一、 反函数概念 1、 定义; 2、 理解; 3、 求反函数基本步骤及注意事项。

2023-11-28 16:38:37
TAG: 函数
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定义  一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

性质

  (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;

  (2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;

  (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

  (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x), 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C}, 值域为{0}.)。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

  (5)一切隐函数具有反函数;

  (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;

  (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】;

  (8)反函数是相互的且具有唯一性;

  (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);

  (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))。

  例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

  y=2^x的反函数是y=log2 x

  例题:求函数y=3x-2的反函数

  解:y=3x-2的定义域为R,值域为R。

  由y=3x-2,解得

  x=(y+2)/3

  将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

  y=(x+2)/3(x属于R)

  (11)反函数的导数关系:如果x=f(y)在区间I上单调,可导,且f"(y)≠0,那么它的反函数y=f"(X)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导,且[f‘(x)]"=1[f"(x)]"。

  (12)y=x的反函数是它本身。

说明

  ⑴在函数x=f^(-1)(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^(-1)(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 

  ⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x),那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f^(-1)(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。

  ⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数,如二次函数在R内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数。

  ⑷ 从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域(如下表):

  函数:y=f(x)

  反函数:y=f^(-1)(x) 

  定义域: A C 

  值域: C A 

  ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:

  若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^(-1)(x)=x/2-3. 

  有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将x进行分类讨论:在x大于0时的情况,x小于0的情况,多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

应用

  直接求原函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的:

  1、先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域; 

  (我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步) 

  2、反解x,也就是用y来表示x;

  3、改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x; 

  4、写出原函数及其值域。 

  实例:y=2x+1(值域:任意实数)

  x=(y-1)/2

  y=(x-1)/2(x取任意实数)

  特别地,形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数,它的反函数都是它本身。

  反函数求解三步骤:

  1、换:X、Y换位

  2、解:解出Y

  3、标:标出定义域

小菜G的建站之路

一.课题:反函数(3)

二.教学目标:1.进一步理解互为反函数的定义域、值域的对应关系,运用它解决有关问题;

2.了解特殊轴的轴对称的图象之间的函数解析式的联系。

三.教学重点:运用反函数的性质,关系解题。

四.教学过程:

(一)复习:(提问)

1.原函数与反函数的定义域与值域之间的关系。

2. 的反函数为 ,则有

; .

3.练习:

(1)已知 求 ;

(2)已知 ,求 ;

(3)已知 ,求 .

(二)新课讲解:

例1.已知函数 的图象经过 ,其反函数图象经过点 ,则求 的表达式。

解:因为反函数图象经过点 ,所以原函数必过点 ,

又原函数图象过点 ,由此可得

解得 ,

所以 .

例2. 求函数 的反函数。

解:由 得其反函数为 ,

又由 得其反函数为 .

综上可得所求的反函数为 .

例3.已知函数 存在反函数 ,

(1)若 是奇函数,讨论 的奇偶性;

(2)若 在定义域上是增函数,讨论 的单调性。

证明: 是奇函数,定义域关于原点对称,

∴ 的值域也关于原点对称。

∴ 的定义域关于原点对称,

设 ,存在 使 ,∴ ,

是奇函数,∴ ,

∴ ,∴ ,

所以 是奇函数。

(2)设 ,且 ,存在 ,使 , ,

又∵ 在定义域上是增函数,

∴ ,即 ,

所以, 在定义域上是单调增的。

例4.若函数 的图象过点 ,

(1)求 的反函数的图象必经过的一个定点的坐标;

(2)若函数 的反函数为 ,求函数 和函数 必经过的定点。

解:(1) 的图象经过点 ,

∴ 的图象经过点 ,

所以, 的反函数的图象经过点 .

(2) 的图象经过点 ,

∴ 的图象经过点 ,

故函数 的图象经过点 ,

函数 必经过的定点 .

说明:1.可以利用函数图形的平移去看;

2.可以利用映射,作用对象的观点来分析。

五.小结:

1.反函数的性质;

2.互为反函数的两个函数的关系在解题中的应用。

六.作业:

补充:

1.若函数 的图象经过点 ,求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。

2.已知 求 .

3.已知函数 在定义域 上存在反函数,且 ,求 .

