1+1/2+1/3+1/4+.+1/n的求和公式是什么?

1+[(1+1)*(n-1)/2]/[(2+n)*(n-1)/2]

1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数： ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ... Euler(欧拉)在1734年，利用牛顿的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。 结果是： 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(...

1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/n的和 尤拉常数(Euler-Mascheroni constant) 尤拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数.它的定义是调和级数与自然对数的差值. 学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的, 证明如下： 由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在,调和级数发散. 但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1) 将ln(1+1/n)展开,取其前两项,由于舍弃的项之和大于0,故 ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0 即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0,所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在. 于是设这个数为γ,这个数就叫作尤拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,尤拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做： lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2 1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+…+1/n（n+1）=？ 解：原式=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/n-1/[n+1] =1-1/[1+n] =n/[n+1] 分析：1/1*2=1-1/2 1/2*3=1/2-1/3 从而得解 1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+…+1/39×40=？ 39/40，就是1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+…+1/n(n+1) 可以化为1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…1/n-1/(n+1) 1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+^+1/199*200=? 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(199*200) =( 1- 1/2) +(1/2-1/3)+...+(1/199-1/200) =1- 1/200 =199/200 1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+……+1/2009×2010 裂项法： 1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+……+1/2009×2010 =1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/2009-1/2010 =1-1/2010 =2009/2010 1/2×2+1/4×3+1/6×4+1/8×5+…1/18×10=? 1/2×2+1/4×3+1/6×4+1/8×5+…1/18×10 = 1/(2*1)*2+1/(2*2)*3+1/(2*3)*4+……1/(2*9)*10 = 1/2(1/1*2+1/2*3+1/3*4+……+1/9*10) = 1/2(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/9-1/10) = 1/2(1/1-1/10) = 9/20 1/1*3+1/2*4+1/3*5+……+1/n(n+2) 1/n(n+2)=(1/2)[1/n-1/(n+2)] 1 1/1*3+1/2*4+1/3*5+……+1/n(n+2) =(1/2)[1-(1/3)+(1/2)-(1/4)+(1/3)-(1/5)+……+1/n-1/(n+2)] =(1/2)[(3/2)-3/(n+1)(n+2)] 2 (1/2)[(3/2)-3/(n+1)(n+2)] =(3/4)-3/(n+1)(n+2)<3/4 1/1×2+1/3×4+1/4×5+……+1/2008×2009 1/1×3+1/3×5+……1/2007×2009 1-2+3-4+5-6……+2007-2008 =(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/2008-1/2009) =1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2008-1/2009 中间正负抵消 =1-1/2009 =2008/2009 1/1×3+1/3×5+1/5×7 +……+1/2007×2009 =（1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/2007-1/2009）/2 =（1-1/2009）/2 =1004/2009 1-2+3-4+5-6+……+2007-2008 =[1-2]+[3-4]+[5-6]+[7-8]+....+[2007-2008] =[-1]+[-1]+....+[-1] =-1*1004 =-1004 1/3+1/4+1/5+…+1/n=? 百度上有类似的题目 1/3+1/4+1/5+…+1/n=1+1/2+1/3+...+1/n-1-1/2= ln(n) + r-1-1/2 r的值，约为0.577218,称为尤拉常数 所以最终等于ln(n) -0.942782 1／1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+……1/39×40 （1- 1/2) + (1/2 -1/3) +(1/3 -1/4)……(1/39- 1/40)= 1- 1/40 =39/40

等式左边=（1/2）*（1+1/2+1/3+1/4……+1/n）其中数列（1+1/2+1/3+1/4……+1/n）是自然数的倒数组成的数列,称为调和数列它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式当n→∞时 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n 这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 补充：用高中知识可以证明 1/2≥1/2 1/3＋1/4＞1/2 1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 …… 1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 必然能够找到k，使得 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞

当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数假设s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n当 n很大时 sqrt(n+1)= sqrt(n*(1+1/n))= sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n))= sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n))设 s(n)=sqrt(n),因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))所以：s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n))即求得s(n)的上限1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用。扩展资料：分数加减法1、同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，能约分的要约分。2、异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后能约分的要约分。乘除法1、分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后能约分的要约分。2、分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后能约分的要约分。3、分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后能约分的要约分。4、分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后能约分的要约分。5、分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后能约分的要约分。

