/x"=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与　　4.y=u土v,y"=u"土v"　　5.y=uv,y=u"v+uv"　　均能较快捷地求得结果。

1.设u=g(x),对f(u)求导得:f"(x)=f"(u)*g"(x);2.设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x);设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为D_。M_∩Du≠_，那么对于M_∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(compositefunction)。

导数公式指的是基本初等函数的导数公式，导数运算法则主要包括四则运算法则、复合函数求导法则（又叫“链式法则”）。一、什么是导数？导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f"(a)。二、基本初等函数的导数公式高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有：常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。它们的导数公式如下图所示：高中数学基本初等函数导数公式三、导数加、减、乘、除四则运算法则导数加、减、乘、除四则运算法则公式如下图所示：1、加减法运算法则导数的加、减法运算法则公式2、乘除法运算法则导数的乘、除法运算法则公式【注】分母g(x)≠0.为了便于记忆，我们可以把导数的四则运算法则简化为如下图所示的、比较简洁的四则运算公式。简化后的导数四则运算法则公式【注】分母v≠0.四、复合函数求导公式（“链式法则”）求一个基本初等函数的导数，只要代入“基本初等函数的导数公式”即可。对于基本初等函数之外的函数如“y=sin(2x)”的导数，则要用到复合函数求导法则（又称“链式法则”）。其内容如下。（1）若一个函数y=f(g(x))，则它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系如下图所示。复合函数导数公式（2）根据“复合函数求导公式”可知，“y对x的导数，等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”。【例】求y=sin(2x)的导数。解：y=sin(2x)可看成y=sinu与u=2x的复合函数。因为(sinu)"=cosu，(2x)"=2，所以，[sin(2x)]"=(sinu)"×(2x)"=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。五、可导函数在一点处的导数值的物理意义和几何意义（1）物理意义：可导函数在该点处的瞬时变化率。（2）几何意义：可导函数在该点处的切线斜率值。【注】一次函数“kx+b(k≠0)”的导数都等于斜率“k”，即(kx+b)"=k。

上限是复合函数的变上限积分的求导法则：上限是复合函数的变上限积分的求导法则，其证明见上图。你的图片中的公式2是一般的变限函数求导公式，你的图片中的1式，是2的特殊情况。用到原函数，复合函数求导等。导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

复合指数函数求导，先对外层函数求导再乘上内层函数求导。详解例如复合函数y=f(g(x)),在这个函数里,f就是外层函数,g就是内层函数，令v=g(x)那么y"=f"(v)*g"(x)，例题：y=a^(2x+5)y"=(lna)[a^(2x+5)]*(2x+5)"扩展资料常见导数公式1、C"=0(C为常数)；2、(Xn)"=nX(n-1) (n∈R)；3、(sinX)"=cosX；4、(cosX)"=-sinX；5、(aX)"=aXIna （ln为自然对数)；6、(logaX)"=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)；7、(tanX)"=1/(cosX)2=(secX)28、(cotX)"=-1/(sinX)2=-(cscX)29、(secX)"=tanX secX；10、(cscX)"=-cotX cscX；

设有复合函数y=f(g(x)),若g(x)在点x可导，函数f(u)在点u=g(x)可导，复合函数求导公式：dy/dx=dy/du*du/dx首先分析变量之间的关系，这里x是自变量，u是中间变量，y是函数，当x由增量@x时，首先引起中间变量有增量@u，由@u在引起函数的增量@f。粗略但比较直观的证明可以写成@f/@x=@f/@u*@u/@x当@x6趋于0时，有@u趋于0，两边取极限，则有lim@f/@x=lim(@f/@u*@u/@x)=f"(u)*u"(x)

复合函数求导公式：Y=f(u)，U=g(x)，则y′=f(u)′*g(x)′。设函数Y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。求导的主要方法，先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

复合函数导数公式如下：含义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠0，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。论证说明：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)。证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域);H(x)=f"(x0),x=x0。因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)。所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)。所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)。引理证毕。延伸论证说明：设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。

