通过三个点的坐标求出三角形面积的公式

2023-11-21 17:14:59
TAG: 公式
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左迁

当三个点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3、y3)时,三角形面积为,

S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。

解:设三个点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3、y3)。

那么A、B、C三点可围成一个三角形。AC与AB边的夹角为∠A。

那么向量AB=(x2-x1,y2-y1)、向量AC=(x3-x1,y3-y1)。

令向量AB=a,向量AC=b,

则根据向量运算法则可得,

|a·b|=|a|·|b|·|cosA|,

那么cosA=|a·b|/(|a|·|b|),则sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)/(|a|·|b|)。

那么三角形的面积S=|a|·|b|·sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)

又a·b=(x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1),

那么可得三角形的面积S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。


扩展资料:

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

(1)数量积

对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b之间的夹角为A,那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、(a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA,

(2)向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

(3)向量的减法

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源:百度百科-向量

参考资料来源:百度百科-正弦定理

瑞瑞爱吃桃

答:有。在平面解析几何会学到,即:

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

由A-->B-->C-->A 按逆时针方向转。(行列式书写要求)

设三角形的面积为S

则S=(1/2)*(下面行列式)

|x1 y1 1|

|x2 y2 1|

|x3 y3 1|

S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1)

即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为:

S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)

u投在线

1、三角形面积公式 S= (L1*L2*sinα)/2

2、sinα = (1-cosα^2)^1/2

3、向量a(x1, y1),b(x2, y2)夹角公式 cosα = ab/(L1*L2)

夹角余弦值=向量点乘 /(向量长度相乘)

4、sinα= (1-cosα^2)^1/2 = (1 - (ab/(L1*L2))^2 )^1/2 = ((L1*L2)^2 - (ab)^2)^1/2 / (L1L2) = ((x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2) - (x1x2+y1y2)^2)^1/2 / (L1*L2) = (x1^2*y2^2+y2^2*x1^2-2x1y1x2y2)^1/2 / (L1*L2) = |(x1y2-x2y1)| / (L1*L2)

5、S = (L1*L2*sinα)/2 = |(x1y2-x2y1)|/2

6、上式中 x1 x2 y1 y2 都是向量分量值,是建立在 三角形其中一个顶点已经移到了原点(0,0)的基础上的。对于更一般的形式

三角形三个顶点A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3)

向量a(x1-x3, y1-y3),b(x2-x3, y2-y3)

代回到5中的式子,S = |(x1-x3)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y3)|/2

但是个人觉得记住这个复杂的式子没有意义,还是理解并记住向量形式的表示,也就是5中的式子就可以了

实际上我们来看平面坐标系里的两个向量

a(x1, y1),b(x2, y2)

列成矩阵形式

|x1 y1|

|x2 y2|

这个 2*2 矩阵的行列式的绝对值就是 |x1y2-x2y1|,这就是以 a,b 为两条边的平行四边形的面积,自然以 a,b 为两条边的三角形面积就是 |(x1y2-x2y1)|/2 了

更多地,我们来看三维空间坐标系里的三个向量

a(x1, y1, z1),b(x2, y2, z2),c(x3, y3, z3)

列成矩阵形式

|x1 y1 z1|

|x2 y2 z2|

|x3 y3 z3|

这个 3*3 矩阵的行列式的绝对值就是 |x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-z1y2x3-z2y3x1-z3y1x2|,这就是以 a,b,c 为边的平行六面体(盒子)的体积

所以求空间中(更高维空间也可以)的“盒子”体积的方法就是求矩阵的行列式的绝对值(当然,“盒子”得是在高维空间中满维度的,例如二维空间中必须是个平行四边形,不能是直线;三维空间中必须是个平行六面体,不能是二维平面)

反过来看二维空间三角形面积求法,是可以通过矩阵行列式轻松求得的,比起用三角函数会简单很多。

十年阿桑

简单计算一下,答案如图所示

已知三点坐标求三角形面积

已知三点坐标求三角形面积

bikbok

假如有三点为(X1,y1)(X2,y2)(X3,y3)则这三点围成的三角形面积S=1/2×丨(Ⅹ3-X2)(y1-y2)-(X1-Ⅹ2)(y3-y2)丨

个人推导

CarieVinne

初中知识就可以解决。

首先任意做一个△ABC(一般地,我们作锐角三角形)并随意建立平面直角坐标系xOy,设A,B,C坐标为(xi,yi)(i是脚标,且i=1,2,3)。

然后将该三角形补成矩形,很容易表示矩形的面积以及其余三个小直角三角形的面积,用面积差法便可得证楼上楼下的结论。

大鱼炖火锅

当三个点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3、y3)时,三角形面积为,

S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。

西柚不是西游

要用到矩阵,查下矩阵

你这是干啥嘛

写出任意两边的向量坐标,然后两向量叉乘的模就是面积的2倍

比如ABxAC

AB的向量坐标是(x2-x1, y2-y1); AC的向量坐标是(x3-x1,y3-y1)

