- 十年阿桑
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平方差:(A+B)(A-B)=A^2-B^2;完全平方:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q); 圆锥体积是等底等高 圆柱体的1/3.
二次根式:√A*√B=√(AB);A√C±B√C=(A±B)√C.
(A+N)/(B+N)=C;则N=(A-BC)/(C-1).
正圆球体积:4/3派R立方(或1/6派D立方);表面积:4派R平方.
海伦_秦九韶,三角形面积公式:设三边长为A、B、C,面积为S;周长的一半P为(A+B+C)/2.
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]. 降次:(MX+N)^2=p,则MX+N=±√P.
一元二次方程公式:AX^2+BX+C=0;则X={√[(B^2-4AC)/2A]}-B. 另有因式分解法.
根与系数:例X^2+6X-16=0,解得X1=2,X2=-8;X1+X2=-6(一次项系数的相反数),X1*X2=-16(常数项)
黄金分割:把一条线段分为两段,使较长的那段与全长的比值和较短的那段与较长的那段比值,两者相等.
(√5-1)/2≈0.618. 五角星第一笔线段有三个比值为黄金分割.
两元一次方程:1、代入转换. 2、如有系数相同或相反,则加减.
对于X的每一个确定值,Y都有唯一确定的值与其对应. 那么X就是自变量,Y是X的函数.
如果当X=A时,Y=B. 那么B就叫做当自变量的值为A时的函数值.
Y=KX形式,为正比例函数.[K为常数(比例系数)];Y=KX+B与Y=KX为平移关系.
(B为单位长度,>0向上平移,<0向下平移).
当K>0时,直线Y=KX+B由左至右上升,随X增大而增大;<0时,下降、随X增大而减少.
解析图象坐标:(3,5)、(-4,-9). 设Y=KX+B.
3K+B=5;-4K+B=-9. 解得K=2,B=-1. 所以解析式为Y=2X-1.
A有200吨,B有300吨. A送C、D的收费分别为20、25元/吨.
B送C、D的收费分别为15、24元/吨. C需240吨,D需260吨. 怎样运送收费最少?
设总费用为Y元;A送C,为X吨. 则:
A送D,200-X;B送C,240-X;B送D,60+X. 注:B→D,260-(200-X)=60+X. 单位:吨.
Y=20X+25(200-X)+15(240-X)+24(60+X);Y=4X+10040(0不大于X,不大于200).
解得A送C为0吨,送D为200吨;B送C为240吨,送D为60吨;总费用最少值为10040元.
Y=K/X为反比例函数,图象为双曲线;当K>0时,分别位于第一、第三象限,Y随X的增大而减小.
当K<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内,Y值随X值的增大而增大.
反比例函数图象经过A(2,6). 问1:分布在哪些象限?Y随X的增大如何变化?
问2:点B(3,4)、C(-2又1/2,-4又4/5)和D(2,5)是否在这个函数的图象上?
答1:设Y=K/X,把A(2,6)代入得,6=K/2,K=12.表达式为Y=12/X.
因为K>0,所以这个函数图象在第一、第三象限,Y随X的增大而减少.
答2:将B、C、D的坐标代入Y=12/X,可知B、C的坐标满足函数关系式,D不满足.(略)
一梯子靠在垂直墙上,弦3米,股2.5米. 如果梯子沿墙滑下0.5米,则勾也增加0.5米?
答:3^2-2^2=5; 3^2-2.5^2=2.75; √5-√2.75≈2.236-1.658≈0.578. 勾大约增加了0.578米.
加权平均数,有表示数据重要程度的意思. 很多情况下不应以算术平均数……
一家公司打算招聘一名英文翻译员,对甲、乙两名应试者进行了测试,成绩分数如下:
甲:听85、说83、读78、写75; 乙:听73、说80、读85、写82.
问1:招一名口语能力比较强的,听说读写成绩分别按3:3:2:2. 应该录取谁?
