advanced mathmatics~~~高等数学】【导数与反函数的纠葛】互为相反数的函数的导数の乘积=1，是吗？

反函数与原函数相乘不一定等于1，反函数与原函数不同于倒数的概念。大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是｛0}且f(x)=C（其中C是常数），其反函数的定义域是｛C}，值域为｛0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。相关介绍：1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy),即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。2）例子： y=2x，反函数是x=y/2.由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。已知函数y=f(x)，从表达式y=f(x)出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称为函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫做互反函数。由于习惯用变量记号x表示自变量，用变量记号y表示函数，因此在反函数x=f-1(y)的表达式中，再将变量记号x改写为y，变量记号y改写为x，得到函数表达式y=f-1(x)，于是也称函数y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数。

y=f(x),其反函数为y=f^-1(x) 分别求导：式一y"=f"(x)x"；式二y"=1/f"(x)x" 两式相乘,为1 前提条件是,函数必须是连续光滑可导的

想象一下，倒数是函数的斜率，函数关于y=x对称，那斜率也是无数条关于y=x对称的直线，相乘自然得1

你好反函数与原函数相乘不一定等于1。反函数与原函数不同于倒数的概念。

要是想构造一个 这样y=f（x）=x｛x/x=1｝ 其反函数为y=f^(-1)(x）=1

因为两数为正或为负，因同号得正，所以答案为正。然后将两个数的绝对值相乘，就等于1。

互为相反数的两数相乘,积肯定不能等于 1 , 举例 (-2)*2=-4 互为相反数的两数相乘,因符号相反,必须小于 0,不能等于 1

1. 轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴2. 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点为中心对称点3. 原函数和他的反函数关于y=x轴对称4. 不一定，比如指数函数y=e^x和y=e^(-x)相乘也等于1，但此二函数关于y轴对称5. 两个函数关于y=x对称说明他们互为反函数，互为反函数的两个函数相乘等于1，相乘等于1的两个函数不一定互为反函数6. 函数关于y=0对称说明这个函数是偶函数7. 一阶导数连续，说明函数一阶连续可导（不是废话，数学表示为C1（1是上标）），只能说明函数一定连续且存在连续的一阶导数，无法判定二阶导数是否存在，更不能说明函数是光滑的（光滑意味函数n阶连续可导）

既然f(x)的导数是f(x)，则f(x)可看作f(x)在x轴投影区间的面积，这个面积可分解成一个扇形面积和一个直角三角形面积。扇形的圆周角记为θ，则θ=-arccos(x/r)，故扇形区域面积为(θ/2π)*πr^2，即 ，直角三角形面积为 ，（严谨表达应该加上绝对值表示面积），两者相加即是f（x）。，-r≤x≤r，c为任意常数。直接相加是因为面积的表达式中已经考虑了x符号的影响。

已知两个数互为倒数，设它们分别为a和b，即a×b=1根据乘法交换律，b×a=1所以，a和b互为倒数，即a×b=1因此，它们的乘积为1。知识扩展一、数学定义和性质倒数在数学上被定义为两个数相乘等于1的关系，即a×b=1，其中a和b互为倒数。倒数具有以下性质：非零实数都有倒数，零没有倒数，因为没有任何数能与零相乘得到1，一个数与其倒数相乘等于1。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。倒数与原数的关系是互逆的，即一个数的倒数的倒数还是这个数本身。倒数在数学中有广泛的应用，如在解方程、计算乘法逆元等场景中都有倒数的身影。二、计算方法计算一个数的倒数有多种方法。首先，我们可以将该数的分母和分子交换位置，得到其倒数。例如，3的倒数为1/3。另外，也可以通过该数与1的商得到其倒数，例如，4的倒数为4/1=4。此外，还可以利用乘法运算性质得到倒数，即a×b=1时，a×(1/b)=1，从而得到a的倒数为1/b。三、应用场景倒数是一个数学术语，指两个数相乘等于1的数，例如2和1/2就是倒数。倒数也可以用来进行简单的乘法运算，例如两个倒数相乘等于两个数相乘的倒数。倒数在很多应用场景中都有使用。例如，在解决方程问题时，可以利用倒数将方程变形为更容易求解的形式。在计算乘法逆元时，倒数可以快速求解。另外，在比较大小、计算概率等领域中，倒数也有广泛的应用。总之，倒数是一个重要的数学概念，具有丰富的数学定义和性质，掌握它的计算方法和应用场景对于解决实际问题非常重要。