向量叉乘的模就是两向量坐标组成的行列式。所以S=1/2[(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)]

LuckySXyd

根据三个点,就可以计算出每条边的边长;

知道每条边的边长,就可以用 海伦公式 计算出面积

穆武唐宁

面积公式为S=1/2*【x1*(y2-y3)+x2*(y3-y2)+x3*(y1-y2)】

gitcloud

首先,这个方法要用到海伦公式和两点间距离公式

求得三段长后代入海伦公式就好。

二分好久没看

只知道有个海伦公式 S=根号{[p(p-a)(p-b)(p-c)]} 其中p=(a+b+c)/2,abc为三角形三边长.

知道点的坐标,边长也就知道了.

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2023-11-19 00:17:581

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简单计算一下,答案如图所示
2023-11-19 00:18:236

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通过三个点的坐标求出三角形面积的公式当三个点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3、y3)时,三角形面积为,S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。解:设三个点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3、y3)。那么A、B、C三点可围成一个三角形。AC与AB边的夹角为∠A。那么向量AB=(x2-x1,y2-y1)、向量AC=(x3-x1,y3-y1)。令向量AB=a,向量AC=b,则根据向量运算法则可得,|a·b|=|a|·|b|·|cosA|,那么cosA=|a·b|/(|a|·|b|),则sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)/(|a|·|b|)。那么三角形的面积S=|a|·|b|·sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)又a·b=(x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1),那么可得三角形的面积S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。扩展资料:1、向量的运算对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),c(x3,y3)则向量的运算法则如下。(1)数量积对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b之间的夹角为A,那么a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、(a+b)·c=a·c+b·c。a·b=|a|·|b|·cosA,(2)向量的加法a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)(3)向量的减法a+(-b)=a-b2、正弦定理应用在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。参考资料来源:百度百科-向量参考资料来源:百度百科-正弦定理
2023-11-19 00:19:021

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2023-11-19 00:20:271

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2023-11-19 00:20:513

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2023-11-19 00:21:001

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2023-11-19 00:21:081

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2023-11-19 00:21:141

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2023-11-19 00:21:361

三点确定一个平面,那么三角形面积的计算方式有哪三种呢?

一、已知底a和高h,则面积=(1/2)ah。二、已知两边ab及ab的夹角C,则面积=(1/2)absinC。三、已知三边a,b,c,则面积=√[p(p-a)(p-b)(p-c)](其中p=1/2(a+b+c))。
2023-11-19 00:21:461

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用三点坐标求三角形的面积 如A(X1,Y1) B(X2,Y2) C(X3,Y3) S=1/2*(X1Y2+Y1X3+Y1X2Y3-X3Y2-X1Y3-X2Y1
2023-11-19 00:22:041

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2023-11-19 00:22:121

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2023-11-19 00:24:351

已知顶点坐标求三角形面积的公式

在平面直角坐标系下,已知三角形的顶点坐标可以利用三阶行列式来求得三角形的面积,若三角形三顶点坐标分别为A(a,b),B(c,d),C(e,f),那么这个三角形的面积为 S=1/2三阶行列式,其中这个三阶行列式的第一行为:a b 1,第二行为:c d 1,第三行为:e f 1,(由于三阶行列式在这里不好表达,前面写出了几次都是错位的,所以只好用语言来叙述!)这里A.B.C三点的顺序选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!这个式子还可以化为二阶行列式来求解!希望这些能给你带来好运!如果需要还可以给出更多内容!
2023-11-19 00:24:502

已知三角形3顶点坐标,求三角形面积最直接的

这是已知三角形3顶点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求三角形ABC的面积的公式公式中书写形式是二阶行列式写成一般形式如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在坐标系中中顺序为三点按逆时针排列S=1/2[(x1y2-x2y1)+(x2y3-x3y2)+(x3y1-x1y3)]已知三角形3顶点坐标,求三角形面积最直接的公式
2023-11-19 00:25:091

已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法:方法1:直接法.计算三角形一边的长,并求出

解:过点A和点C分别向x轴和y轴引垂线,两垂线交于点D.过点B向x轴引垂线,交CD于点E,∴S △ABC =S 直角梯形ADEB +S △BEC -S △ADC =(5+3)×3÷2+2×3÷2-5×5÷2= 。
2023-11-19 00:25:161

为什么已知三角形3顶点坐标,求三角形的面积?

