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如果同一 平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个 三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于 内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线 夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
托勒密定理
若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a
反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C"，连结DC"，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC"B=180° ，
∵∠A+∠C=180° ∴∠DC"B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
证被证共圆的点到某一定
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常用的方法是证明第四个点在其它三个点所确定的圆上。
北境漫步 -
根据四点画出一个圆
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证明：对角互补的四边形内接于圆。（能否不用反证法证明？）
你好！！！ 都是反证法呀。证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C"，连结DC"，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC"B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC"B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。希望能够帮助你！！2023-11-18 12:52:041
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提示： 已知：四边形ABCD中，∠AOC+∠B=180°， 求证：四边形ABCD内接于圆.证明：假设四边形ABCD不内接于圆，则过A、B、C三点作⊙O.（1）当D在⊙O内时，如图1，延长CD交⊙O于D′，连结AD′，则∠B+∠D′=180°.∵∠ADC＞∠D′，∴ ∠ADC+∠B＞∠B+∠D′=180°. 图1 图2 （2）当D在⊙O外时，如图2，AD交⊙O于D′，连结CD′，则∠B+∠AD′C=180°.∵ ∠D＜∠AD′C，∴ ∠B+∠D＜∠B+∠AD′C=180°.这与已知相矛盾，不成立.综上，假设不成立，所以四边形ABCD内接于圆.2023-11-18 12:52:271
圆内接四边形一定得过圆心吗？不过的对角互补吗
因为一段弧所对的园周角的度数是弧的度数的一半，而内接四边形对角所对的弧刚好是一个圆周，也就是360度，一半就是180度，所以园内接四边形的对角互补。而圆心就是四边形相邻两边中垂线的交点。对角互补一定是圆内接四边形可用反证法，四边形3点可决定一个园，另一点如在园外，或在园内那么这两对角都不会互补，所以这一点一定在此园上，所以它是内接四边形。2023-11-18 12:52:353
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质如下：1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB4、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD5、圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）扩展资料圆的性质圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。参考资料来源：百度百科—圆内接四边形2023-11-18 12:52:441
圆内接四边形的判定定理
1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆；2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆；3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆；4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆；5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆；6、相交弦定理的逆定理；7、托勒密定理的逆定理。2023-11-18 12:52:571
证明:四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形。
证明：反证法设四边形ABCD，ABC确定一个圆O，a，假设D在园O内延长AD交圆于E，连接CE∵∠B+∠ADC=180°（已知：四边形对角和为180度）∴∠B+∠E+∠ECD=180°……①（三角形的外角等于它不相邻的两个内角和）∵∠B+∠E=180°……②（圆的内角四边形内角和等于180度）∴①和②矛盾，a假设不成立！b，假设D在园O外设AD和圆的交点为F∵∠B+∠F=180°（圆的内角四边形内角和等于180度）∴∠B+∠D+∠DCF=180°……③（三角形的外角等于它不相邻的两个内角和）∵∠B+∠D=180°……④（已知：四边形对角和为180度）∴③和④矛盾，b假设不成立！结论：D只能在圆O上，即ABCD四点共圆2023-11-18 12:53:113
为什么圆的内接四边形的对角互补
设圆内接四边形ABCD，求证：∠ABC+∠ADC=180° 证明： 连接AC、BD ∵∠DAC=∠DBC，∠ACD=∠ABD（同弧所对的圆周角相等） ∴∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC ∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和180°） ∴∠ABC+∠ADC=180°2023-11-18 12:53:201
