高等数学中所有等价无穷小的公式

▄︻┻═┳一 根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ;

x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1);

[(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，

那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx→0tanx-sinxx3

给你举几个利用无穷小的例子

例1 limx→0tanx-sinxx3

　　解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)=12

　　此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。

∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。

　　例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

　　解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

例3 limx→0(1x2-cot2x)

　　解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

　　解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)

=limx→02(tanx-x)x3

=limx→02(sec2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

例4［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。