这是已知三角形3顶点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求三角形ABC的面积的公式公式中书写形式是二阶行列式写成一般形式如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在坐标系中中顺序为三点按逆时针排列S=1/2[(x1y2-x2y1)+(x2y3-x3y2)+(x3y1-x1y3)]已知三角形3顶点坐标,求三角形面积最直接的公式
2023-11-19 00:25:331

已知三点坐标求三角形面积

简单计算一下,答案如图所示
2023-11-19 00:25:401

已知三角形的三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法:方法1:直接法.计算三角形一边的长,并求

选择方法2.过点A向y轴引垂线,过点C向x轴引垂线,两垂线相交于点D.连接OD,∴△ABC的面积=S△ACD-S△BCD-S△ABD=12×5×5-12×5×2-12×5×2=52.故选B.
2023-11-19 00:25:591

三角形的面积怎么求?

有哪些已知条件?知道底和高:S=ah/2两边一夹角:S=(absinC)/2两角一夹边:S=(c^2sinAsinB)/[2sin(A+B)]已知三条边:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=(a+b+c)/2已知三边和内接圆半径:S=pr 其中p=(a+b+c)/2已知三边和外接圆半径:S=abc/4R已知三点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则........|x1 y1 1|2S=|x2 y2 1|........|x3 y3 1|
2023-11-19 00:26:082

已知三点坐标,求围成的三角形面积的一个公式

你好!那是用行列式表示的三角形面积公式在已知三角形三个顶点坐标的情况下,用这个公式很简单注意3点要逆时针排列也可以写成一个三阶行列式里面一对竖线是行列式,外面一对竖线是绝对值加绝对值之后就不要求3点的顺序了把这个行列式按第三列展开就得到3个二阶行列式
2023-11-19 00:26:153

已知三角形三点坐标 求面积?

这里主要是用了下两点间的距离公式设a(x1,y1)、b(x2,y2),则∣ab∣=√[(x1-x2)^2(y1-y2)^2]=√(1k2)∣x1-x2∣,所以你那道题假设a(1,1)b(3,4)c(5,-2)由两点间距离公式得ab=√13bc=√40ac=5已知三角形三边a,b,c,则运用(海伦公式)(p=(abc)/2)s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)√[(abc)(ab-c)(ac-b)(bc-a)]解出即可
2023-11-19 00:26:342

空间三点坐标求三角形面积

AB=﹛1,-3,2﹜ AC=﹛2,0,-8﹜ S⊿ABC=﹙1/2﹚| AB×AC |=﹙1/2﹚|﹛24,12,6﹜|=√189≈13.75﹙面积单位﹚ 三角形ABC的边AB上的高=2√189/| AB |=2√189/√14=√54≈7.35﹙长度单位﹚
2023-11-19 00:26:551

已知三角形三点坐标 求面积?

先画出这个三角形。可知有一条边BC是平行于X轴的,过A做AD垂直BC于D。则面积=(1/2)*|BC|*|AD|=(1/2)*4*2=4
2023-11-19 00:27:311

已知三角形三顶点坐标怎样求面积

解:P在上方,M在左下,N在右下,过P作X轴的平行线L,作MA⊥L,NB⊥L(设P在A、B之间)。则A、B的坐标是A(c,b),B(e,b)所以S△PMN=S梯形AMNB-S△PAM-S△PBN=(b-d+b-f)(e-c)/2-(b-d)(a-c)/2-(b-f)(e-a)/2=(ad+be+cf-af-bc-de)/2简介面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量,面积是形成形状的模型所必需的,或者用单一涂层覆盖表面所需的涂料量。它是曲线长度(一维概念)或实体体积(三维概念)的二维模拟。
2023-11-19 00:27:403

已知三角形三个点的坐标,求三角形的面积

三角形面积公式C=s*(s-a)(s-b)(s-c)整体的算术平方根s=(a+b+c)/2用公式算就可以了
2023-11-19 00:27:491

已知顶点坐标求三角形面积的公式

在平面直角坐标系下,已知三角形的顶点坐标可以利用三阶行列式来求得三角形的面积,若三角形三顶点坐标分别为a(a,b),b(c,d),c(e,f),那么这个三角形的面积为s=1/2三阶行列式,其中这个三阶行列式的第一行为:ab1,第二行为:cd1,第三行为:ef1,(由于三阶行列式在这里不好表达,前面写出了几次都是错位的,所以只好用语言来叙述!)这里a.b.c三点的顺序选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!这个式子还可以化为二阶行列式来求解!希望这些能给你带来好运!如果需要还可以给出更多内容!
2023-11-19 00:27:582

