数学问题 函数可以被积分的条件是什么？

函数可积的三个条件是：函数在积分区间上有界，只有有限个间断点；函数在积分区间上连续；函数在积分区间上单调有界。

可积函数的函数可积的充分条件：1，函数有界。2，在该区间上连续。3，有有限个间断点。相关介绍：积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。扩展资料：勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界。2、在该区间上连续。3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。相关如下：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。

函数可积的条件是什么 在数学中，积分是一种非常重要的概念，也是许多数学分支领域的基石。而在积分的定义中，可积则是一个非常重要的概念。那么，函数可积的条件是什么呢？本篇文章将会带您深入了解这一概念。可积的定义 在数学中，可测与可积是两个非常重要的概念。可以通俗的理解为，如果一个对象是可测的，那么它的面积、体积等属性是可以被测得的；而如果一个函数是可积的，那么它的积分也是可以被计算出来的。因此，可积对于我们理解函数相关的问题具有重要的意义。但是，对于一个函数而言，如果我们要判断其是否可积，究竟需要满足怎样的条件呢？回答这个问题之前，我们需要先从积分的本质入手，来了解下可积的定义。在数学中，积分是一个古老而广泛使用的运算，其本质含义是对一个曲线图像下方面积的求和。具体来讲，如果我们将一个曲线图像分为许多个小矩形，然后将这些小矩形的面积累加起来，那么就可以得到该图像的下方面积。而这个下方面积就是这个曲线图像的积分。然而，对于具体函数而言，它能否进行积分计算，其实是和函数的性质有着很大的关系。因此，可积的定义和函数的性质密切相关。那么下面，我们将从两个角度来讨论函数可积的条件。可积的充要条件 第一个角度，我们来看一下莱布尼茨及黎曼可积的定义。莱布尼茨定义与黎曼定义的区别在于，后者是通过将取值的线性逼近拟合曲线来求积分，而莱布尼茨定义则是建立在微积分学的概念下。但是，不管是莱布尼茨还是黎曼的定义，它们都应具备以下两个条件：有界性：被积函数定义域上的值为有限数，即函数值不能无限扩散。几乎处处连续：除了一个可忽略的点集外，函数在定义域内是连续的。上述两个条件是可积的充要条件。如果一个函数同时符合以上两个条件，那么这个函数就是可积的。反之，则说明该函数不可积。可积的充分条件 第二个角度就是可积的充分条件。在这个角度下，我们需要探讨一下勒贝格积分与积分区间的概念。如果某个函数在它的定义域内有界且连续，那么它是可积的这一结论可谓是众所周知。然而，对此，我们能否有更深入的认识呢？据勒贝格积分定理，如果某个函数在定义域内有界而且可积，那么对于差任意小的积分区间，该函数的积分结果差异也是任意小的。因此，如果我们把其想象成等高线地图中的等高线，那么我们可以知道积分结果的误差值随着线条数量的增多而逐渐变小。而在该定理的基础上，还有一个弱化的充分条件：如果某个函数在定义域内连续，则该函数是可积的。总结 综上所述，函数可积的条件是有界性、几乎处处连续以及勒贝格积分与积分区间的性质。当然，有限区间内的连续函数都是可积的，而几乎处处连续具体涵盖了哪些情况，则可以通过测度和集合论语言来得到描述。因此，了解函数可积的条件不仅有助于我们对数学的认识，也对我们求导、积分等日常生活中的问题有很大的帮助。

可微=>可导=>连续=>可积可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的；可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。可微在一元函数中的必要条件可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。在区间上不连续，但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点，可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件，可以放宽，所以只是充分条件，可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。

如果有有限个第一类间断点，变限积分可积，积出来的函数在在非间断点处可导。有限个第一类间断点就可积。如果间断点为可去间断点则积分函数可导。如果为跳跃间断点则积分函数不可导。函数可积的充分条件：定理1设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。定理2设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a，b]上可积。定理3设f(x)在区间[a，b]上单调有界，则f(x)在[a，b]上可积。扩展资料：可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