1+1／2+1／3+……+1/n等于（n+1）n/2。具体回答如下：1+2+3+4+5......+n=（n+1）+（2+n-1）+（3+n-2）+……（n/2+n/2+1）【首尾相加】=（n+1）n/2等差数列基本性质：1、在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。2、记等差数列的前n项和为S。若a >0，公差d<0，则当a ≥0且an +1≤0时，S 最大；若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小。3、若等差数列Sp=q，Sq=p，则Sp+q=-p-q，并且有ap=q，aq=p则ap+q=0。

当n很大时，有：1+1/2+1/3+...1/n=0.577+ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)0.577叫做欧拉常数toGXQ:假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n当n很大时sqrt(n+1)=sqrt(n*(1+1/n))=sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)≈sqrt(n)*(1+1/(2n))=sqrt(n)+1/(2*sqrt(n))设s(n)=sqrt(n),因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))所以：s(n+1)=s(n)+1/(n+1)<s(n)+1/(2*sqrt(n))即求得s(n)的上限

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n这个数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个近似的求解方法：1+1/2+1/3+......+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n=0.57721566490153286060651209+ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数toGXQ:假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n当n很大时sqrt(n+1)=sqrt(n*(1+1/n))=sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)≈sqrt(n)*(1+1/(2n))=sqrt(n)+1/(2*sqrt(n))设s(n)=sqrt(n),因为：1/(n+1)1/(2*sqrt(n))所以：s(n+1)=s(n)+1/(n+1)s(n)+1/(2*sqrt(n))即求得s(n)的上限1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，(C为欧拉常数)Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)扩展资料：欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。参考资料：百度百科-欧拉常数

授人以渔不如教人以鱼，解这样的题关键还是要有思路，不能向上面的人只给答案，将来你还是会遇到问题。思路如下：定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列. 　　定义2：若数列{an}满足1/a（n+1）-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}调和数列 　　人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 　　1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数) 　　人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 　　但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式. 　　当n→∞时 　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n 　　这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ 　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 　　用高中知识也是可以证明的，如下： 　　1/2≥1/2 　　1/3＋1/4＞1/2 　　1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 　　…… 　　1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 　　对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 　　必然能够找到k，使得 　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 　　所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞请尊重彼此，及时采纳答案！目不识丁丁在这里祝你学习进步！！！如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。祝学习进步

它叫做调和级数，没有求和的公式，当n很大时有一个渐近表达式。 n项求和：∑(1 / k) -> ln(n) + c 其中ln(n)是n的自然对数，也就是以e为底的对数（e≈2.71828182846）；c是欧拉常数（约为0.577215665）。 调和级数的内容已经是高等数学的范畴了，高中阶段知道它没有公式，并且n无限增大时级数和也趋于无穷大就可以了。 可以参看百度百科“欧拉常数”一条，讲得还算详细： http://baike.baidu.com/lemma-php/dispose/view.php/296190.htm

#include<stdio.h>void main(){ int s=0,n;printf("请输入n的值");scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) s+=1/i;printf("1/2+1/3+1/4+...+1/n的结果是%d ",s);}

从自然数2开始起的倒数之和 .不能找到用n表示的求和表达式，当n趋近于无穷大时，其和趋近于无穷大，此级数和是发散的，不能收敛！

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n等于无穷大。当n=1时，之和为1；当n=100时，它们之和等于5.18;当n=10000时，它们之和为9.78；当n=1000000时，它们之和14.39；当n=100000000时它们之和18.991+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n是发散数列，无定值用反证法如果它有最大值m，设比m大的最小的自然数是k，则数列{1/n}的第一项是1，第二项不小于1/2，第三项直到第4项均不小于1/4，共有两项，这些项的和大于2*1/4=1/2缉粻光救叱嚼癸楔含盲，第五项直到第8项均不小于1/8，共有四项，这些项的和大于4*1/8=1/2，...第2^(2*k)+1项直到第2^(2*(k+1))项均不小于1/2^(2*(k+1))，共有2^(2*k+1)项，这些项的和大于1/2，不往下了，这几组的值加在一起就已经有1+(2*k-1)/2=(2*k+1)/2>k了。所以k不存在，即此求和式没有定值。楼主的问题中少了一项：1，不过结果也一样。

定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列. 　　定义2：若数列{an}满足1/a（n+1）-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}调和数列 　　人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 　　1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数) 　　人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 　　但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式. 　　当n→∞时 　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n 　　这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ 　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 　　用高中知识也是可以证明的，如下： 　　1/2≥1/2 　　1/3＋1/4＞1/2 　　1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 　　…… 　　1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 　　对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 　　必然能够找到k，使得 　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 　　所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n 这个数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个近似的求解方法： 1+1/2+1/3+......+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 to GXQ: 假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n 当 n很大时 sqrt(n+1) = sqrt(n*(1+1/n)) = sqrt(n)*sqrt(1+1/2n) ≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n)) = sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n)) 设 s(n)=sqrt(n), 因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n)) 所以： s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n)) 即求得s(n)的上限 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