反函数的导数等于原函数导数的倒数，当然这是在导数成立的情况下才成立的。由于函数研究的一般性，所以这个定律基本不考虑例外的情况。

显然是C. 可以简单画下图； A与原式互为反函数,关于Y=X对称. B即y=log2x,与其关于X轴对称. D是先平移再对称 或直接看函数变化趋势大小（导数）,显然C导数大于Y=2^x,二者不可能重合.

y=kx则你反函数为y=1/kxk*1/k=1故斜率乘积为1

两个互为反函数的函数的导数之积为1，这个说法的前提是y=f(x)的反函数是用x=g(y)表示的，参见下图。但通常的反函数把x=g(y)改写成了y=g(x)，这样两者的乘积就不为1了。

两个斜率乘积是1的话就是一般的相交（正比例函数就是反函数）。

说明这两条直线互相垂直啊等于-1就是相交

向量相乘等于1个数，但就是点积设a=(a1,a2,....,an) b=(b1,b2,...,bn)a和b的点积=a1b1+a2b2+.....+anbn仅仅等于1，没有任何特殊性，点积等于0，说明两向量正交（即互相垂直）

反函数概念的核心在于，互为反函数的两个函数表示的并不是同一个函数关系，因为我们改变了关于因变量与自变量的观点，我们不能对同一个函数说，它既表示了y对x的函数关系，又说它表示了x对y的函数关系，因此至于我们习惯上写出显式来，并且交换自变量与因变量的字母，从而能够在几何上建立一个直观。 一般地，在我们学习任何概念的时候，关键是要建立起自己的对于一个抽象概念的直观方式，比方说反函数，如果能够牢固地抓住互为反函数的两个函数的几何图象的特征，即它们在直角坐标系里关于直线x=y对称，就有了一个思考的线索与途径。 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

两个数的倒数相乘自然是等于1，且任何两个的倒数相乘都是等于1。例如1/5×5=1，（-1/5）×（-5）=1，因此，无论是两个正数，还是两个负数，只要互为倒数，那它们的乘积便等于1。0是没有倒数的，因此0不在倒数相乘的范围内，对于倒数相乘可以这样理解：非分数与分数的分母互约，因此，只要分数的分子，也就是1。

1.反函数的概念 设y＝f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y＝f(x)中解出x,得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x＝φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数,记作x＝f-1(y),通常将它改写成y＝f-1(x). 函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域. 函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称. 2.反函数概念的理解 反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在. 并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x),那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数,即它们互为反函数. 函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域. 反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时,必须确定原来函数y＝f(x)的值域. 3.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数,其步骤为： (1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y); (2)将x、y互换,得到y＝f-1(x); (3)根据y＝f(x)的值域,写出y＝f-1(x)的定义域. 互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x,函数y＝ 的反函数仍是y＝ . 4.互为反函数图像间的关系 在同一个直角坐标系中,函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y＝x对称. 在y＝f(x)与x＝f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y＝f(x)中,x是自变量,y是x的函数；在x＝f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集. 5.反函数具备的其它性质 在y＝f(x)与y＝f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同. 若y＝f(x)(x∈A),与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有 f［f-1(x)］＝x(x∈C)； f-1［f(x)］＝x(x∈A). 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. 奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数. 具有单调性的函数必有反函数. 两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y＝x上.

