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定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0}.）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题：求函数y=3x-2的反函数
解：y=3x-2的定义域为R，值域为R。
由y=3x-2，解得
x=(y+2)/3
将x，y互换，则所求y=3x-2的反函数是
y=(x+2)/3（x属于R）
（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f"（y）≠0，那么它的反函数y=f"（X）在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f‘（x)]"=1[f"（x）]"。
（12）y=x的反函数是它本身。
说明
⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。
⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。
⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域（如下表）：
函数：y=f(x)
反函数：y=f^(-1)(x)
定义域： A C
值域： C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
应用
直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；
（我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）
2、反解x，也就是用y来表示x；
3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x；
4、写出原函数及其值域。
实例：y=2x+1（值域：任意实数）
x=(y-1)/2
y=(x-1)/2（x取任意实数）
特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。
反函数求解三步骤：
1、换：X、Y换位
2、解：解出Y
3、标：标出定义域
小菜G的建站之路 -
一．课题：反函数（3）
二．教学目标：1.进一步理解互为反函数的定义域、值域的对应关系，运用它解决有关问题；
2.了解特殊轴的轴对称的图象之间的函数解析式的联系。
三．教学重点：运用反函数的性质，关系解题。
四．教学过程：
（一）复习：（提问）
1．原函数与反函数的定义域与值域之间的关系。
2． 的反函数为 ，则有
； ．
3．练习：
（1）已知 求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 ，求 ．
（二）新课讲解：
例1．已知函数 的图象经过 ，其反函数图象经过点 ，则求 的表达式。
解：因为反函数图象经过点 ，所以原函数必过点 ，
又原函数图象过点 ，由此可得
解得 ，
所以 ．
例2． 求函数 的反函数。
解：由 得其反函数为 ，
又由 得其反函数为 ．
综上可得所求的反函数为 ．
例3．已知函数 存在反函数 ，
（1）若 是奇函数，讨论 的奇偶性；
（2）若 在定义域上是增函数，讨论 的单调性。
证明： 是奇函数，定义域关于原点对称，
∴ 的值域也关于原点对称。
∴ 的定义域关于原点对称，
设 ，存在 使 ，∴ ，
是奇函数，∴ ，
∴ ，∴ ，
所以 是奇函数。
（2）设 ，且 ，存在 ，使 ， ，
又∵ 在定义域上是增函数，
∴ ，即 ，
所以， 在定义域上是单调增的。
例4．若函数 的图象过点 ，
（1）求 的反函数的图象必经过的一个定点的坐标；
（2）若函数 的反函数为 ，求函数 和函数 必经过的定点。
解：（1） 的图象经过点 ，
∴ 的图象经过点 ，
所以， 的反函数的图象经过点 ．
（2） 的图象经过点 ，
∴ 的图象经过点 ，
故函数 的图象经过点 ，
函数 必经过的定点 ．
说明：1．可以利用函数图形的平移去看；
2．可以利用映射，作用对象的观点来分析。
五．小结：
1.反函数的性质；
2.互为反函数的两个函数的关系在解题中的应用。
六．作业：
补充：
1．若函数 的图象经过点 ，求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。
2．已知 求 ．
3．已知函数 在定义域 上存在反函数，且 ，求 ．
4．求函数 的反函数。
六．作业：
补充：
1．若函数 的图象经过点 ，求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。
2．已知 求 ．
3．已知函数 在定义域 上存在反函数，且 ，求 ．
4．求函数 的反函数。
六．作业：
补充：
1．若函数 的图象经过点 ，求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。
2．已知 求 ．
3．已知函数 在定义域 上存在反函数，且 ，求 ．
4．求函数 的反函数。
六．作业：
补充：
1．若函数 的图象经过点 ，求函数 的反函数的图象经过的定点的坐标。
2．已知 求 ．
3．已知函数 在定义域 上存在反函数，且 ，求 ．
4．求函数 的反函数。