4.求函数 的反函数。

六.作业:

补充:

1.若函数 的图象经过点 ,求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。

2.已知 求 .

3.已知函数 在定义域 上存在反函数,且 ,求 .

4.求函数 的反函数。

六.作业:

补充:

1.若函数 的图象经过点 ,求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。

2.已知 求 .

3.已知函数 在定义域 上存在反函数,且 ,求 .

4.求函数 的反函数。

六.作业:

补充:

1.若函数 的图象经过点 ,求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。

2.已知 求 .

3.已知函数 在定义域 上存在反函数,且 ,求 .

4.求函数 的反函数。

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已知两个数互为倒数,设它们分别为a和b,即a×b=1根据乘法交换律,b×a=1所以,a和b互为倒数,即a×b=1因此,它们的乘积为1。知识扩展一、数学定义和性质倒数在数学上被定义为两个数相乘等于1的关系,即a×b=1,其中a和b互为倒数。倒数具有以下性质:非零实数都有倒数,零没有倒数,因为没有任何数能与零相乘得到1,一个数与其倒数相乘等于1。正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。倒数与原数的关系是互逆的,即一个数的倒数的倒数还是这个数本身。倒数在数学中有广泛的应用,如在解方程、计算乘法逆元等场景中都有倒数的身影。二、计算方法计算一个数的倒数有多种方法。首先,我们可以将该数的分母和分子交换位置,得到其倒数。例如,3的倒数为1/3。另外,也可以通过该数与1的商得到其倒数,例如,4的倒数为4/1=4。此外,还可以利用乘法运算性质得到倒数,即a×b=1时,a×(1/b)=1,从而得到a的倒数为1/b。三、应用场景倒数是一个数学术语,指两个数相乘等于1的数,例如2和1/2就是倒数。倒数也可以用来进行简单的乘法运算,例如两个倒数相乘等于两个数相乘的倒数。倒数在很多应用场景中都有使用。例如,在解决方程问题时,可以利用倒数将方程变形为更容易求解的形式。在计算乘法逆元时,倒数可以快速求解。另外,在比较大小、计算概率等领域中,倒数也有广泛的应用。总之,倒数是一个重要的数学概念,具有丰富的数学定义和性质,掌握它的计算方法和应用场景对于解决实际问题非常重要。
2023-11-25 01:23:141

反函数的导数与原函数的导数的乘积是1这个结论是不是有个前提条件?

反函数的导数等于原函数导数的倒数,当然这是在导数成立的情况下才成立的。由于函数研究的一般性,所以这个定律基本不考虑例外的情况。
2023-11-25 01:23:432

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显然是C. 可以简单画下图; A与原式互为反函数,关于Y=X对称. B即y=log2x,与其关于X轴对称. D是先平移再对称 或直接看函数变化趋势大小(导数),显然C导数大于Y=2^x,二者不可能重合.
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互为逆反函数的直线的斜率乘积是多少

y=kx则你反函数为y=1/kxk*1/k=1故斜率乘积为1
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那为什么图中我画圈的这2个函数的导数的积不为1?它们明明互为反函数啊

两个互为反函数的函数的导数之积为1,这个说法的前提是y=f(x)的反函数是用x=g(y)表示的,参见下图。但通常的反函数把x=g(y)改写成了y=g(x),这样两者的乘积就不为1了。
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两个函数乘积为常数,则它们一定互为反函数?

反函数概念的核心在于,互为反函数的两个函数表示的并不是同一个函数关系,因为我们改变了关于因变量与自变量的观点,我们不能对同一个函数说,它既表示了y对x的函数关系,又说它表示了x对y的函数关系,因此至于我们习惯上写出显式来,并且交换自变量与因变量的字母,从而能够在几何上建立一个直观。 一般地,在我们学习任何概念的时候,关键是要建立起自己的对于一个抽象概念的直观方式,比方说反函数,如果能够牢固地抓住互为反函数的两个函数的几何图象的特征,即它们在直角坐标系里关于直线x=y对称,就有了一个思考的线索与途径。 一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。
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倒数相乘等于1吗

