数学分析（三） 关于x连续,关于y满足Lipschitz条件

在数学中，特别是实分析，lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity），以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。注意：Lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）。其定义为：对于函数f(x),若其任意定义域中的x1,x2，都存在L>0，使得|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|。 大白话就是：存在一个实数L，使得对于函数 f（x）上的每对点，连接它们的线的斜率的绝对值不大于这个实数L。最小的L称为该函数的Lipschitz常数。Lipschitz连续条件（Lipschitz continuity）是一个比一致连续更强的光滑性条件。直观上，Lipschitz连续函数限制了函数改变的速度。符合Lipschitz条件的函数，其斜率必小于一个称为Lipschitz常数的实数。

拉格朗日定理,f"(b)-f"(a)=f""(x0)(b-a),(x0是[a,b]内的值), 所以|f"(b)-f"(a)|=|f""(x0)|*|(b-a)|<(max|f""(x)|)*|b-a|, （因为是闭区间,若f"(x)连续则最大值存在,相应的绝对值的最大值也存在） 因此f"(x)的李普希兹(Lipschitz)常数是|f"(x)|在[a,b]内的最大值,也就是f"(x)上下限中绝对值最大的那个

对函数 y=f（x）定义域为D,如果 存在 L ∈R ,对任意 x1,x2 ∈D,有：|f(x1)-f(x2)|< L|x1-x2|称 L 为 f(x) 在D上的Lipschitz常数.如果 y=f（x）在定义域D 上可导,L就可以取 f"(x) 的一个上界：|f(x1)-f(x2)|=|f"(ξ)(...

利普希茨连续条件，是一个比通常连续更强的光滑性条件。利普希茨条件（Lipschitz condition）是1993年公布的数学名词。在数学中，特别是实分析，lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity），以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。利普希茨连续：可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥（绿色）其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这个圆锥内。对于在实数集的子集的函数，若存在常数K，使得，则称f符合利普希茨条件，对于f最小的常数K称为f的利普希茨常数。