复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方， v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。

极限链式法则是求复合函数导数的一个法则。若h(x)=f(g(x))则h"(x)=f"(g(x))g"(x)。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=3x+3。证法y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f"(u)或Δy/Δu=f"(u)+α（lim(Δu->0)α＝0)。当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f"(u)Δu+αΔu。但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得：dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx。=lim(Δx->0)/Δx。=f"(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx。又g(x)在x处连续（因为它可导）,故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0。则lim(Δx->0)α＝0。最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。

复合函数导数公式如下：含义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠0，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。论证说明：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)。证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域);H(x)=f"(x0),x=x0。因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)。所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)。所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)。引理证毕。延伸论证说明：设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

复合函数求导的方法如下：总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x" ×1注：1即为（x+2)的导数。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。复合函数证明方法如下：先证明个引理：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f"(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f"(u)或Δy/Δu=f"(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f"(u)Δu+αΔu但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f"(u)Δu+αΔu]/Δx=f"(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文我给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则 证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f"(x0),x=x0 因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0) 引理证毕。 设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0) 又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0) 于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0) 因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且 F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0) 证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f"(u)或Δy/Δu=f"(u)+α(lim(Δu->0)α=0) 当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f"(u)Δu+αΔu 但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。 又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得 dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f"(u)Δu+αΔu]/Δx=f"(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx 又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0 则lim(Δx->0)α=0 最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

　　复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。下面是由我为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　　 复合函数求导公式有哪些 　　链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。 　　链式法则(chain rule) 　　若h(a)=f[g(x)] 　　则h"(a)=f"[g(x)]g"(x) 　　链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。" 　　 拓展阅读：复合函数的奇偶性 　　复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶; 　　若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。 　　1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。 　　奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。 　　奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。 　　2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。 　　函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。 　　函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。 　　函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。 　　 复合函数的单调性的判断方法 　　复合函数单调性就2句话： 　　2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数 　　2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数 　　简单记法：负负得正,正在得正,负正得负

复合函数求导数，分清楚内层函数与外层函数，设外层函数为u外层函数对u求导数，乘以内层函数对x求导，然后把u还回去。如果是三层，最外层设为u，中间层设为v，外层对u求导数，乘以中间层对v乘以内层对x求导数。以此类推。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。函数相乘求导公式：(fg)=fg+fg，式中两个连续函数f，g及其导数f′，g′则它们的积。乘积法则也称莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

　　.常用导数公式 　　1.y=c(c为常数) y"=0 　　2.y=x^n y"=nx^(n-1) 　　3.y=a^x y"=a^xlna 　　y=e^x y"=e^x 　　4.y=logax y"=logae/x 　　y=lnx y"=1/x 　　5.y=sinx y"=cosx 　　6.y=cosx y"=-sinx 　　7.y=tanx y"=1/cos^2x 　　8.y=cotx y"=-1/sin^2x 　　9.y=arcsinx y"=1/√1-x^2 　　10.y=arccosx y"=-1/√1-x^2 　　11.y=arctanx y"=1/1+x^2 　　12.y=arccotx y"=-1/1+x^2 　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 　　1.y=f[g(x)],y"=f"[g(x)]u2022g"(x)『f"[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g"(x)中把x看作变量』 　　2.y=u/v,y"=u"v-uv"/v^2 　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y"=1/x" 　　证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0. 　　2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到 y=e^x y"=e^x和y=lnx y"=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明. 　　3.y=a^x, 　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) 　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 　　如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β). 　　所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 　　显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna. 　　把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna. 　　可以知道,当a=e时有y=e^x y"=e^x. 　　4.y=logax 　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x 　　⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x 　　因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有 　　lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x. 　　可以知道,当a=e时有y=lnx y"=1/x. 　　这时可以进行y=x^n y"=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 　　所以y"=e^nlnxu2022(nlnx)"=x^nu2022n/x=nx^(n-1). 　　5.y=sinx 　　⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2) 　　⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2) 　　所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)u2022lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx 　　6.类似地,可以导出y=cosx y"=-sinx. 　　7.y=tanx=sinx/cosx 　　y"=[(sinx)"cosx-sinx(cos)"]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 　　8.y=cotx=cosx/sinx 　　y"=[(cosx)"sinx-cosx(sinx)"]/sin^2x=-1/sin^2x 　　9.y=arcsinx 　　x=siny 　　x"=cosy 　　y"=1/x"=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 　　10.y=arccosx 　　x=cosy 　　x"=-siny 　　y"=1/x"=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 　　11.y=arctanx 　　x=tany 　　x"=1/cos^2y 　　y"=1/x"=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 　　12.y=arccotx 　　x=coty 　　x"=-1/sin^2y 　　y"=1/x"=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 　　4.y=u土v,y"=u"土v" 　　5.y=uv,y=u"v+uv" 　　均能较快捷地求得结果.