1/2+1/4+1/6+...+1/(2n)=(1/2)(1+1/2+1/3+1/4+...+1/n)要求原数列的和,即求1+1/2+1/3+...+1/n的和而1+1/2+1/3+...+1/n属于调和数列,它的前n项和公式不存在,所以原数列的前n项和公式也不存在～1/1+1/2+1/3+1/4+……+1...

1+1/2+1/3+.........+1/n，调和数列1/n前n项的和，调和数列的级数，称调和级数，其是一个发散级数。这个数列前n项和目前还没有找到用初等运算S(n)表示的公式。当n很大时有近似公式，lnn+CC是欧拉常数，约是0.5772。所以n很大时可用近似公式lnn+C求1+1/2+1/3+……+1/n的值。

求不了，这个是发散的。没有极限，就是说可以加到正无穷，没办法表示 最佳答案它是实数，所以它不是有理数就是无理数，而上两层的人说“谈不上到底是无理数还是有理数”的说法显然是错误的。而根据种种依据可判断它是无理数。 具体证明过程如下： 首先我们可以知道实数包括有理数和无理数。而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。 其实无穷个有理数相加未必就是有理数，而有可能等于无理数。我可以举个很简单的例子。 圆周率pi=3.1415926...是个无理数大家都知道吧，我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...的形式，等号右侧的每一项都是有理数，那么我们能说pi是有理数吗？当然不能。所以无穷个有理数相加可能是无理数。 那么为什么我说1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是无理数而不是有理数呢？我再从一种角度给你证明。 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是一个无穷小数你承认吧，不然我们讨论有理数还是无理数就没什么意义了。无限循环小数都有循环节，所以无限循环小数都可以根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。 而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。 这是有名的调和级数，应该是高数中的东西，这题目用n!无济于事的 当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数 当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n) γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209... ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数，e=2.71828...）

这是调和级数，除了逐项相加外，只有近似的求和公式为：Sn~ln(n)+c, c为欧拉常数0.577...

1楼错了。e=1+1+1/2!1/3!+...+1/n!跟题目不一样的。1+1/2+1/3+1/4+...+1/n是没有极限的。最后会=无穷大。在高等数学里有证明。要我给出证明吗？？？？？？？？我证明下1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=无穷大。S1=1S2=1+1/2S4=（1+1/2）+（1/3+1/4）>(1+1/2)+1/2=1+2/2S8=(1+1/2+(1/3+1/4))+(1/5+...+1/8)>(1+1/2+1/2)+1/2=1+3/2.....由数学归纳法可以知道：S(2^k)>=1+k/2,k=0,1,2....而k增大到无穷大时，lim(1+k/2)=无穷大。所以lim(1+1/2+1/3+1/4+...+1/n)=无穷大

给的式子每一项减1化成-(1+1/2+1/3+1/4+.....1/N)+N+1(加上1再减去1)前面的数列是个调和数列1+1/2+1/3+……+1/n=lnn（ln是自然对数）所以1/2+2/3+3/4+......+n-1/n=lnn+n+1

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数。调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式, 只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量) 欧拉近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.

an=1/n这个级数是发散的，也就是和的极限不存在我想它的前n项和只有一个个得算吧我也想知道它的求和公式 有人说是这个，logn+0.5772175后面有个趋于0的余项看看这个或许可以进一步了解：参考资料：http://baike.baidu.com/view/296190.htm调和级数求和公式：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=(㏑n)+γ.这个公式本身是在n 趋近去无穷的时候推导出来的你用这个公式计算一个有限常数n的前n项和，本身就有误差而且n越小误差越大当n=1时，ln1+γ=0+γ=0.577... 误差=1-0.577...=0.422...当n=2时，ln2+γ=0.693...+0.577...=1.270.... 误差=1+1/2-1.270....=0.230....只能说n很大的时候，误差越小，可满足一定的精确度要求所以n比较小的时候还是一个个算吧。目前好像还没有人能把它在n为有限常数时的公式推导出来，如果有，此人必定不凡！

