可可科科 -
1.反函数的概念
设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x).
函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.
函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.
2.反函数概念的理解
反函数实质上也是函数.
反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在.
并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值).
如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数.
函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域.
反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如，函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此，求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时，必须确定原来函数y＝f(x)的值域.
3.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数，其步骤为：
(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);
(2)将x、y互换，得到y＝f-1(x);
(3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域.
互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝ 的反函数仍是y＝ .
4.互为反函数图像间的关系
在同一个直角坐标系中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称.
在y＝f(x)与x＝f-1(y)中，x、y所表示的量相同，但是地位不同.在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数.在同一个直角坐标系中，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集.
5.反函数具备的其它性质
在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同.
若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有
f［f-1(x)］＝x(x∈C)；
f-1［f(x)］＝x(x∈A).
互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.
奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数.
具有单调性的函数必有反函数.
两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.
十年阿桑 -
例 1：函数 y= x+5姨
(x≥ -5)的反函数是（
）（ A） y=x2-5（ x∈ R）（ B） y=x2-5 (x≥ 0)（ C） y=x2+5(x≥ 0)（ D） y=x 2 -5 (x≥ -5)分析：本题解决的关键在于准确求出反函数的定义域，由函数 y= x+5姨 (x≥ -5)及其定义域求得其值域为 [0,+∞)，即为反函数的定义域。故选（B）。
2、如果函数 f（ x）与 g（ x）互为反函数，则 f（ x）与 g（ x）图象关于直线 y=x对称。
例 2：设 f(x)= 1-2x 1+x函数，若函数 g (x)的图象与 y = f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，那么 g(2)的值为（
）（A）- 2 5（B）- 5 4（C）-1
（D）-2分析：本题的常规解法一：由 f(x)= 1-2x 1+x求得反函数 f-1(x)= 1-x 2+x，进一步得到 f-1(x+1)= -x 3+x，再由函数 y=g(x)与 f-1(x+1)互为反函数，令 -x 3+x =2，解得 x=-2，即 g(2)=-2，故选（D）。
解法二：由于 y= f-1(x)与 y= f(x)互为反函数，又 y = f-1(x+1)，所以 x+1= f（ y）， x= f（ y）-1，所以 y= f-1(x+1)的反函数是 y= f（ x）-1，即 g（ x）= f（ x）-1，从而 g（2） = f（2）-1 = -2，故选（D）。
本题经常出现如下错解：由于函数 y=g(x)的图象与 y= f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，所以 y=g (x)与 y= f-1(x+1)互为反函数，所以 g(x)= f (x+1)，所以 g(2)= f(2+1)= f(3)=- 5 4，故选（B）。
事实上：函数 y= f(x+1)与函数 y= f -1 (x+1)不是互为反函数。从它们之间的函数图象变换就能说明这一点；
由 y= f（ x）的函数图象关于直线 y=x对称→得到 y= f -1（ x）的函数图象向左平移 1个单位→得到 y= f-1(x+1)的图象；由 y= f（ x）的函数图象向左平移 1个单位→得到 y= f（ x+1）的图象，因此 y= f(x+1)的图象与 y= f-1（ x+1）的图象关于直线 y=x+1对称。
例 3：如果函数 y= f（ x）存在反函数 y= f -1（ x），则下列命题中不正确的一个是（）（A） y= f（ x）与 x= f（ y）的图象关于直线 y=x对称（B）如果 y= f（ x）是奇函数，那么 y= f-1（ x）也是奇函数（C）如果 y= f（ x）在（-∞，+∞）上是增函数，那么 y= f -1 (x)在（-∞，+∞）上也是增函数（D）方程 f（ x）=m（m为常数）至多有一个实根
分析：由于 y= f（ x）有反函数，所以 y= f-1（ x）与 x= f（ y）的图象相同，（A）中命题是对的；由函数 y= f（ x）与 y= f-1（ x）的图象关于直线 y=x对称，所以（B）中命题也是对的；而（C）中 y= f -1（ x）的定义域不一定是（-∞，+∞），比如：y=2x的定义域为（-∞，+∞），其反函数 y=log 2 x的定义域为（0，+∞）所以（C）中命题是不正确的；由 y= f（ x）存在反函数，所以由函数 y= f（ x）确定的映射是一一映射 ,当 m属于 y= f（ x）的值域时，方程 f（ x）=m有唯一解 ,当 m不属于 y= f（ x）的值域时 ,方程 f（ x）= m无解。从而（D）中命题是对的 ,故选（C）。