复合函数导数公式如下：含义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠0，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。论证说明：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)。证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域);H(x)=f"(x0),x=x0。因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)。所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)。所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)。引理证毕。延伸论证说明：设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

复合函数求导公式推导：F"(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx (1) g(x+dx) - g(x) = g"(x)*dx = dg(x) (2) g(x+dx) = g(x) + dg(x) (3) F"(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx = F"(g) * g"(x)基本函数的求导公式1.y=c(c为常数) y"=0 2.y=x^n y"=nx^(n-1) 3.y=a^x y"=a^xlna y=e^x y"=e^x 4.y=logax y"=logae/x y=lnx y"=1/x 5.y=sinx y"=cosx 6.y=cosx y"=-sinx 7.y=tanx y"=1/cos^2x 8.y=cotx y"=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y"=1/√1-x^2 10.y=arccosx y"=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y"=1/1+x^2 12.y=arccotx y"=-1/1+x^2

复合函数怎么求导总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说:求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注:此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注:1即为(x+2)的导数】主要方法:先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。复合函数证明方法先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域);H(x)=f"(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)证明:由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)证法二:y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f"(u)或Δy/Δu=f"(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f"(u)Δu+αΔu但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f"(u)Δu+αΔu]/Δx=f"(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

上限是复合函数的变上限积分的求导法则：上限是复合函数的变上限积分的求导法则，其证明见上图。你的图片中的公式2是一般的变限函数求导公式，你的图片中的1式，是2的特殊情况。用到原函数，复合函数求导等。导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

复合函数求导数，分清楚内层函数与外层函数，设外层函数为u外层函数对u求导数，乘以内层函数对x求导，然后把u还回去。如果是三层，最外层设为u，中间层设为v，外层对u求导数，乘以中间层对v乘以内层对x求导数。以此类推。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。函数相乘求导公式：(fg)=fg+fg，式中两个连续函数f，g及其导数f′，g′则它们的积。乘积法则也称莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

复合函数的情况千差万别，通常是化作简单的基本函数再行积分。例如 ∫(sinx)^2dx =∫[(1-cos2x)/2]dx =∫dx/2-(1/2)∫cos2xdx =x/2-(sin2x/2)/2+C =x/2-sin2x/4+C 可以把它展开成无穷级数以后再积分，代人不会得到简单的初等函数。扩展资料：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点：1、当为整式或奇次根式时，R的值域；2、当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；3、当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；4、当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。5、当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。6、分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。7、由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求8、对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。9、对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。10、三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数的积分如下：一般而言，复合函数的积分的是：∫udv =uv-∫vdu。其实就本质而言，复合函数相当于将其中一个初等函数（次级函数）镶嵌在另外一个初等函数（主体函数）中。复合函数的积分一般可以利用换元法来解。换元后不仅积分变量要随之改变，积分限也要随这改变。复合函数的定义域：当为整式或奇次根式时，R的值域。当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）。当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0。当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