对角互补的四边形四点在一个圆上？求证明
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C"，连结DC"，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC"B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC"B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。2023-11-18 12:53:342
四边形对角互补定理是什么？
内接四边形对角互补:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内对角四个点在圆上四边形是圆的内接四边形。圆内接四边形对角互补,外角等于它的内对角【证明】首先证∠A+∠C=180如图所示，连接DO, BO. 设优角BOD为θ∵圆周角等于所对的圆心角的一半∴∠C=1/2∠BOD,同理。∠A=1/2θ∴∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。同理可证∠ABC+∠ADC=180。所以对角互补。证毕依据：①圆周角等于圆心角一半②圆周角等于360°。互补定理性质：1、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）2、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）3、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。（简述为“平行四边形的邻角互补”）2023-11-18 12:53:411
对角互补的四边形，四点共圆，我要这个方法的证明，有没有
过其中三点做圆，再用反证法证明。2023-11-18 12:53:561
对角互补的四边形四点共圆怎么证？
要证明对角互补的四边形四点共圆，我们可以使用数学的几何证明方法。假设我们有一个四边形ABCD，其中对角线AC和BD互补（即垂直且交于一点O）。我们需要证明四个顶点A、B、C和D共圆，即它们在同一个圆上。证明过程如下：Step 1: 通过点O，画一条垂直于线段AC的直线，交线段AC于点E。Step 2: 由于AC和BD互补，所以∠AOC = ∠BOD = 90度。Step 3: 由于∠AOC = 90度，所以三角形AOC是一个直角三角形，因此AO和OC垂直。Step 4: 由于OE垂直于AC，所以OE也垂直于AO。Step 5: 根据步骤3和步骤4，我们可以得出结论，AE是四边形ABCD的一个直径。Step 6: 同样地，可以通过点O，画一条垂直于线段BD的直线，交线段BD于点F，并得出结论，BF是四边形ABCD的另一个直径。Step 7: 因为AE和BF是四边形ABCD的两个直径，所以它们的交点O是该圆的圆心。Step 8: 由于四边形ABCD的对角线的交点O是圆心，所以四个顶点A、B、C和D共圆。因此，根据上述证明过程，我们可以得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆。2023-11-18 12:54:103
如何证明圆内接四边形对角互补？
首先证∠A+∠C=180。如图所示，连接DO，BO，设优角BOD为θ。∵圆周角等于所对的圆心角的一半。∴∠C=1/2∠BOD。同理，∠A=1/2θ。∴∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。同理可证∠ABC+∠ADC=180，所以对角互补。扩展资料：圆的性质：（1）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（2）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（3）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（4）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（5）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。（6）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。（7）直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。（8）圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。2023-11-18 12:55:494
圆的内接四边形对角互补的定理怎么证明？
证明圆内接四边形对角互补：一、首先证∠A+∠C=180。1、如图所示，连接DO，BO。设优角BOD为θ。2、因为圆周角等于所对的圆心角的一半。3、所以∠C=1/2∠BOD，4、同理，∠A=1/2θ。5、所以∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。6、同理可证∠ABC+∠ADC=180，所以对角互补。7、证毕二、依据：1、圆周角等于圆心角一半。2、圆周角等于360°。2023-11-18 12:56:491
如何证明圆内接四边形对角互补
首先证∠A+∠C=180如图所示，连接DO, BO。设∠BOD为360°-θ∵圆周角等于所对的圆心角的一半。∴∠C=1/2∠BOD。同理，∠A=1/2θ。∴∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。同理可证∠ABC+∠ADC=180，所以对角互补。依据：①圆周角等于圆心角一半②圆周角等于360°扩展资料：圆的性质1、一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。2、内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。3、R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。4、两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）5、圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AC与BD分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。6、如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。参考资料来源：百度百科-圆参考资料来源：百度百科-内接四边形对角互补2023-11-18 12:57:031