已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法

过点A和点C分别向x轴和y轴引垂线,两垂线交于点D.过点B向x轴引垂线,交CD于点E, ∴S △ABC =S 直角梯形ADEB +S △BEC -S △ADC =(5+3)×3÷2+2×3÷2-5×5÷2=2.5. 故答案是:2.5.
2023-11-19 00:28:071

已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有三种方法:方法一:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边

解答:解:本题宜用补形法.如图,过点A作x轴的平行线,过点C作y轴的平行线,两条平行线交于点E,过点B分别作x轴、y轴的平行线,分别交EC的延长线于点D,交EA的延长线于点F,∵A(2,-1),B(4,3),C(1,2),∴EF=BD=3,CD=1,CE=3,AE=1,AF=2,BF=4,∴S△ABC=S矩形BDEF-S△BDC-S△CEA-S△BFA=BD?DE-12?DC?DB-12?CE?AE-12AF?BF,=12-1.5-1.5-4=5.(本题也可先由勾股定理的逆定理,判别出△ABC为直角三角形,再求面积).
2023-11-19 00:28:161

空间坐标系3点求三角形面积

公式不是背的,都是推导出来的x0d其实有个公式可以做空间的三点x0d海伦公式:三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)],x0d其中P=(A+B+C)/2 (A,B,C代表三角形三边长)x0d也就是说知道三角形的三个边长就可以求出其面积x0d那么已知空间的3点 那么2点之间的长度就是x0dL=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2x0d有些复杂,但肯定可以算出来
2023-11-19 00:28:301

已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(6,3)B(0,-1)C(-1,1)求三角形面积

用三阶行列式:△ABC的面积=1/2*6 3 10 -1 1-1 1 1的绝对值,把第三行的6倍加到第一行后按第一列展开得(-1/2)*9 7-1 1的绝对值=8.
2023-11-19 00:28:522

坐标上三角形面积怎么求?【已疯掉】(T_T)

已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有三种方法:方法一:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高.方法二:补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方法三:分割法.选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.
2023-11-19 00:29:061

知道3点坐标求三角形面积怎么求?

因为(4,1)和(4,4)的x坐标相同,所以把这两点的连线看成底,底的长度是3 (就是4-1)。而从这条底线所在直线到(1,5)的距离是3 (就是4-1)所以三角形的面积=3*3/2=4.5
2023-11-19 00:29:303

已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法: 方法一:直接法.计算三角形一边的长,并求出

延长点A、点B交于点D,延长点D,点C交于点E,得到了AEC一个直角三角形,ADE的面积就是AE乘以EC除以2,答案为12.5,小直角三角形ABD的面积为3,梯形DBCE的面积为(5+2)乘以2在除以2,答案为7,最后用12.5 减去3再减去7,三角形ABC的面积2.5
2023-11-19 00:29:382

知道三角形三个顶点的坐标,求三角形的面积。怎么求

一般方法是:求出向量AB=(x1,y1),AC=(x2,y2)利用数量积AB·AC=x1x2+y1y1=|AB|·|AC|cosθ求出cosθ后,得到sinθS△ABC=1/2·|AB|·|AC|sinθ
2023-11-19 00:29:483

已知三个定点坐标,求三角形面积。 A(-1,4) B(2,2) C(4,-1) 要有过程

过点A作y轴垂线,过点C作x轴垂线,两垂线延长线相交于点M,连接BM△ABC的面积=△AMC的面积-△ABM的面积-△MBC的面积=1/2*5*5-1/2*5*2-1/2*5*2=1/2(25-10-10)=5/2
2023-11-19 00:29:565

已知三个点的坐标将它们依次连线所围成的三角形的面积怎么求?有简单点的方法吗

根据三点的坐标,求出三线的长,再根据海伦公式求面积半周长p=1/2(a+b+c)面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
2023-11-19 00:30:111

求助!!已知三角形三顶点坐标求三角形面积。

画图。可知三角形的面积等于两个梯形的和减去另一个梯形的面积S三角形=1/2{(b1+b2)(a2-a1)+(b2+b3)(a3-a2)-(b1+b3)(a3-a1)}
2023-11-19 00:30:191

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