复合函数的积分计算公式是∫udv=uv-∫vdu。fudv=uv-fvdu。复合函数通常是由两个基本初等函数复合而成，相当于将其中一个初等函数（次级函数）镶嵌在另外一个初等函数（主体函数）中。对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记做y=f（g（×））。设函数y=f（u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g（x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果MxNDu#O，那么对于MxNDu内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数（compositefunction），记为：y=f[g（x）]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。复合函数的计算技巧：1、换元法：换元法是将复合函数中的中间变量用一个新的变量代替，从而使复合函数转化为简单函数的方法。通过换元，可以将复合函数的结构变得更加清晰，便于进行计算和化简。2、分解法：分解法是将复合函数分解成几个简单函数的方法。通过将复合函数分解成几个简单函数，可以分别研究和计算每个简单函数的性质，然后再将它们组合起来，得到复合函数的性质。3、逐步代入法：逐步代入法是一种逐步将自变量代入复合函数的方法。通过逐步代入，可以得到复合函数在自变量取某个特定值时的结果，进而计算复合函数的性质。在进行复合函数的计算时，要特别注意函数的定义域和值域。由于复合函数是由多个简单函数组合而成的，因此其定义域和值域可能会受到多个简单函数的限制。此外，在进行复合函数的计算时，还需要注意运算顺序和运算法则的正确应用。

复合函数求积分技巧复合函数的积分计算公式是∫udv =uv-∫vdu。复合函数通常是由两个基本初等函数复合而成，相当于将其中一个初等函数(次级函数)镶嵌在另外一个初等函数(主体函数)中。一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f(g(x))。概念分析链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等。链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。"同。

复合函数积分公式是F"(g(x))=F"g"(x)，然后再数据代进去，通过换元简化处理即可，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。且若是有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

首先我提供一个比较通用的思路 对比系数再凑项！比如这题，sinX的原函数是-cosX，那么sin3X原函数就必然有-cos3X，但是（-cos3X）"=3sin3X,相差一个系数3，那么∫sin3X就是-cos3X／3+C.上面适用于简单复合可以很容易思考出来，对于复杂的复合函数积分，可以采取换元。这个思路就是把复合函数求导反过来用。求导公式是F"(g(x))=F"g"(x),那么积分可以如下套公式。还是举Y=sin3X ：设g=3X，注意此时dg=3dx(这个是关键一步，换元后dx要发生变化）那么原函数∫sinxdx就成为∫sin(g)d(g)／3.而∫sin(g)d(g)／3=-cos(g)／3+C,此时把g=3X回代到-cos(g)／3+C，就得到cos3X／3+C所以可以看出遇见简单复合或者容易看出原函数的可以凑微分，要是比较复杂或者没把握，可以用换元的办法。但是不管用很么办法有个基本前提是对一元函数积分公式要熟悉，那样遇见复合函数可以通过换元简化处理

∫e^2x,如果2x是x就好求了,而其实我们可以令u=2x,此时dx就是d(u/2),那么将它改为d(u/2*2),前面补上1/2,全式改为了1/2∫e^udu,(其中u可以直接写为2x),答案就是1/2e^u(从0到1）了 ,就是1/2（e-1)

方法一：利用软件求解 软件集成了一系列算法 可以机械求解例子：Matlab软件、Mathematics等等 基本上 工程中遇到需要积分的问题可以借助各种工具软件解决方法二：对函数求积分 首先该函数要可积 那么1 将函数进行傅里叶变换或者拉普拉斯变换 利用傅里叶变换的办法间接求积分2 直接将函数展开成无穷级数（三角函数形式亦可） 逐项积分后再合并方法三：如果前两种方式你都弄不懂，那么我也不知道怎么回答妥当了 （换元法之类的办法都是手工的简单基本算法，只应用那么点技巧，大部分积分你是算不出来滴 ~~）

看成一个整体,你的表达不是很清楚,按2种情况分别是： (sinx^2)" =(cosx^2)*(x^2)" =(cosx^2)*2x =2xcosx^2 [(sinx)^2]" =2sinx*(sinx)" =2sinxcosx

