瑞瑞爱吃桃 -
全部等价量
1)e^(x^2)-1~x^2
arcsin(x^2)~x^2
sin^3(x)~x^3
x ln(1-2x)~x(-2x)=-2x^2
所以lim=(x^2)/(x^3+2x^2)=1/(x+2)->1/2
当x->0(上下同除x^2,把x=0代入)
2)tan^4(x)~x^4
ln(1+3x^3)~3x^3
(1-cosx)~x^2/2
e^(2x)-1~2x
lim=[x^4+3x^3]/(x^4+x^2/2*2x)=[x+3]/[x+1]=3
当x->0(上下同除x^3,把x=0代入)
3)n*ln2=ln(2^n)<ln(1+2^n)<ln(2^(n+1))=(n+1)ln2
而且3^(1/n)>1
所以令原式为f(n)
n(3^(1/n)-1)<f(n)<(n+1)(3^(1/n)-1)
3^(1/n)-1=e^(ln3/n)-1~ln3/n,因为1/n->0
所以ln2*ln3=(ln3/n)*nln2<f(n)<(ln3/n)*ln2(n+1)=ln3*ln2/(1+1/n)->ln3*ln2
所以由夹逼定理，极限为ln3*ln2
4)分子有理化
令t=三次根号(x^3+2x^2+1)
t^3-x^3=(t-x)(t^2+tx+x^2)
所以t-x=(t^3-x^3)/(t^2+tx+x^2)
=[x^3+2x^2+1-x^3]/[t^2+tx+x^2]
=(2x^2+1)/[t^2+tx+x^2]
上下同除x^2
分子=2+1/x^2->2,x->无穷
分母=(t/x)^2+(t/x)+1
关键看t/x趋向于什么
t/x=三次根号(x^3+2x^2+1)/x
=三次根号((x^3+2x^2+1)/x^3)
=三次根号(1+2/x+1/x^3)->1
所以分母趋向于1+1+1=3
极限=2/3
5)用夹逼原理,令原式=f(n)
(n^2+n)>(n^2+n-1)>...>(n^2+1)>0
根号(n^2+n)>根号(n^2+n-1)>...>根号(n^2+1)>0
所以1/根号(n^2+n)<1/根号(n^2+n-1)<...<1/根号(n^2+1)
所以可以进行放缩，如果每一项都是最小值1/根号(n^2+n)
那么和会小于原式，都是最大值，则会增大，即
1/根号(n^2+n)+1/根号(n^2+n)+...+1/根号(n^2+n)
< f(n) <1/根号(n^2+1)+1/根号(n^2+1)+...+1/根号(n^2+1)
即
n/根号(n^2+n)<f(n)<n/根号(n^2+1)
两边都取极限，都等于1，所以由夹逼原理原式极限为1
n/根号(n^2+n)=1/根号(1+1/n)->1
n/根号(n^2+1)=1/根号(1+1/n^2)->1
真颛 -
极限号，无穷小量的余项都不写了
1.用等价无穷小替换
arcsin(e^x^2-1)~e^x^2-1~x^2
(sinx)^3~x^3
ln(1-2x)～-2x
所以原式=x^2/(x^3+2x^2)=1/2
2.(tanx)^4~x^4
ln(1+3x^3)~1+3x^3
1-cosx~x^2/2
e^(2x)-1~2x
所以原式=3
e^ln2~(1+2^n)^(1/n)
所以ln2~ln(1+2^n)/n
所以ln(1+2^n)~n ln2
(3^(1/n)-1)/(1/n)~ln3
所以3^(1/n)-1~ln3/n
因此原式=ln2ln3
4.y->0时，(1+y/3)^3~1+y，即 三次根号下(1+y)~1+y/3
三次根号下(x^3+2x^2+1)=x三次根号下(1+2/x+2/x^3)
三次根号下(1+2/x+2/x^3)~1+2/(3x)
原式=x(2/(3x))=2/3
5.用夹逼定理
n/(根号下n^2+n)<原式<n/(根号下n^2+1)
因此原式=1
有问题追问吧
黑桃花 -
1、第一题利用等价无穷小先把分子替换成x^2,再把分子分母颠倒，也就是求原函数的倒数的极限，将新极限分成两个极限，再分别用等价无穷小，最后再倒数回来就可以。
4、最后一题用夹逼准则，n/(根号下n^2+n)<原函数<n/(根号下n^2+1),左右两个函数的极限都是1，则原表达式=1
其他几个实在没有想到比洛必达法则好的方法。
CatMTan -
无穷小替换可以用吗