我们主要研究一阶规范形式的微分方程组 其中 是 的已知函数. 这并不失一般性，因为在第一章我们已指出任何高阶规范形式的微分方程或微分方程组均可化为形如（5.1）的一阶规范形式的微分方程组. 令 则微分方程组（5.1）可写成如下形式： 当 时，这就是一个一阶微分方程. 本章中我们往往只对 的情况叙述和证明有关定理. 对一般情况，定理的陈述和证明完全时类似的. 在本节我们考虑微分方程 积相应的初值问题： 其中 在矩形区域 上连续，称 在 上关于 满足 Lipschitz条件 ，如果存在常数 ，使得对任意的 及 ，不等式 都成立， 称为 Lipschitz 常数. 我们有如下的 Picard 存在唯一性定理： 若 在 上连续且关于 满足 Lipschitz条件,Lipschitz常数为 ，则初值问题（5.4）在区间 上的解存在且唯一. 其中 我们用 Picard 逐次逼近法证明这个定理，为了简单起见，只就区间 来讨论，区间 的讨论完全类似. 证明分五步完成. 初值问题（5.4）等价于如下的积分方程： 构造 Picard 迭代序列 ，其中 ，且 这里 . 我们用数学归纳法证明对所有的 ，函数 在区间 上有定义、连续且满足不等式 事实上，当 时上述结论显然成立. 假设当 时这一命题成立. 那么当 时，由于 ，故 在区间 上有定义且连续. 从而 按（5.6）定义方式在区间 上有意义且连续. 并且 故当 时，命题也成立. 函数序列 在区间 上一致收敛. 为证明这一点，只需证明级数 在区间 上一致收敛，因为它的前 项之和为 . 类似第三章的存在唯一性定理，用数学归纳法容易证明在区间 上成立不等式 由此，当 时有 用比值判别法容易知道，数值级数 收敛，因此所论函数项级数在区间 上一致收敛. 从而函数序列 在区间 上一致收敛. 设 , 则 在区间 上有定义，连续且满足不等式 证明 是积分方程（5.5）的解. 由 Lipschitz 条件得 再由连续函数序列 在区间 上一致收敛于连续函数 的事实，只连续函数序列 在区间 上一致收敛与连续函数 . 由此得 即 因此 是积分方程（5.5）的连续解，从而也是初值问题（5，4）在区间 上的连续解. 证明初值问题（5.4）在区间 上的解唯一. 设 和 均为初值问题（5.4）在区间 上的解，则 和 在区间 上分别满足积分方程 两式相减并由 Lipschitz 条件得 令 表示不等式（5.7）右端的积分，即 则 在 上连续可微， ，并满足不等式 或等价地, 故函数 在 上单调下降，因此， , 从而在 上 上， ，即 综合以上五步，我们就完成了对 Picard 存在唯一性的证明. 在实际应用重，Lipschitz 条件往往难以检验. 这是我们常常用 在 上存在且连续代替. 因为若 在 上存在连续，则必有解，不妨设 , 由 Lagrange 中值定理，对任意的 及 ，均存在介于 及 之间的数 ，使得 因此不难看出 关于 满足 Lipschitz 条件. 不难看出对一阶线性方程 只要 和 在某区间 上连续， Picard 存在唯一性定理的条件就能满足. 并且这时由初值条件 确定的解在整个区间 上都有定义.这是因为方程（5.8）右端的函数对 没有任何限制，证明中构造的 Picard 迭代序列在整个区间 上都有定义且一致连续. Picard 定理不但肯定了解的存在唯一性，而且证明定理过程中构造的 Picard 迭代序列实际上给出了一种求初值问题（5.4）的近似解的方法，因而有一定实用价值. 设 是初值问题（5.4）在区间 上的连续解，易证第 次近似解 和真正解 在区间 上有误差估计 在进行近似计算时，可根据误差要求由这一误差估计确定 的值，从而得到所需的逼近函数 . 考虑定义在矩形区域 上的初值问题 其右端函数 在区域 上关于 满足 Lipschitz 条件，Lipschitz 条件，Lipschitz 常数 ，其最大值 ，由 Picard 存在唯一性定理，它在区间 上的解存在且唯一. 容易构造出它的 Picard 迭代序列如下： 可归纳求出 显然函数序列 在区间 上一致收敛于函数 . 它与由变量分离法求出的所给初值问题的解完全一样. 由（5.9）我们得逼近函数 的误差估计：

对函数 y=f（x）定义域为D,如果 存在 L ∈R ,对任意 x1,x2 ∈在D上的Lipschitz常数.如果 y=f（x）在定义域D 上可导,L就可以取 f

同一个常数。李普希茨常数与导数要求函数图像的曲线上任意两点连线的斜率一致有界，就是任意的斜率都小于同一个常数关系。

在常微分方程的解存在唯一的问题中，有一个充分条件：1.f(x，y)总在某矩形区域内连续，2.f(x，y)对y满足Lipschitz条件在上述两个条件下，微分方程的解存在唯一.在你提的问题中，如果我们先假定f(x，y)总在某矩形区域内连续，那么：李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的(充分)条件事实上，f（x，y）对y的偏导连续，就意味着f（x，y）对y的偏导有界，按照拉格朗日中值定理，可以得到李普希兹条件，也就是说f（x，y）对y的偏导连续是李普希兹条件的(充分)条件关系是这样的：f（x，y）对y的偏导连续→李普希兹条件→一阶微分方程初值问题解惟一在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitzcontinuity）以德国数学家鲁道夫_利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(绿色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这个圆锥内。对于在实数集的子集的函数，若存在常数K，使得，则称f符合利普希茨条件，对于f最小的常数K称为f的利普希茨常数。若K<1，f称为收缩映射。利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：给定两个度量空间(M，dM)，(N，dN)，。若对于函数，存在常数K使得若存在使得则称f为bi-Lipschitz的。皮卡-林德洛夫定理若已知y(t)有界，f符合利普希茨条件，则微分方程初值问题刚好有一个解。在应用上，t通常属于一有界闭区间（如[0，2π]）。于是y(t)必有界，故y有唯一解。例子符合利普希茨条件，K=14。不符合利普希茨条件，当。定义在所有实数值的符合利普希茨条件，K=1。f(x)=|x|符合利普希茨条件，K=1。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。不符利普希茨条件，。不过，它符合赫尔德条件。当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有C1函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

