排列组合

解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。

以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。

下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。

一、特殊优先，一般在后

对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？

解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31种；第二类，不含0，有A21·A32种。

故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。

注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。

解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A42种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A21A31A31种。

故共有A42+A21A31A31=30。

练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）。

答案：36

二、排组混合，先选后排

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？

解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有C42A43=144种放法。

练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？

答案：有C43C32A55=1440（个）

三、元素相邻，整体处理

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。

例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？

解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有A66·A33种。

练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？

答案：A44·24=384

四、元素间隔，分位插入

对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。

例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？

解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。

注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。

练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？

答案：2A44·A44

例5 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有C53种。

练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？

答案：C83。

五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插

对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。

例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

解法一：先5人全排有A55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排A22种，所以有A55/A22=60种。

解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种，再排列其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。

解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60种。

练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？

答案：A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种

六、“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？

解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。

练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？

答案：A22·A44

七、不同元素进盒，先分堆再排列

对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。

例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？

解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种，再排列到3个班里有A33种，故共有(C53+C51C42C22/A22)·A33。

注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。

练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：

①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；

②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；

③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；

④平均分成三组进行排球训练。

答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63C32C11·A33；④C62C42C22/A33。

八、相同元素进盒，用档板分隔

例9 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？

解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。

注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。

练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？

答案：C119

九、两类元素的排列，用组合选位法

例10 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？

解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有C73种跨法。

注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。

练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？

答案：C52

例11 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？

解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有C74或C73种走法。

例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？

解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有C144种选法。

练习11 (a+b+c+d)10的展开式有几项？

提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C133项。

注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。

十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔

例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？

解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有C112种。

十一、多类元素组合，分类取出。

例14 车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？

解：不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工，从AB中调1人作车工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车工。故共有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185种不同调法。

注：本题也可按钳工分类。若按A、B分类，会使问题变得复杂

15名同学中选5名，某两人必须入选，有几种选发

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