两个数的倒数相乘自然是等于1,且任何两个的倒数相乘都是等于1。例如1/5×5=1,(-1/5)×(-5)=1,因此,无论是两个正数,还是两个负数,只要互为倒数,那它们的乘积便等于1。0是没有倒数的,因此0不在倒数相乘的范围内,对于倒数相乘可以这样理解:非分数与分数的分母互约,因此,只要分数的分子,也就是1。
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什么叫互为反函数

1.反函数的概念 设y=f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x=φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y),通常将它改写成y=f-1(x). 函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域. 函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称. 2.反函数概念的理解 反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在. 并不是所有的函数都有反函数.例如函数y=x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),那么函数y=f(x)也是其反函数y=f-1(x)的反函数,即它们互为反函数. 函数y=f(x)的定义域和值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域和定义域. 反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y= (x∈Z)不是函数y=2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)时,必须确定原来函数y=f(x)的值域. 3.求给定解析式的函数y=f(x)的反函数,其步骤为: (1)从方程y=f(x)中解出x=f-1(y); (2)将x、y互换,得到y=f-1(x); (3)根据y=f(x)的值域,写出y=f-1(x)的定义域. 互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y=x的反函数仍是y=x,函数y= 的反函数仍是y= . 4.互为反函数图像间的关系 在同一个直角坐标系中,函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y=x对称. 在y=f(x)与x=f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y=f(x)中,x是自变量,y是x的函数;在x=f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y=f(x)与x=f-1(y)的图像是同一个点集. 5.反函数具备的其它性质 在y=f(x)与y=f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同. 若y=f(x)(x∈A),与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有 f[f-1(x)]=x(x∈C); f-1[f(x)]=x(x∈A). 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. 奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数. 具有单调性的函数必有反函数. 两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y=x上.
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2023-11-25 01:28:411

互为反函数是什么意思

1.反函数的概念设y=f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x=φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y),通常将它改写成y=f-1(x).函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域.函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在.如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),那么函数y=f(x)也是其反函数y=f-1(x)的反函数,即它们互为反函数.不能再简化了,不然很容易误解!
2023-11-25 01:28:523

高一数学互为反函数的两个之间的关系?

函数的定义域就是反函数的值域,而且一个函数有反函数的话,定义域和值域必须要为正数,要不然不存在反函数.你应该是在读高一把,以后有部懂的数学题目可以问我,加我百度好友nieyunzhao反函数在高考中应该不是很重要,属于了解层次,没必要太深究,单必须基础的要懂,重要的是2次函数和3次函数和导数.
2023-11-25 01:29:125

反函数互逆公式

反函数:一般地,如果确定函数y=f(x)的对应f是从函数的定义域到值域上的一一对应,那么由f的“逆”对应f-1所确定的函数就叫做函数的反函数,反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; (2)函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
2023-11-25 01:29:271

arctanx当x=1时,怎么计算

当x=1时有arctan1等于kπ+π/4(k为整数)。解:因为tanx与arctanx互为反函数,那么令y=arctan1,则y=tanx=arctan1那么可解得y=π/4+kπ,其中k为整数。扩展资料反三角函数的限制条件1、为了保证函数与自变量之间的单值对应,确定的区间必须具有单调性;2、函数在这个区间最好是连续的(这里之所以说最好,是因为反正割和反余割函数是间断的);3、为了使研究方便,常要求所选择的区间包含0到π/2的角;4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的,为了与上面多值的反三角函数相区别,在记法上常将Arc中的A改记为a,例如单值的反正弦函数记为arcsin x。参考资料来源:百度百科—反三角函数
2023-11-25 01:29:366

乘积是1的两个数互为倒数对吗? 我觉的如果是10×0.1也等于1,但是0.1是小数,但这个又是

乘积是1的两个数互为倒数,这句话是正确的。互 为倒数是两个数之间的一种关系。“两个数”“乘积等于1”“互为”把握这三点就可以了。至于是整数,小数,还是分数,乃至以后学到的负数都无所谓。
2023-11-25 01:30:167

互为反函数的两个函数关系是什么?