满足，可以用中值定理，Lipschitz常数是1。

直接从定义可以看到lipschitz条件比一致连续要强一些一致连续不能推出lipschitz连续,比如闭区间[0,1]上的连续函数x^{1/2}

不是。Lipschitz连续。它其实就是在一个连续函数f上面额外施加了一个限制，要求存在一个常数使得定义域内的任意两个元素x1和x2都满足。简单理解，比如说f的定义域是实数集合，那上面的要求就等价于f的导函数绝对值不超过K。再比如说就不是Lipschitz连续，因为它的导函数没有上界。Lipschitz连续条件限制了一个连续函数的最大局部变动幅度。

这个有例子区间二分法：与对分查找法相同1 区间二分法求出的仅仅是方程的一个单根，如果方程有重根或者多个根时，在做区间二分法时就会出现分叉，这样方程有几个根，就会产生几个实数序列，每一个实数序列的极限便是方程的一个根2 通常用区间二分法为一些迭代法提供靠近x^*的初始选代值； 3 区间二分法的缺点是不能求方程的复数根。format long a=5; b=6; x1=a; x2=b; f1=4*cos(x1)+4*sin(x1)+0.5*x1-2; f2=4*cos(x2)+4*sin(x2)+0.5*x2-2; step=0.000001; ii=0; while abs(x1-x2)>step ii=ii+1; x3=(x1+x2)/2; f3=4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3-2; if f3~=0 if f1*f3<0 x2=x3; else x1=x3; end end end x3f=[4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3] disp(["迭代次数：",num2str(ii),"次"])牛顿迭代法求解:在方程f(x)=0有实数根的情况下，若能够将方程等价地转化成x=g(x)的形式，然后取一个初始值x0代入x=g(x)的右端，算得x1=g(x0)，再计算x2=g(x1)，这样依次类推x(k+1)=g(x(k))可以得到一个序列xk，通常称g(x)为迭代函数，序列xk为由迭代函数产生得迭代序列，x0为迭代初始值。同一个方程，不同等价形式的转换产生的迭代法可能收敛，也有可能发散．关于迭代法的敛散性判定有下面的定理(也称李普希兹（Lipschitz定理):如果迭代函数g(x)在区间[a,b]上连续，且满足以下条件，1 对于任意的x=[a,b]，有g(x)=[a,b]2 在区间内(a,b)内，函数g(x)满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意的x,y=(a,b)，都有|g(x)-g(y)|=<L|x-y|,如果有L<1,则迭代格式xk+1=g(xk),k=0,1,2,..对于任意的迭代初始值x0=[a,b]均是收敛的这里与x和y无关的正常数L称为Lipschitz常数。一种较为特殊得迭代法为牛顿（Newton）迭代法xk+1=xk-f(xk)/f"(xk)相应迭代函数为 g(x)=x-f(x)/f"(x)Newton迭代法的几何意义：它的第k+1次迭代值就是曲线y=f(x)在点(xk,f(xk))处切线y-f(xk)=f"(xk)(x=xk)与轴的交点的横坐标，%解方程：f=4*(cos(x1)+sin(x1)+0.5*x1-2)＝0x0=9.6;x1=x0-(4*(cos(x0)+sin(x0))+0.5*x0-2)/(4*(cos(x0)-sin(x0))+0.5);while abs(x1-x0)>0.000001 x0=x1;x1=x1-(4*(cos(x0)+sin(x0))+0.5*x0-2)/(4*(cos(x0)-sin(x0))+0.5);endf=4*(cos(x1)+sin(x1)+0.5*x1-2)弦截法:单点弦截法:连接两个端点与作弦(a,f(a)) 与(b,f(b))作弦，此弦与轴交点的横坐标设为 x1.如果f(x1)=0，则x1即为所求根，否则选取(x1,f(x1))点和点(a,f(a))（该点的选取要满足条件f(a)与f""(x)同号，并改记为(x0,f(x0))。