解:由指数的基本运算法则:∫ 3^2x^5 dx=∫ 3^5^2x dx=∫ 3^10^x dx此时可看成是以常数3^10为底的指数函数了,根据基本积分公式,可得:=3^10^x/la3^10+C=3^10^x/10*la3+C

0.8。钢铁与岩石的摩擦系数0.8。摩擦系数，是阻止两物体相对运动的摩擦力对作用在该两物体接触表面的法向力之比值。

钢和尼龙的摩擦系数在无润滑剂的前提下是0.3-0.5，有润滑剂的时候是0.05-0.1.没有更详细的资料了

不锈钢与碳钢的摩擦系数一般是0.3左右

钢-钢 0.15* 0.1-0.12* 0.1 0.05-0.1 钢-软钢 0.2 0.1-0.2 钢-不淬火的T8 0.15 0.03 钢-铸铁 0.2-0.3* 0.05-0.15 0.16-0.18 钢-黄铜 0.19 0.03 钢-青铜 0.15-0.18 0.1-0.15* 0.07 钢-铝 0.17 0.02 钢-轴承合金 0.2 0.04 钢-夹布胶木 0.22 - 钢-钢纸 0.22 - 钢-冰 0.027* - 0.014 石棉基材料-铸铁或钢 0.25-0.40 0.08-0.12 皮革-铸铁或钢 0.30-0.50 0.12-0.15 材料(硬木)-铸铁或钢 0.20-0.35 0.12-0.16 软木-铸铁或钢 0.30-0.50 0.15-0.25 钢纸-铸铁或钢 0.30-0.50 0.12-0.17 毛毡-铸铁或钢 0.22 0.18 软钢-铸铁 0.2*,0.18 0.05-0.15 软钢-青铜 0.2*,0.18 0.07-0.15 铸铁-铸铁 0.15 0.15-0.16 0.07-0.12 铸铁-青铜 0.28* 0.16* 0.15-0.21 0.07-0.15 铸铁-皮革 0.55*,0.28 0.15*,0.12 铸铁-橡皮 0.8 0.5 皮革-木料 0.4-0.5* - 0.03-0.05 铜-T8钢 0.15 0.03 铜-铜 0.20 - 黄铜-不淬火的T8钢 0.19 0.03 黄铜-淬火的T8钢 0.14 0.02 黄铜-黄铜 0.17 0.02 黄铜-钢 0.30 0.02 黄铜-硬橡胶 0.25 - 黄铜-石板 0.25 - 黄铜-绝缘物 0.27 - 青铜-不淬火的T8钢 0.16 - 青铜-黄铜 0.16 - 青铜-青铜 0.15-0.20 0.04-0.10 青铜-钢 0.16 - 青铜-夹布胶木 0.23 - 青铜-钢纸 0.24 - 青铜-树脂 0.21 - 青铜-硬橡胶 0.36 - 青铜-石板 0.33 - 青铜-绝缘物 0.26 - 铝-不淬火的T8钢 0.18 0.03 铝-淬火的T8钢 0.17 0.02 铝-黄铜 0.27 0.02 铝-青铜 0.22 - 铝-钢 0.30 0.02 铝-夹布胶木 0.26 - 硅铝合金-夹布胶木 0.34 - 硅铝合金-钢纸 0.32 - 硅铝合金-树脂 0.28 - 硅铝合金-硬橡胶 0.25 - 硅铝合金-石板 0.26 - 硅铝合金-绝缘物 0.26 - 钢-粉末冶金 0.35-0.55* - 木材-木材 0.4-0.6* 0.1* 0.2-0.5 0.07-0.10 麻绳-木材 0.5-0.8* - 0.5 45号淬火钢-聚甲醛 0.46 0.016 45号淬火钢-聚碳酸脂 0.30 0.03 45号淬火钢-尼龙9(加 0.57 0.02 3%MoS2填充料) 45号淬火钢-尼龙9(加 0.48 0.023 30%玻璃纤维填充物) 45号淬火钢-尼龙1010 0.039 - (加30%玻璃纤维填充物) 45号淬火钢-尼龙1010 0.07 - (加40%玻璃纤维填充物) 45号淬火钢-氯化聚醚 0.35 0.034 45号淬火钢-苯乙烯 0.35-0.46 0.018 -丁二烯-丙烯腈共聚 体(ABS) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 注:1.表中滑动摩擦系数是试验数值,只能作为近似计算参考. 2.表中带"*"者为静摩擦系数. 各 种 工 程 用 塑 料 的 摩 擦 系 数 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 下试样 上 试 样(钢) 上 试 样(塑料) 静摩擦 动摩擦 静摩擦 动摩擦 (塑料) 系数μs 系数μk 系数μs 系数μk —————————————————————————— 聚四氟乙烯 0.10 0.05 0.04 0.04 聚全氟乙丙烯 0.25 0.18 - - 低密度聚乙烯 0.27 0.26 0.33 0.33 高密度聚乙烯 0.18 0.08-0.12 0.12 0.11 聚甲醛 0.14 0.13 - - 聚偏二氟乙烯 0.33 0.25 - - 聚碳酸酯 0.60 0.53 - - 聚苯二甲酸乙 0.29 0.28 0.27* 0.20* 二醇酯 聚酰胺(尼龙66) 0.37 0.34 0.42* 0.35* 聚三氟氯乙烯 0.45* 0.33* 0.43* 0.32* 聚氯乙烯 0.45* 0.40* 0.50* 0.40* 聚偏二氯乙烯 0.68* 0.45* 0.90* 0.52* ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 注:*表示粘滑运动.