互为反函数的两个函数的导数没有关系。定义:y=f(x) ,其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy),即f(x)对x求导数=(g(y)对y的导数)的倒数。例子: y=2x,反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。已知函数y=f(x),从表达式y=f(x)出发,经过代数恒等变形,将变量x表示为y的表达式,若这个对应规则表示变量x为y的函数,则称为函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫作互反函数。反函数存在定理定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。而由于f的严格单增性,对D中任一x"<x,都有y"<y;任一x"">x,都有y"">y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。如果f在D上严格单减,证明类似。
2023-11-25 01:30:341

在第一种方法如何直接求反函数 第二种方法中所讲的互为反函数是什么意思?

看不清楚那个分数 用a表示吧 f(x)=3+loga x =y 则x=a^(y-3) 则f(x)=a^(x-3) 求出反函数 那么互为反函数这两个函数(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; (2)函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。 (8)反函数是相互的 (9)定义域、值域相反对应法则互逆 (10)不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方
2023-11-25 01:30:521

互为反函数的两个函数关系是什么?

互为反函数的两个函数的导数没有关系。反函数的性质:(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。(2)函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的。(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。反函数的值域公式:一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量。x是自变量y的函数,这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
2023-11-25 01:31:041

在一个比例里,两个外项互为倒数,其中一个内项是0.25,另一个内项是 过程简单写写

两个外项互为倒数即相乘等于1所以两个内项相乘等于1所以另一个是1÷0.25=4
2023-11-25 01:31:205

向量相乘等于1代表什么?

向量相乘等于0才代表向量垂直,楼上错了向量相乘等于1说实话没什么特别意义举个例子 向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2)向量OA×向量OB=x1x2+y1y2=1,只能说明这些了如果向量OA与向量OB共线,则x1y2=x2y1望采纳
2023-11-25 01:31:352

函数乘其逆函数的关系

逆函数在数学专用语中称为反函数,在表达式中,把x换为y,y换成x,就可得出反函数。
2023-11-25 01:32:022

反函数与原函数相乘是否等于1?

不是的!原函数与反数,它们之间并不是倒数关系,所以说啊,它们的乘积是不可能等于1的!
2023-11-25 01:33:091

反函数与原函数的乘积是1吗?

不是,你是没有弄清楚反函数与原函数的关系,他们是关于y=x对称,乘积没有必然关系。
2023-11-25 01:33:321

反函数与原函数相乘等于1么?

你好反函数与原函数相乘不一定等于1。反函数与原函数不同于倒数的概念。
2023-11-25 01:34:023

反函数相乘

反函数与原函数相乘不一定等于1,反函数与原函数不同于倒数的概念。 大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x),定义域是{0}且f(x)=C(其中C是常数),其反函数的定义域是{C},值域为{0})。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。 相关介绍: 1)定义:y=f(x) ,其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy), 即f(x)对x求导数=(g(y)对y的导数)的倒数。 2)例子: y=2x,反函数是x=y/2. 由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。 已知函数y=f(x),从表达式y=f(x)出发,经过代数恒等变形,将变量x表示为y的表达式,若这个对应规则表示变量x为y的函数,则称为函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫做互反函数。 由于习惯用变量记号x表示自变量,用变量记号y表示函数,因此在反函数x=f-1(y)的表达式中,再将变量记号x改写为y,变量记号y改写为x,得到函数表达式y=f-1(x),于是也称函数y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数。
2023-11-25 01:34:181

哪个函数的原函数与反函数相乘等于一?求解!急求,谢谢

要是想构造一个这样y=f(x)=x{x/x=1}其反函数为y=f^(-1)(x)=1
2023-11-25 01:34:272

互为相反数的两数相乘,积为1

互为相反数的两数相乘,积肯定不能等于 1 ,举例 (-2)*2=-4互为相反数的两数相乘,因符号相反,必须小于 0,不能等于 1
2023-11-25 01:34:376

对数相乘等于1互为倒数

答案:B 解析: 互为倒数的两个数的乘积等于1. 所以下列各对数中,互为倒数的数是B.|-1|与|-1| 提示: 看它们的乘积是否等于1.
2023-11-25 01:34:521

问一下关于三角函数不懂的地方,arctg和tan.乘积是1,也就是互为倒数意思是吧 那么arct

不是arctanx和tanx是互为反函数,倒数乘积不为1
2023-11-25 01:35:111

反正切的导数与正切的导数乘积为什么不是1啊?原函数的导数与反函数的导数的乘积不是1吗?