可积的充分条件是1,函数在闭区间连续；2,函数在闭区间上有界且只有有限个间断点； 可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界 充要条件?好像没看到书上说过可积还有充要条件的...同求解惑：）

函数可积的充分条件是：函数有界、在该区间上连续、有有限个间断点。数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为“黎曼可积”。 黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

函数可积的充要条件是其在有限区间上的积分存在且有限。也就是说，如果函数在有限区间上是有界的，并且其上积分存在，则该函数可积。这个条件通常被称为黎曼可积的条件。

不一样： 不定积分的条件要求：1被积函数要连续 或者 2被积函数不存在第一类间断点（但可有第二类间断点） 定积分的条件：1被积函数要连续 或者 2被积函数有有限个第一类间断点 对于条件2这类问题你在脑海中画个图看看,如果是定积分即求出积分函数对应的曲线与x轴成 的面积,当有有限个第一类间断点时面积完全可求出!

连续是可积的充分非必要条件。因为在区间上连续就一定有原函数,根据N-L公式得定积分存在。反之,函数可。扩展资料对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的；可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

既不是充分条件，也不是必要条件。对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积。对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的；可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。扩展资料：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。黎曼积分与勒贝格积分黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制。由于黎曼可积函数主要是连续函数或不连续点不太多的函数，使得黎曼积分在量子力学和概率论中的应用都遇到了瓶颈。仅从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序、重积分交换次序、牛顿一莱布尼茨公式等来看，黎曼积分要求的条件苛刻，对于一些问题的处理显得力不从心，但是在勒贝格积分的框架下，上述问题就会得到较为圆满的解决。另外为引入积分而得到的勒贝格测度概念还使数学分析中本来很难讲清楚的一些道理（如单调函数的可微性、黎曼可积的充要条件等）变得清晰。勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。这一积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

黎曼可积的充分条件1、函数在闭区间上连续。2、函数在闭区间上有界且只有有限个间断点。3、函数在闭区间上单调。概念分析在实分析中, 由黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。

可积和原函数存在的关系如下：可积和原函数存在的关系是紧密相连的。原函数是一个函数的不定积分，而可积性则是指一个函数在某个区间上的定积分存在，原函数的存在与可积性密切相关。1、可积性的定义：一个函数在某个区间上可积，意味着它在该区间上的定积分存在。具体而言，如果一个函数在某个区间上的上积分和下积分相等，那么该函数就是可积的。上积分是通过将函数在该区间上的值与区间长度相乘并求和得到的，下积分则是通过将函数在该区间上的值与区间长度相乘并求和得到的。2、原函数的定义：一个函数的原函数是指它的不定积分。具体而言，如果一个函数的导数等于给定函数，那么这个函数就是原函数。原函数可以通过对给定函数进行积分来得到，积分过程中引入的常数称为积分常数。原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。3、可积性与原函数的关系：可积性与原函数的关系可以通过牛顿-莱布尼茨公式来说明。根据这个公式，如果一个函数在某个区间上可积，那么它在该区间上的定积分可以通过求解该函数的原函数在区间端点处的值之差来得到。换句话说，可积性是原函数存在的一个必要条件。可积性和原函数的存在是紧密相关的。一个函数在某个区间上可积意味着它在该区间上的定积分存在，而定积分可以通过求解函数的原函数在区间端点处的值之差来得到。因此，可积性是原函数存在的一个必要条件。这种关系反映了积分与导数之间的基本联系，为微积分学中的重要概念提供了理论基础。

充分非必要条件，函数连续肯定是可积的，但包含有限个第一类间断点的函数也是可积的。要判断一个函数是否连续，还是要通过定义来判断，并非在可积的基础上单加什么条件就可以判断，如果非要在可积的基础上加条件，和其他函数所满足的条件是一样的还是根据定义来推断。对于一元函数：对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在，函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。可微与连续的关系：可微与可导是一样的。可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