影响。根据查询钢结构的摩擦系数的因素得知，影响钢结构的摩擦系数的因素有摩擦面处理方法及生锈时间、摩擦面状态、连接母材钢种、连接板厚度、环境温度等，钢结构连接板生锈影响包含在里面，生锈是会影响抹摩擦系数的。摩擦系数，是阻止两物体相对运动的摩擦力对作用在该两物体接触表面的法向力之比值。

常用材料摩擦系数摩 擦 系 数 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 摩擦副材料 摩 擦 系 数 μ 无润滑 有润滑 ———————————————————————— 钢-钢 0.15* 0.1-0.12* 0.1 0.05-0.1 钢-软钢 0.2 0.1-0.2 钢-不淬火的T8 0.15 0.03 钢-铸铁 0.2-0.3* 0.05-0.15 0.16-0.18 钢-黄铜 0.19 0.03 钢-青铜 0.15-0.18 0.1-0.15* 0.07 钢-铝 0.17 0.02 钢-轴承合金 0.2 0.04 钢-夹布胶木 0.22 - 钢-钢纸 0.22 - 钢-冰 0.027* - 0.014 石棉基材料-铸铁或钢 0.25-0.40 0.08-0.12 皮革-铸铁或钢 0.30-0.50 0.12-0.15 材料(硬木)-铸铁或钢 0.20-0.35 0.12-0.16 软木-铸铁或钢 0.30-0.50 0.15-0.25 钢纸-铸铁或钢 0.30-0.50 0.12-0.17 毛毡-铸铁或钢 0.22 0.18 软钢-铸铁 0.2*,0.18 0.05-0.15 软钢-青铜 0.2*,0.18 0.07-0.15 铸铁-铸铁 0.15 0.15-0.16 0.07-0.12 铸铁-青铜 0.28* 0.16* 0.15-0.21 0.07-0.15 铸铁-皮革 0.55*,0.28 0.15*,0.12 铸铁-橡皮 0.8 0.5 皮革-木料 0.4-0.5* - 0.03-0.05 铜-T8钢 0.15 0.03 铜-铜 0.20 - 黄铜-不淬火的T8钢 0.19 0.03 黄铜-淬火的T8钢 0.14 0.02 黄铜-黄铜 0.17 0.02 黄铜-钢 0.30 0.02 黄铜-硬橡胶 0.25 - 黄铜-石板 0.25 - 黄铜-绝缘物 0.27 - 青铜-不淬火的T8钢 0.16 - 青铜-黄铜 0.16 - 青铜-青铜 0.15-0.20 0.04-0.10 青铜-钢 0.16 - 青铜-夹布胶木 0.23 - 青铜-钢纸 0.24 - 青铜-树脂 0.21 - 青铜-硬橡胶 0.36 - 青铜-石板 0.33 - 青铜-绝缘物 0.26 - 铝-不淬火的T8钢 0.18 0.03 铝-淬火的T8钢 0.17 0.02 铝-黄铜 0.27 0.02 铝-青铜 0.22 - 铝-钢 0.30 0.02 铝-夹布胶木 0.26 - 硅铝合金-夹布胶木 0.34 - 硅铝合金-钢纸 0.32 - 硅铝合金-树脂 0.28 - 硅铝合金-硬橡胶 0.25 - 硅铝合金-石板 0.26 - 硅铝合金-绝缘物 0.26 - 钢-粉末冶金 0.35-0.55* - 木材-木材 0.4-0.6* 0.1* 0.2-0.5 0.07-0.10 麻绳-木材 0.5-0.8* - 0.5 45号淬火钢-聚甲醛 0.46 0.016 45号淬火钢-聚碳酸脂 0.30 0.03 45号淬火钢-尼龙9(加 0.57 0.02 3%MoS2填充料) 45号淬火钢-尼龙9(加 0.48 0.023 30%玻璃纤维填充物) 45号淬火钢-尼龙1010 0.039 - (加30%玻璃纤维填充物) 45号淬火钢-尼龙1010 0.07 - (加40%玻璃纤维填充物) 45号淬火钢-氯化聚醚 0.35 0.034 45号淬火钢-苯乙烯 0.35-0.46 0.018 -丁二烯-丙烯腈共聚 体(ABS)