怎样证明圆内接四边形对角互补？
证明圆内接四边形对角互补：一、首先证∠A+∠C=180。1、如图所示，连接DO，BO。设优角BOD为θ。2、因为圆周角等于所对的圆心角的一半。3、所以∠C=1/2∠BOD，4、同理，∠A=1/2θ。5、所以∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。6、同理可证∠ABC+∠ADC=180，所以对角互补。7、证毕二、依据：1、圆周角等于圆心角一半。2、圆周角等于360°。2023-11-18 12:57:161
圆内四边形对角互补的证明材料
设圆内接四边形ABCD，证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°证明：连接BO并延长，交⊙O于E。连接AE、CE。则BE为⊙O的直径∴∠BAE=∠BCE=90°∴∠BAE+∠BCE=180°∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等）∴∠BAE+∠DAE+∠BCE-∠DCE=180°即∠BAD+∠BCD=180°∴∠A+∠C=180°∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形内角和360°）∴∠B+∠D=180°2023-11-18 12:57:292
怎样证明圆内接四边形的对角互补
方法一：直径对应的圆周角为直角四边形顶点ABCD,圆心O 连接AO延长交圆周于C",连接BC",DC" AC"是直径,∠ABC"=∠ADC"=90 ∠BAD+∠BC"D=180 ∠BC"D=∠BCD （对应相同的圆弧） ∠BAD+∠BCD=180 互补同理可以证明另两个角 证法二：利用圆心角=圆周角*2 以弧BAD对应的圆心角为∠BOD ∠BCD=1/2*∠BOD ∠BAD=1/2*(360-∠BOD) ∠BAD+∠BCD=180 互补同理2023-11-18 12:57:501
如何证明圆内接四边形的对角互补？
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怎样证明圆内接四边形的对角互补的逆定理
连接内接四边形的对角线，则把圆截成一个优弧和劣弧，对角和即优劣弧所对圆周角之和，即=1/2优弧+1/2劣弧=1/2（优弧+劣弧）=1/2*360=180。逆定理：如果一个四边形对角互补，则它一定有外接圆。证明：1.连接四边形的一个对角线,把四边形ABCD看成一个点和一个三角形.2.一个三角形必有一个外接圆,即证另一个点也在圆上.3.设三角形为ABC的外接圆圆心为O,D为另一点.反证法<ABC+<ADC=180(已知)假设D不在圆上,则<ADC+<ABC不=1/2弧ABC+1/2弧ABC的对弧不=1/2*360不=180与已知矛盾所以假设不成立所以D在圆上,即ABCD四点都在圆上即证.2023-11-18 12:58:381
证明：对角互补的四边形内接于圆 怎么证明?
设其中一个角为∠1,它的对角为∠2. 已知∠1+∠2=180°求证:∠1.∠2所在的四边形内接于圆. 因为∠1+∠2=180° 所以∠1所对的弧+∠2所对的弧=2*(∠1+∠2)=360° 所以∠1+∠2所在的四边形内接于圆2023-11-18 12:58:451
如何证明圆内接四边形
方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．2023-11-18 12:58:543
已知四边形对角互补,怎样证明它是圆的内接四边形?
假设这ABCD四点不共圆,则其中有三点ABC必有外接圆O,则点D不在圆O上,有二种情况: 点D在圆内或点D在圆外,下面要否定这两种情况, 若点D在圆O内,(图自己画)延长AD交圆O于E,则ABCE四点共圆,得∠ABC+∠AEC=180 ∵∠ADC＞AEC∴∠ABC+∠ADC＞180.这与已知对角互补矛盾. 同理可证点D在圆外也与已知矛盾, 所以假设错误,原命题正确2023-11-18 12:59:011
内接四边形对角互补怎样证明？
首先证∠A+∠C=180如图所示，连接DO, BO。设∠BOD为360°-θ∵圆周角等于所对的圆心角的一半。∴∠C=1/2∠BOD。同理，∠A=1/2θ。∴∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。同理可证∠ABC+∠ADC=180，所以对角互补。依据：①圆周角等于圆心角一半②圆周角等于360°扩展资料：圆的性质1、一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。2、内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。3、R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。4、两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）5、圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AC与BD分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。6、如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。参考资料来源：百度百科-圆参考资料来源：百度百科-内接四边形对角互补2023-11-18 12:59:071
如题，怎样证明对角互补?
证明圆内接四边形对角互补：一、首先证∠A+∠C=180。1、如图所示，连接DO，BO。设优角BOD为θ。2、因为圆周角等于所对的圆心角的一半。3、所以∠C=1/2∠BOD，4、同理，∠A=1/2θ。5、所以∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。6、同理可证∠ABC+∠ADC=180，所以对角互补。7、证毕二、依据：1、圆周角等于圆心角一半。2、圆周角等于360°。2023-11-18 12:59:191