“可积”和“原函数存在”有以下几个区别：1、这里的“可积”指的是“Riemann可积”,也就是可求定积分.而 f 存在“原函数”,是指的"存在 F,使处处有 F"(x) = f(x).“定积分必须在闭区间 [a,b] 上讨论,而原函数可在任意区间上讨论.关于Riemann可积函数,常见的有如下三个可积函数类：连续函数；有界且只有有限个第一类间断点（即跳跃间断点）的函数；单调函数.也就是说不止连续函数是可积的.而 f 的积分上限函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt,在 f 连续的点是可导的,因此当 f 在闭区间[a,b]上连续时,F(x)是 f(x) 的原函数.2、不可积的函数一定没有原函数,没有原函数的不一定不可积。可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。3、可积的必要条件：函数f在[a，b]有界，则函数在[a,b]上必定有界；4、可积的充分条件：1)函数在[a,b]区间上连续，则在该区间上可积；2)若f在区间[a,b]上有有限个间断点的有界，则函数可积。3)若f在区间[a,b]上单调，则在该区间可积。4)如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。

。。。。。。这个很好解释，一个函数可积的充分必要条件是任意分化的最大振幅趋于零；或者是达姆大和和达姆小和的极限相等。这个用分化来解释比较容易。首先如果函数无界，那么无论什么分化，必然在某一个区间里振幅大于1，这个可以用比区间套定理来证明。因此一个函数黎曼可积，必然这个函数有界限。至于反例，是有界函数不可积的例子吗，这个很多啊，比如黎曼函数就是一个反例。

连续是可积的充分非必要条件。可积是可定积分是部分曲线下的阴影面积（一个数字）和有原函数是两个独立概念。连续的函数，有限震荡的函数，一定有原函数，其他没有，连续的函数可积，有有限个间断点的有界函数可积。连续的原函数，有限震荡的有原函数，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）无穷间断点，没有原函数。原函数的存在条件原函数的存在条件，若f（x）在［a，b］上连续，则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

①设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积 ②设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积

可积与可导可微连续无必然关系.函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函数在此点函数值存在，并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的充要条件是此函数在此点必须连续，并且左导数等于右倒数。（我们老师曾经介绍过一个Weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导，有兴趣可以查一下）可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。函数可积只有充分条件为：①函数在区间上连续②在区间上不连续，但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点，可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件，可以放宽，所以只是充分条件可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件一元函数中可导与可微等价，多元函数中可微必可导，可导不一定可微，即可微是可导的充分条件，可导是可微的必要条件

问题一：函数连续是函数可积的什么条件 充分非必要条件 函数连续肯定是可积的,但包含有限个第一类间断点的函数也是可积的 问题二：函数什么时候可积，可积的条件是什么 充分条件 连续函数必可积 有有限个第一类间断点也可积 具体参考《高等数学》 问题三：高等数学，连续/可积/有界/三者的关系 首先一下几点都是对一元函数所说的,对多元函数不一定成立： 1,连续和可导有非常明确的关系,即可导一定连续,但连续不一定可导,例如y=|x|在x=0处连续,但该点处的左右导数不相等,故不可导.关于可导一定连续,严格证明教材上都有,这里只给一个形象的解释,函数f(x)在x0处的导数f‘(x0)定义为x趋于x0时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0),这个极限表达式中,分母已经是趋于0的了,如果极限值存在,分子也必须趋于0（否则极限为∞）,从而形成极限的0/0型未定式,而这就保证了limf(x)=f(x0),也就是f(x)在x0处连续.另外以上两条的逆否命题是“不连续一定不可导”,“不可导不一定不连续”,也是很有用的. 2,关于有界和连续,对于一般的情况,有界不一定连续（例如狄利克雷函数D(x)）,连续也不一定有界（例如y=x）.有界和连续只在特殊的情况下有联系,例如对点而言,函数在某点连续则在该点的某个邻域内一定有界,这是由于在某点连续的函数在该点极限一定存在,而函数极限具有局部有界性,注意我们只能断言这样的邻域一定存在,但是邻域的范围一般是不能事先断言的.对于区间而言,在闭区间上连续的函数一定有界,而对于开区间或无穷区间,都不一定成立,例如f(x)=1/x在(0,1)上连续但无界. 3,有界和可导之间一般来说没有什么关系,有界不一定可导,可导也不一定有界. 4,注意着三个概念的定义方式,连续和可导都是“逐点”定义的,即先定义在某点处函数的连续与可导,再推广到区间,推广的方式是非常自然的,即如果在区间内每一点处函数都连续或可导,则说函数在这个区间上连续或可导.连续和可导本质上是“局部”性质的概念,而有界不同,它没有“点定义”,说函数在某点处有界是没有意义的,有界性是定义在区间上的,所以本质上是“整体”性质的概念. 5,从上面的讨论可以看出,对于闭区间来说,可导一定连续,连续一定有界,即这三个概念的强弱程度为：可导>连续>有界. 问题四：函数在区间上连续是函数在区间上可积的什么条件如题 充分非必要条件 函数连续肯定是可积的,但包含有限个第一类间断点的函数也是可积的 问题五：函数连续是函数可积的什么条件 充分非必要条件 函数连续肯定是可积的,但包含有限个第一类间断点的函数也是可积的 问题六：函数什么时候可积，可积的条件是什么 充分条件 连续函数必可积 有有限个第一类间断点也可积 具体参考《高等数学》 问题七：函数在区间上连续是函数在区间上可积的什么条件如题 充分非必要条件 函数连续肯定是可积的,但包含有限个第一类间断点的函数也是可积的