橡胶与钢铁的静摩擦系数0.8，动摩擦系数0.5。 如果两表面互为静止，那两表面间的接触地方会形成一个强结合力－静摩擦力，除非破坏了这结合力才能使一表面对另一表面运动，破坏这结合力－运动前的力－对其一表面的垂直力之比值叫做静摩擦系数μs，写成式子如下： fs为静摩擦力或 fs=μs*N； N为垂直力，而这破坏力也是要使物体启动的最大的力，我们又叫此力为最大静摩擦力

徐有邻等[为研究钢筋与混凝土之间的胶结摩阻性能，采用轧制钢板进行了不同锈蚀状况的钢材与混凝土的胶结剪切试验和摩阻试验，试验结果见下表，试验结果表明，胶结剪切强度和摩阻系数随着钢管表面状况的不同变化很大，经过打磨除锈后表面无锈蚀光滑的钢管的胶结强度和摩阻系数明显比有锈蚀的钢管的胶结强度和摩阻系数要低。表面锈蚀程度无锈轻锈重锈腐锈锈蚀特征手感光滑，少量锈蚀，可用干布擦净手感粗糙，砂纸打磨后基本平整颗粒状锈蚀，砂纸打磨后局部有锈坑片状锈渣，砂纸打磨后表面布满锈坑粗糙度0.025～0.0400.050～0.1700.170～0.3400.230～0.660胶结剪切强度0.4350.5680.7580.762摩擦系数0.20～0.250.26～0.300.40～0.500.45～0.60从上式看出，最小值为0.2，但文中未交代粗糙度的单位，如按常规粗糙度单位μm理解，普通钢板的粗糙度ra为6.3~12.5，也就是说摩擦系数可以取到0.6。根据另一篇参考文献的实验结果，钢板与水泥块的摩擦系数为0.76，有水时为0.7经过多篇文献的互相验证，普通钢板与混凝土的摩擦系数应该可以取0.6计算时考虑安全系数，可适当降低。

干摩擦状态下：（无润滑剂条件下）1、静摩擦系数：0.90左右；2、橡胶与钢铁的滑动摩擦系数：0.65~0.80；3、滚动摩擦系数：0.40~0.60。因素：钢铁表面粗糙度的、钢铁材质、橡胶类型等。