最后得到的是好像是和e有关的一个数字，最后得到的应该In n，这是一个近视的公式，而不是准确的，这个是欧拉公式的其中一个，调和级数里面的，你可以仔细看看。

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n 这个数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个近似的求解方法： 1+1/2+1/3+......+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 to GXQ: 假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n 当 n很大时 sqrt(n+1) = sqrt(n*(1+1/n)) = sqrt(n)*sqrt(1+1/2n) ≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n)) = sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n)) 设 s(n)=sqrt(n), 因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n)) 所以： s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n)) 即求得s(n)的上限 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

当n很大时,有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n),pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 to GXQ: 假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n 当n很大时 sqrt(n+1) = sqrt(n*(1+1/n)) = sqrt(n)*sqrt(1+1/2n) ≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n)) = sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n)) 设s(n)=sqrt(n), 因为：1/(n+1)

解：用裂项相消法解答。依题意，1/1x2=1/1-1/21/2x3=1/2-1/3……1/39x40=1/39-1/40∴1/1×2＋1/2×3＋1/3×4...＋1/39×40=1-（1/2+1/2-1/3+1/3-1/4……+1/39）-1/40=1-1/40=39/40希望能帮助你。如有疑问欢迎追问。

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n这个数组是发散的,所以没有求和公式,只有一个近似的求解方法：1+1/2+1/3+.+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大...

硬要说有的话的也有，就是当n不是无穷大时，就按照小学的方法一步一步做，最后得出那个极其麻烦的表达式：将分母写为n！，然后分子相应修改，然后相加。如果你认为上面这个算法可行的话，也可以算是的公式吧。其实这个式子是个不收敛的级数，并且没有你想要那种的公式。有定理，设pow（x,p)=x的p次方。设p－级数为1＋1/pow(2,p)+1/pow(3,p)+....+1/pow(n,p)+....当p>1时级数收敛，有（你想要的）公式可求，当p<=1时级数发散，没有所谓的那种公式。

这个叫调和级数，是一个发散的级数如果n趋向于无穷的话，结果等于无穷大n也无法通分没有求和公式没有通项公式，有近似公式1+1/2+1/3+……+1/n=lnnln是自然对数，当n趋于无穷时，1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n+1)+r(r为常量)r=0.5772157如：S=1+1/2+1/3+...+1/n:　　S>0n=1　　S>1n=2　　S>2n=4　　S>3n=11　　S>4n=31　　S>5n=83　　S>6n=227　　S>7n=616　　S>8n=1674　　S>9n=4550　　S>10n=12367　　S>11n=33617　　S>12n=91380　　S>13n=248397　　S>14n=675214　　S>15n=1835421……http://baike.baidu.com/view/1179291.htm

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数,一个无理数,专为调和级数所用) 此题将n=99代入,得到 原数列的和≈5.17

于是调和级数的前n项部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在，调和级数发散。 但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0 所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。 于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做： lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

等式左边=（1/2）*（1+1/2+1/3+1/4……+1/n）其中数列（1+1/2+1/3+1/4……+1/n）是自然数的倒数组成的数列,称为调和数列它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式当n→∞时 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n 这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 补充：用高中知识可以证明 1/2≥1/2 1/3＋1/4＞1/2 1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 …… 1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 必然能够找到k，使得 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞

利用“欧拉公式”（可以查阅相关书籍）：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，C为欧拉常数 数值是0.5772……。 则1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+C=8.1821（约） 就不出具体数字的，如果n=100 那还可以求的 。然而这个n趋近于无穷 ，所以算不出的。它是实数，所以它不是有理数就是无理数，而上两层的人说“谈不上到底是无理数还是有理数”的说法显然是错误的。而根据种种依据可判断它是无理数。 具体证明过程如下： 首先我们可以知道实数包括有理数和无理数。而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。 其实无穷个有理数相加未必就是有理数，而有可能等于无理数。我可以举个很简单的例子。 圆周率pi=3.1415926...是个无理数大家都知道吧，我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...的形式，等号右侧的每一项都是有理数，那么我们能说pi是有理数吗？当然不能。所以无穷个有理数相加可能是无理数。 那么为什么我说1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是无理数而不是有理数呢？我再从一种角度给你证明。 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是一个无穷小数你承认吧，不然我们讨论有理数还是无理数就没什么意义了。无限循环小数都有循环节，所以无限循环小数都可以根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。 而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。 这是有名的调和级数，应该是高数中的东西，这题目用n!无济于事的 当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数 当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n) γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209... ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数，e=2.71828...）