你是说原函数和反函数的导数互为倒数的原则吧。是这样的,如果有函数y=f(x),其反函数为x=f^-1(y)可知,这两个函数在同一个xy轴坐标系中的图像是相同的,设y0=f(x0),那么x0=f^-1(y0)这样在(x0,y0)点f(x)的导数f"(x0)和f^-1(y)的导数f^-1"(y0)是互为倒数的。原函数和反函数的导数互为倒数的原则是说这个。而不是y=f(x)和y=f^-1(x)在相同的x点处导数互为倒数。
2023-11-25 01:35:261

一个原函数与其反函数的乘积函数是什么?

不唯一。若y=1/x,f^-1(x)=1/x,相乘得1/x^2.这个乘积绝对不为定值
2023-11-25 01:35:393

什么是互为反函数???

1.反函数的概念 设y=f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x=φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y),通常将它改写成y=f-1(x). 函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域. 函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称. 2.反函数概念的理解 反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在. 并不是所有的函数都有反函数.例如函数y=x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),那么函数y=f(x)也是其反函数y=f-1(x)的反函数,即它们互为反函数. 函数y=f(x)的定义域和值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域和定义域. 反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y= (x∈Z)不是函数y=2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)时,必须确定原来函数y=f(x)的值域. 3.求给定解析式的函数y=f(x)的反函数,其步骤为: (1)从方程y=f(x)中解出x=f-1(y); (2)将x、y互换,得到y=f-1(x); (3)根据y=f(x)的值域,写出y=f-1(x)的定义域. 互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y=x的反函数仍是y=x,函数y= 的反函数仍是y= . 4.互为反函数图像间的关系 在同一个直角坐标系中,函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y=x对称. 在y=f(x)与x=f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y=f(x)中,x是自变量,y是x的函数;在x=f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y=f(x)与x=f-1(y)的图像是同一个点集. 5.反函数具备的其它性质 在y=f(x)与y=f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同. 若y=f(x)(x∈A),与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有 f[f-1(x)]=x(x∈C); f-1[f(x)]=x(x∈A). 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. 奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数. 具有单调性的函数必有反函数. 两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y=x上.
2023-11-25 01:35:492

什么叫互为反函数

1.反函数的概念 设y=f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x=φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y),通常将它改写成y=f-1(x). 函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域. 函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称. 2.反函数概念的理解 反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在. 并不是所有的函数都有反函数.例如函数y=x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),那么函数y=f(x)也是其反函数y=f-1(x)的反函数,即它们互为反函数. 函数y=f(x)的定义域和值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域和定义域. 反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y= (x∈Z)不是函数y=2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)时,必须确定原来函数y=f(x)的值域. 3.求给定解析式的函数y=f(x)的反函数,其步骤为: (1)从方程y=f(x)中解出x=f-1(y); (2)将x、y互换,得到y=f-1(x); (3)根据y=f(x)的值域,写出y=f-1(x)的定义域. 互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y=x的反函数仍是y=x,函数y= 的反函数仍是y= . 4.互为反函数图像间的关系 在同一个直角坐标系中,函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y=x对称. 在y=f(x)与x=f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y=f(x)中,x是自变量,y是x的函数;在x=f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y=f(x)与x=f-1(y)的图像是同一个点集. 5.反函数具备的其它性质 在y=f(x)与y=f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同. 若y=f(x)(x∈A),与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有 f[f-1(x)]=x(x∈C); f-1[f(x)]=x(x∈A). 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. 奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数. 具有单调性的函数必有反函数. 两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y=x上.
2023-11-25 01:36:173

互为反函数有什么结论?

互为反函数的两个函数的导数没有关系。1)定义:y=f(x) ,其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy)。即f(x)对x求导数=(g(y)对y的导数)的倒数。2)例子: y=2x,反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。反函数的性质(1)函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称。(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射。(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
2023-11-25 01:36:301

互为反函数的两个函数关系是什么?

互为反函数的两个函数的导数没有关系。1)定义:y=f(x) ,其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy)。即f(x)对x求导数=(g(y)对y的导数)的倒数。2)例子: y=2x,反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。反函数的性质(1)函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称。(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射。(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
2023-11-25 01:36:444

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