有限个第一类间断点就可积。如果间断点为可去间断点则积分函数可导。如果为跳跃间断点则积分函数不可导；积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。扩展资料：积分变限函数作为一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的重要目标．积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，它可将积分学问题转化为微分学的问题，在许多场合都有重要的应用

可微=>可导=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。可微与连续的关系：可微与可导是一样的。可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

连续 单调有界 有间断但是是非跳跃间断点 三种可积

满足下列条件之一的函数必定可积：（1） 连续（2） 不连续，但间断点是第一类的而且只有有限多个。这就是黎曼可积条件。在勒贝格积分下，以上条件可以继续放宽。黎曼可积函数必定是连续函数或者只有有限个第一类间断点的函数，这些函数在所有的函数类中不多，实际上构成了一个整个函数空间的疏集。

可积与存在原函数有计算方法和适用范围的区别。条件如下所示：存在原函数，就一定可积，用牛莱公式就可以计算出积分值，可积分就是能算面积，反常积分如果可能可积，但不存在原函数。注意事项：原函数存在定理为：若f(x)在[a，b]上连续，则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若f(x)）存在原函数，不能推出f(x)在[a，b]上连续。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的条件。1、例如这个函数f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。所以有界是可积的不充分条件。2、例如这个函数f（x）=1（x＜0）；0（x≥0）这个函数不是连续函数，有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。所以连续不是可积的必要条件。扩展资料对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的；可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

可积函数的三种类型：1、闭区间上的连续函数 2、只有有限个第一类不连续点的函数是可积得,即分段连续函数是可积的 3、单调有界函数必可积 这种可积类型叫黎曼可积.随着数学分析的发展,这些可积条件还是显得太强了,出现了勒贝格积分,可积函数的条件更宽松.有兴趣可以去看看数值分析方面的书.

在理解函数可积的充分条件之前，请先理解一下函数可积的定义，也就是说什么叫 “可积函数”：请看：可积函数定义：如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。可见，函数可积是建立在定积分的基础上的，而本题是问原函数，请再看：原函数定义：已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。所以，求原函数实际上是求不定积分的过程，它与可积函数完全是不同的概念，请勿混淆！建议：认真理解定积分和不定积分的区别，高等数学教科书上有详细的解释。

定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。函数可积的充要条件断点是零测度集

可积函数一定是有界的，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件。比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，它处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 设f(x)在区间[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上可积。 可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为黎曼可积等。 给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。令为f的"正部"和"负部"。如果f可积，则其积分定义为对于实数p≥0，函数f是p-可积的如果|f|是可积的；对于p=1，也称绝对可积。