对数的运算性质当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)(7)对数恒等式：a^log（a)N=N;log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1扩展资料对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。参考资料对数公式_百度百科

是的，乘积为1的两个数互为倒数。如果两个数相乘的结果是1，那么它们就是彼此的倒数。具体来说，对于实数 a 和 b，如果满足以下条件之一：1. a * b = 12. b * a = 1那么我们可以称 a 和 b 互为倒数。例如，2 和 1/2 是互为倒数的数，因为 2 * (1/2) = 1，同时 (1/2) * 2 = 1。在有理数中，一个数的倒数是它的分母与分子交换的分数。在实数中，除0外的数的倒数都存在。

1反函数没有具体的公式2反函数有定义的。就是由y=f(x)得x=g(y)，则呈y=f(x)与x=g(y)互为反函数，一般百x=g(y)记作y=f^(-1)(x)。

就是两个数相乘，如果结果是1，那么就说这两个数互为倒数，其中一个是另一个的倒数，也可颠倒来说，例如，1/2乘以2等于1，而2和1/2又互为倒数。同理:3于1/3,4于1/4等。。。都是乘积是1并且互为倒数的两个数。

1.反函数的概念设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x).函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在.如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数.不能再简化了，不然很容易误解！

函数的定义域就是反函数的值域,而且一个函数有反函数的话,定义域和值域必须要为正数,要不然不存在反函数.你应该是在读高一把,以后有部懂的数学题目可以问我,加我百度好友nieyunzhao反函数在高考中应该不是很重要,属于了解层次,没必要太深究,单必须基础的要懂,重要的是2次函数和3次函数和导数.

反函数:一般地，如果确定函数y=f(x)的对应f是从函数的定义域到值域上的一一对应，那么由f的“逆”对应f-1所确定的函数就叫做函数的反函数，反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

当x=1时有arctan1等于kπ+π/4（k为整数）。解：因为tanx与arctanx互为反函数，那么令y=arctan1，则y=tanx=arctan1那么可解得y=π/4+kπ，其中k为整数。扩展资料反三角函数的限制条件1、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性；2、函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是间断的）；3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角；4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsin x。参考资料来源：百度百科—反三角函数

乘积是1的两个数互为倒数,这句话是正确的。互 为倒数是两个数之间的一种关系。“两个数”“乘积等于1”“互为”把握这三点就可以了。至于是整数，小数，还是分数，乃至以后学到的负数都无所谓。

互为反函数的两个函数的导数没有关系。定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y)， 有dy/dx=1/(dx/dy)，即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。例子： y=2x，反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。已知函数y=f(x)，从表达式y=f(x)出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称为函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫作互反函数。反函数存在定理定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。而由于f的严格单增性，对D中任一x"<x，都有y"<y；任一x"">x，都有y"">y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。如果f在D上严格单减，证明类似。

看不清楚那个分数 用a表示吧 f（x）=3+loga x =y 则x=a^(y-3) 则f（x）=a^(x-3) 求出反函数 那么互为反函数这两个函数（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆 （10）不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方

互为反函数的两个函数的导数没有关系。反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称。（2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的。（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。反函数的值域公式：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量。x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

两个外项互为倒数即相乘等于1所以两个内项相乘等于1所以另一个是1÷0.25=4

向量相乘等于0才代表向量垂直，楼上错了向量相乘等于1说实话没什么特别意义举个例子 向量OA=（x1,y1），向量OB=（x2,y2）向量OA×向量OB=x1x2+y1y2=1，只能说明这些了如果向量OA与向量OB共线，则x1y2=x2y1望采纳