利用“欧拉公式：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C,C为欧拉常数数值是0.5772……则1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+C=8.1821（约） 就不出具体数字的，如果n=100 那还可以求的 。然而这个n趋近于无穷 ，所以算不出的。它是实数，所以它不是有理数就是无理数，而上两层的人说“谈不上到底是无理数还是有理数”的说法显然是错误的。而根据种种依据可判断它是无理数。具体证明过程如下：首先我们可以知道实数包括有理数和无理数，而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。这是有名的调和级数,是高数中的东西。这题目用n!当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数 当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n) γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209...ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数,e=2.71828...） 由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在，调和级数发散。但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n=0.57721566490153286060651209+ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数toGXQ:假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n当n很大时sqrt(n+1)=sqrt(n*(1+1/n))=sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)≈sqrt(n)*(1+1/(2n))=sqrt(n)+1/(2*sqrt(n))设s(n)=sqrt(n),因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))所以：s(n+1)=s(n)+1/(n+1)<s(n)+1/(2*sqrt(n))即求得s(n)的上限1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.

这道题没有好的算法。目前1/n求和的数值是数学家研究的热门问题之一。1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉常数,专为调和级数所用)人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.大量的计算都是由计算机完成。人目前没有非常好的算法来计算。但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.

请问1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n怎么求和？ 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 to GXQ: 假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n 当 n很大时 sqrt(n+1) = sqrt(n*(1+1/n)) = sqrt(n)*sqrt(1+1/2n) ≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n)) = sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n)) 设 s(n)=sqrt(n), 因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n)) 所以： s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n)) 即求得s(n)的上限 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式. 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/N 它是实数，所以它不是有理数就是无理数，而上两层的人说“谈不上到底是无理数还是有理数”的说法显然是错误的。而根据种种依据可判断它是无理数。 具体证明过程如下： 首先我们可以知道实数包括有理数和无理数。而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。 其实无穷个有理数相加未必就是有理数，而有可能等于无理数。我可以举个很简单的例子。 圆周率pi=3.1415926...是个无理数大家都知道吧，我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...的形式，等号右侧的每一项都是有理数，那么我们能说pi是有理数吗？当然不能。所以无穷个有理数相加可能是无理数。 那么为什么我说1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是无理数而不是有理数呢？我再从一种角度给你证明。 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是一个无穷小数你承认吧，不然我们讨论有理数还是无理数就没什么意义了。无限循环小数都有循环节，所以无限循环小数都可以根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。 而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。 这是有名的调和级数，应该是高数中的东西，这题目用n!无济于事的 当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数 当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n) γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209... ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数，e=2.71828...） 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n= ≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 亲 记得采纳哦 O(∩_∩)O谢谢 (1+1/2+1/3+1/4)x(1/2+1/3+1/4+1/45)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)x(1/2+1/3+1/4)怎么做 令1+1/2+1/3+1/4=a 原式=a(a+1/5)-(a+1/5)(a-1) =a^2+(1/5)a-(a^2-4/5a-1/5) =a+1/5 将a代入 =1+1/2+1/3+1/4+1/5 Sn=1/1*3+1/2*4+1/3*5+...+1/n(n+2),求和 1/n(n+2)=1/2[1/n-1/(n+2)] 所以1/1*3+1/2*4+1/3*5+.....+1/n(n+2) =1/2[1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n-1/(n+2) =1/2[1+1/2-1/(n-1)-1/(n-2)] =3/8-1/2(n-1)-1/2(n-2) (1+1/2+1/3+1/4)*(1/2+111/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)*(1/2+1/3+1/4)=简便方 1/2+1/3+1/4=t 原式=（1+t)(1/5+t)-(1+1/5+t)t =1/5+6t/5+t^2-6t/5-t^2 =1/5 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/100等于多少？ 这个没有公式可以计算，只能一步一步的计算 1+1/2+1/3+1/4+1/5+..........+1/n 1/3+1/4>1/4+1/4=1/2 1/5+1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8=4*(1/8)=1/2 1/9+1/10+……+1/16>1/16+1/16+……+1/16=8*(1/16)=1/2 …… 1/[(2^n)+1]+1/[(2^n)+2]+……+1/2^(n+1)>2^n*[1/2^(n+1)]=1/2 …… 所以1+1/2+1/3+1/4+.........+1/∞>1+1/2+1/2+1/2+……+1/2+…… 有无穷多个1/2相加，所有1+1/2+1/2+1/2+……+1/2+……是无穷大 所以1+1/2+1/3+1/4+.........+1/∞是无穷大 (1+1/2+1/3+1/4)x(1/2+1/3+1/4+1/5)一(1+1/2+1/3+1/4+1 (1+1/2+1/3+1/4)(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)(1/2+1/3+1/4) =(1+1/2+1/3+1/4)(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4)(1/2+1/3+1/4)-1/5(1/2+1/3+1/4) =(1+1/2+1/3+1/4)(1/2+1/3+1/4+1/5-1/2-1/3-1/4)-1/5(1/2+1/3+1/4) =(1+1/2+1/3+1/4)(1/5)-1/5(1/2+1/3+1/4) =1/5*(1+1/2+1/3+1/4-1/2-1/3-1/4) =1/5 望采纳O(∩_∩)O~ 1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/99=？ 1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/99 =0.843434343434