可微=>可导=>连续=>可积,在一元函数中,可导与可微等价.函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x),即函数在此点函数值存在,并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导.可导的充要条件是此函数在此点必须连续,并且左导数等于右倒数.（我们老师曾经介绍过一个Weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导,有兴趣可以查一下）可微在一元函数中与可导等价,在多元函数中,各变量在此点的偏导数存在为其必要条件,其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在,可含有有限个断点.函数可积只有充分条件为：①函数在区间上连续②在区间上不连续,但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点,可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件,可以放宽,所以只是充分条件

绝对可积函数指绝对值可积的函数，对黎曼积分（包括重积分），可积函数必绝对可积，且函数的绝对值的积分不小于该函数的积分的绝对值。在黎曼意义下绝对可积的函数不一定可积。例如，在有理点等于1在无理点等于-1的函数。对一元函数的广义积分，情形极不相同：|f(x)|广义积分（即f(x)的广义积分绝对收敛）时f广义可积，反之不一定。对于广义重积分，通常采取这样的方法定义：使绝对可积与可积等价，即广义重积分收敛当且仅当它绝对收敛。扩展资料：数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。扩展资料：勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

可积的条件如下：可积的条件是指一个函数或方程在数学上是否具有可积性的判断条件。对于常见的函数和方程，有一些已知的条件可以用来判断其是否可积。根据函数的连续性、有界性、单调性、可微性、绝对可积性以及特殊条件等，我们可以判断一个函数是否可积。这些条件提供了一些基本的准则，帮助我们理解和研究可积性的性质和特点。1、连续性：函数在考虑的区间上必须是连续的，以确保积分的存在性。如果函数在给定区间上是连续的，那么它通常是可积的。2、有界性：函数在考虑的区间上必须是有界的，也就是说，函数的值不能无限增长或无限逼近无穷大。这是为了确保积分的有限性。如果函数在给定区间上是有界的，那么它通常是可积的。3、单调性：函数在考虑的区间上必须是单调的，即在整个区间上递增或递减。这是为了确保积分的存在性和有限性。如果函数在给定区间上是单调的，那么它通常是可积的。4、可微性：函数在考虑的区间上必须是可微的，也就是说，函数在该区间上必须存在导数。这是为了确保积分的连续性和有限性。如果函数在给定区间上是可微的，那么它通常是可积的。5、绝对可积性：函数在考虑的区间上必须是绝对可积的，也就是说，函数的绝对值的积分必须存在和有限。这是更为强的可积条件。如果函数在给定区间上是绝对可积的，那么它通常是可积的。6、特殊条件：对于某些特殊的函数或方程，可能存在一些特定的可积条件。例如，对于一些特殊的函数族，如三角函数、指数函数等，存在一些特定的可积性质和条件。

可积的充要条件是：1、函数有界。2、在该区间上连续。3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。相关如下：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界。2、在该区间上连续。3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。相关如下：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。

可积的必要条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。扩展资料：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。参考资料来源：百度百科——可积函数

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

可积函数的函数可积的充分条件：1、函数有界。2、在该区间上连续。3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。相关如下：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。

1、设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积. 2、设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积. 3、设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积.

1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

1、设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积. 2、设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积. 3、设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积.

可积函数的函数可积的充分条件：1，函数有界。2，在该区间上连续。3，有有限个间断点。相关介绍：积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

可积的充分条件是1,函数在闭区间连续；2,函数在闭区间上有界且只有有限个间断点； 可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界 充要条件?好像没看到书上说过可积还有充要条件的...同求解惑：）

函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函数在此点函数值存在，并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的充要条件是此函数在此点必须连续，并且左导数等于右倒数。（我们老师曾经介绍过一个Weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导，有兴趣可以查一下）可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。函数可积只有充分条件为：①函数在区间上连续②在区间上不连续，但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点，可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件，可以放宽，所以只是充分条件可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件一元函数中可导与可微等价，多元函数中可微必可导，可导不一定可微，即可微是可导的充分条件，可导是可微的必要条件所以按条件强度可微≥可导≥连续可积与可导可微连续无必然关系