逆函数在数学专用语中称为反函数，在表达式中，把x换为y，y换成x，就可得出反函数。

不是的！原函数与反数，它们之间并不是倒数关系，所以说啊，它们的乘积是不可能等于1的！

不是，你是没有弄清楚反函数与原函数的关系，他们是关于y＝x对称，乘积没有必然关系。

你好反函数与原函数相乘不一定等于1。反函数与原函数不同于倒数的概念。

反函数与原函数相乘不一定等于1，反函数与原函数不同于倒数的概念。 大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是｛0}且f(x)=C（其中C是常数），其反函数的定义域是｛C}，值域为｛0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。 相关介绍： 1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy), 即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。 2）例子： y=2x，反函数是x=y/2. 由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。 已知函数y=f(x)，从表达式y=f(x)出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称为函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫做互反函数。 由于习惯用变量记号x表示自变量，用变量记号y表示函数，因此在反函数x=f-1(y)的表达式中，再将变量记号x改写为y，变量记号y改写为x，得到函数表达式y=f-1(x)，于是也称函数y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数。

要是想构造一个这样y=f（x）=x｛x/x=1｝其反函数为y=f^(-1)(x）=1

互为相反数的两数相乘,积肯定不能等于 1 ,举例 (-2)*2=-4互为相反数的两数相乘,因符号相反,必须小于 0,不能等于 1

答案：B 解析： 互为倒数的两个数的乘积等于1． 所以下列各对数中，互为倒数的数是B．|－1|与|－1| 提示： 看它们的乘积是否等于1．

不是arctanx和tanx是互为反函数，倒数乘积不为1

你是说原函数和反函数的导数互为倒数的原则吧。是这样的，如果有函数y=f（x），其反函数为x=f^-1（y）可知，这两个函数在同一个xy轴坐标系中的图像是相同的，设y0=f（x0），那么x0=f^-1（y0）这样在（x0，y0）点f（x）的导数f"（x0）和f^-1（y）的导数f^-1"（y0）是互为倒数的。原函数和反函数的导数互为倒数的原则是说这个。而不是y=f（x）和y=f^-1（x）在相同的x点处导数互为倒数。

不唯一。若y=1/x，f^-1(x)=1/x，相乘得1/x^2.这个乘积绝对不为定值

1.反函数的概念 设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x). 函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域. 函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称. 2.反函数概念的理解 反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在. 并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数. 函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域. 反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如，函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此，求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时，必须确定原来函数y＝f(x)的值域. 3.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数，其步骤为： (1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y); (2)将x、y互换，得到y＝f-1(x); (3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域. 互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝ 的反函数仍是y＝ . 4.互为反函数图像间的关系 在同一个直角坐标系中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称. 在y＝f(x)与x＝f-1(y)中，x、y所表示的量相同，但是地位不同.在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数.在同一个直角坐标系中，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集. 5.反函数具备的其它性质 在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同. 若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有 f［f-1(x)］＝x(x∈C)； f-1［f(x)］＝x(x∈A). 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. 奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数. 具有单调性的函数必有反函数. 两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.

1.反函数的概念 设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x). 函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域. 函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称. 2.反函数概念的理解 反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在. 并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数. 函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域. 反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如，函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此，求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时，必须确定原来函数y＝f(x)的值域. 3.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数，其步骤为： (1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y); (2)将x、y互换，得到y＝f-1(x); (3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域. 互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝ 的反函数仍是y＝ . 4.互为反函数图像间的关系 在同一个直角坐标系中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称. 在y＝f(x)与x＝f-1(y)中，x、y所表示的量相同，但是地位不同.在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数.在同一个直角坐标系中，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集. 5.反函数具备的其它性质 在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同. 若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有 f［f-1(x)］＝x(x∈C)； f-1［f(x)］＝x(x∈A). 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性. 奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数. 具有单调性的函数必有反函数. 两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.

互为反函数的两个函数的导数没有关系。1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y)， 有dy/dx=1/(dx/dy)。即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。2）例子： y=2x，反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2， 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。反函数的性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称。（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

互为反函数的两个函数的导数没有关系。1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y)， 有dy/dx=1/(dx/dy)。即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。2）例子： y=2x，反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2， 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。反函数的性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称。（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y)， 有dy/dx=1/(dx/dy)。即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。2）例子： y=2x，反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2， 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。反函数的性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称。（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。