问2:招一名笔译能力比较强的,听说读写成绩分别按2:2:3:3. 应该录取谁?
问1思路:甲(85*3+83*3+78*2+75*2)/(3+3+2+2);乙类同. 最后比较甲乙各加权平均数的大小.
问2思路:类同问1. 甲(85*2+83*2+78*3+75*3)/(2+2+3+3).
如数据的个数为偶,则中间两个数据的平均数叫这个数据的中位数;为奇,则直取中间.
在一组数据中,出现最多的数据就是这一组数据的众数.
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差. 常用方差衡量一组数据的波动大小.
一组数据方差计算:(每个数据 - 平均数)的平方,所有数据的方差之和除以组数N.
[(X1-X均)^2+(X2-X均)^2+(X3-X均)^2……]/N;另外还可以之差之和除以组数N.
把一个图形沿某一中心轴划分为两边,如果这两边全等,那么这个图形就为轴对称图形.
一个图形绕着某一点旋转180度,与另一边图形重合,那么就是关于这两个图形的点对称(也叫中心对称)
连接圆上任意两点的线段,叫做“弦”;经过圆心的弦叫做“直径”. 圆上(圆周)的两点可以确立一个“弧线”.
弧上任意两点分别与圆心作线段,与圆心所形成的夹角为圆心角.
弧上任意一点分别与弧上任意两点作线段,与圆周所形成的夹角为圆周角.
在同圆或等圆中:
1、圆周角的度数等于它所对的弧线度数的一半;圆心角度数等于它所对的弧线度数.
由此可知,圆周角的度数等于同弧或等弧的圆心角度数的一半.
2、同弧或等弧中的所有圆周角彼此相等;所有圆心角也彼此相等.
3、半圆(或直径)所对圆周角是直角;反过来,它所对的弦是直径.
4、圆内接四边形的对角互补;任意一个外角都等于它的内对角。
直线与圆的位置关系:1、直线在圆外,没有公共点,称这条直线和圆相离.
2、直线过弧上的两点,它们有两个公共点,这条直线叫做圆的割线.(称直线和圆相交)?相割?
3、直线过弧上的一点,它们只有一个公共点(切点),这条直线叫做圆的切线.(称直线和圆相切)
4、在圆外的一点作切线,这点到切点的距离叫做这点到圆的切线长.
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
例△ABC内画内接圆:分别画∠B和∠C的平分线使它们相交;相交的这一点为三角形的内心,也是圆的圆心.
圆与圆的位置关系:1、如果两个圆没有公共点,那么它们为“相离”.
(1)一个圆在另一个圆内,但没有公共点,那么它们为“内含”.
(2)一个圆不在另一个圆内,并且没有公共点,那么它们为“外离”.
2、(1)一个圆在另一个圆内,有一个公共点,那么它们为“内切”.
(2)一个圆不在另一个圆内,但有一个公共点,那么它们为“外切”.
3、两个圆有两个公共点,那么它们为“相交”.
圆内接正多边形的中心为圆心(共心)、共半径;正多边形每一边所对的圆心角是它的中心角;
中心到正多边形一边的距离叫做它的边心距.
例:有一个亭子,它的地基是半径4M的正六边形,求地基的周长和面积.
答1:可知,它的中心角是360°/6=60°,外接圆内可画为正△.
因此它的每条边长等于它的半径:边数*每边长=周长=6*4=24(M);
答2:周长*边心距/2=该六边形地基的面积. 勾股求出边心距:
√[4^2-(4/2)^2]=√12=√3*√4=2√3; 24*2√3/2≈41.6(M^2)
弧长计算:圆心角度数*圆周率*半径/180,也就是 L=N派R/180.
扇形面积:S=N*派*R的平方/360;或S=LR/2. 圆锥表面顶点到底面圆周的线段叫母线L.
圆锥体表面积:派R平方+派RL;其中母线L=√(H^2+r^2).