S(n)=1/1+1/2+1/3+...+1/n首先要指出,这个数列是没有极限的.也就是说,这个级数是发散的,而不是收敛的.下面证明S(n)可以达到无穷大:1/1=11/2=1/2>=1/21/3+1/4>=1/4+1/4>=1/2.1/5+1/6+1/7+1/8>=(1/8)*4>=1/2.......所以:(2^n就是2的n次方)S(2^n)>=(1/2)*n+1.所以S(n)没有极限!关于S(n)的求和公式,则至今也没有找到

1/2=1/1-1/2,1/3=1/2-1/3,同理,1/4=1/3-1/4......1/N=1/(N-1)-1/N所以,原式=1+1/1-1/2+1/2-1/3+1/3......+1/(N-1)-1/N=(2-1/N)信我,没错!!!!!!

S(n)=1/1+1/2+1/3+...+1/n 首先要指出,这个数列是没有极限的.也就是说,这个级数是发散的,而不是收敛的. 下面证明S(n)可以达到无穷大: 1/1 = 1 1/2 = 1/2 >= 1/2 1/3+1/4 >= 1/4+1/4 >=1/2. 1/5+1/6+1/7+1/8 >= (1/8)*4 >=1/2. ...... 所以: (2^n就是2的n次方) S(2^n)>=(1/2)*n+1. 所以S(n)没有极限! 关于S(n)的求和公式,则至今也没有找到

S(n)=1/1+1/2+1/3+...+1/n 首先要指出,这个数列是没有极限的.也就是说,这个级数是发散的,而不是收敛的. 下面证明S(n)可以达到无穷大: 1/1 = 1 1/2 = 1/2 >= 1/2 1/3+1/4 >= 1/4+1/4 >=1/2. 1/5+1/6+1/7+1/8 >= (1/8)*4 >=1/2. ...... 所以: (2^n就是2的n次方) S(2^n)>=(1/2)*n+1. 所以S(n)没有极限! 关于S(n)的求和公式,则至今也没有找到

于是调和级数的前n项部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在,调和级数发散. 但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0 所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在. 于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做： lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+......+1/100≈ln100+C（C=0.57722......）。这是1/n求和，没有公式计算的。自然数的倒数组成的数列，称为调和数列。人们已经研究它几百年了。但是迄2019年为止没有能得到它的求和公式，只是得到它的近似公式(当n很大时)：1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数，称作欧拉初始，专为调和级数所用)。扩展资料分数加减法1、同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，能约分的要约分。2、异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后能约分的要约分。乘除法1、分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后能约分的要约分。2、分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后能约分的要约分。3、分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后能约分的要约分。4、分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后能约分的要约分。5、分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后能约分的要约分。

随后很长一段时间，人们无法使用公式去逼近调和级数，直到无穷级数理论逐步成熟。1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：相关书籍相关书籍1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：该式子为调和级数ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - .........1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加，就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......后面那一串和都是收敛的，我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + rEuler近似地计算了r的值，约为0.5772156649。这个数字就是后来称作的欧拉常数。不过遗憾的是，我们对这个常量还知之甚少，连这个数是有理数还是无理数都还是个谜。

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数： ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ... Euler(欧拉)在1734年，利用牛顿的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。 结果是： 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量) 他的证明是这样的： 根据牛顿的幂级数有： ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ... 于是： 1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ... 代入x=1,2,...,n，就给出： 1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ... 1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ... ...... 1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ... 相加，就得到： 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...... 后面那一串和都是收敛的，我们可以定义 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r Euler近似地计算了r的值，约为0.577218。 这个数字就是后来称作的欧拉常数。

于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在，调和级数发散。但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2