概率初步:可能发生也可能不发生的事件,称为“随机事件”.一定会发生的是“必然事件”.
事件A发生的频率M/N会稳定在某个常数p附近,这个常数p就叫做事件A的概率. P(A)=p.
P(A)=p,它的值为不小于0,不大于1. 注:小“p”.
一般地,如果在一次试验中,有N种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,
事件A包含其中的M种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=M/N.
例:同时掷两个质地均匀的色子,计算下列事件的概率:(1)两个色子的点数相同;
(2)两个色子点数的和是9; (3)至少有一个色子的点数为2.
分析:(1)两个色子掷出来共有6*6=36种结果. 所以点数相同的概率为6/36=1/6.
(2)两个色子点数之和有3+6、4+5、5+4、6+3四种结果,所以概率为4/36=1/9.
(3)一二、二二……六种结果;二一、二三、二四……五种结果;所以概率为11/36.
布丰投针:在平面上画有一组间距为D的平行线,将一根长度为L(L<D)的针任意投掷
在这个平面上,求此针与平行线中任意一条相交的概率. P=2L/派D.
多边形的对角线D与边数N的关系:D=N(N-3)/2.
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.
如果每年都比上一年的产量增加X倍,那么两年后这种产品的
产量Y将随计划所定的X的值而确定,写出Y与X之间的关系表达式. 即Y=20(1+X)^2
形如 Y=AX^2+BX+C(其中A、B、C为常数,A≠0),叫做二次函数.
其中,X是自变量,A、C、C分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数Y=AX^2+BX+C的图象叫做抛物线Y=AX^2+bx+c.
Y轴是抛物线Y=X^2的对称轴,交点(0,0)叫做抛物线Y=X^2的顶点(最低点).
每条抛物线都有对称轴,交点叫做抛物线的顶点(最高点或最低点)
抛物线Y=AX^2的对称轴是Y轴,顶点是原点,当A>0时,抛物线的开口向上,
顶点是抛物线的最低点. A越大,抛物线开口越小;当A<0时,抛物线的开口向下,
顶点是抛物线的最高点,A越大,抛物线的开口越大.
把抛物线Y=X^2向上平移1个单位就得到Y=X^2+1;向下平移一个单位得到Y=X^2-1.
把抛物线Y=-1/2X^2向左平移1个单位就得到Y=-1/2(X+1)^2;向右则X-1.
把抛物线Y=-1/2X^2向下、向左各平移1个单位,就得到Y=-1/2(X+1)^2-1.
例1:要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1M处达到最高,
高度为3M,水柱落地处离池中心3M,水管应多长?
解:点(1,3)是该抛物线的顶点,即Y=A(X-1)^2+3;注:0不大于X不大于3.
由这段抛物线经过(3,0)可得0=A(3-1)^2+3,解得A=-3/4;
因此,Y=-3/4(X-1)^2+3;当X=0时,Y=2.25,也就是水管应长2.25M.
例2:用总长60M的篱笆围城矩形场地,矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化;
当L是多少时,场地的面积S最大?
分析:先写出S与L的关系式,再求出使S最大的L值.
周长是60M,一边长是L,则另一边长是:60/2-L.
即S=L(30-L)或S=30L-L^2.
因为抛物线Y=AX^2+BX+C的顶点是最低(高)点,所以X=-B/(2A)时,
这个函数值有最小(大)值(4AB-B^2)/4A.
因此,当L=-B/(2A)=-30/[2*(-1)]=15时,S有最大值(4AC-B^2)/4A
=(-30^2)/[4*(-1)]=225. 也就是说,当L是15M时,该场地的面积S最大(S=225)
- 再也不做站长了
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乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h"
圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S"L 注:其中,S"是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
- 左迁
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3^(2x+1)=(3^2x)*3=12
3^2x=4
3^x=2
x=lg2/lg3=0.6309298
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x=2.2618的话3^(2x+1)=3^5.5236>3^5