再做弦此弦与轴交点的横坐标设为 x2,依次类推，其迭代格式即为xk+1=xk-f(xk)*(xk-x0)/(f(xk)-f(x0)双点弦截法:无固定点xk+1=xk-f(xk)*(xk-xk-1)/(f(xk)-f(xk-1)format long nx=[]; nx(1)=5; nx(2)=nx(1)-(2^nx(1)-nx(1)^2-1)/(2^nx(1)*log(2)-2*nx(1)); k=1; while abs(nx(k+1)-nx(k))>=10^(-6) k=k+1; nx(k+1)=nx(k)-(2^nx(k)-nx(k)^2-1)/(2^nx(k)*log(2)-2*nx(k)); end nk=k+1; disp(["牛顿迭代法迭代次数：",num2str(nk),blanks(4),"方程的解：",num2str(nx(nk))])dx=[]; dx(1)=5; dx(2)=dx(1)-(2^dx(1)-dx(1)^2-1)/((2^3-3^2-1)-(2^5-5^2-1))*(3-5); k=1; while abs(dx(k+1)-dx(k))>=10^(-6) k=k+1; dx(k+1)=dx(k)-(2^dx(k)-dx(k)^2-1)/((2^dx(k)-dx(k)^2-1)-(2^5-5^2-1))*( dx(k)-5); end disp(["单点迭代法迭代次数：",num2str(k),blanks(4),"方程的解：",num2str(dx(k))])sx=[]; sx(1)=5; sx(2)=3; k=1; while abs(sx(k+1)-sx(k))>=0.000001 k=k+1; sx(k+1)=sx(k)-((2^sx(k)-sx(k)^2-1)/((2^sx(k)-sx(k)^2-1)-(2^sx(k-1)-sx(k-1)^2-1)))*(sx(k)-sx(k-1)); end sk=k+1; disp(["双点迭代法迭代次数：",num2str(sk),blanks(4),"方程的解：",num2str(sx(sk))])x=3:0.05:5; y=2.^x-x.^2-1; yn=zeros(1,nk); yd=zeros(1,sk); subplot(1,2,1)plot(x,y,sx,yd,"*") title("双点弦截法") gtext("y=2^x-x^2-1") subplot(1,2,2) plot(x,y,nx,yn,"*") title("牛顿迭代法") gtext("y=2^x-x^2-1")

若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2，均有：⑴|f（x1）-f(x2)|≤k|x1-x2|成立，则称f(x)在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件。⑵ 若函数f(x)=√x (x>=1)上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值解：k≥|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2||f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=1/√x1+√x2只需求1/√x1+√x2的最大值就是K的最小值显然当x1=x2=1时有最大值1/2故k的最小值为1/2

在本节我们仍然考虑初值问题： 不同的是这里仅要求 在矩形区域 上连续而不一定满足 Lipschitz 条件. 我们将证明这时初值问题（5.4）的解仍然存在们只是不一定唯一. 这就是 Peano 存在性定理. 若 早矩形区域 上连续，则初值问题（5.4）在区间 上至少有一个解. 其中 这个定理不仅结果重要，而且其证明的思想和方法也十分重要. 这就是我们要介绍的 Euler 折线法和 Ascoli-Arzela 引理. Euler 折线法描绘了积分曲线的几何思想，成为近似计算的开端. 构造 Euler 折线. 我们仅仅在矩形区域 上寻找解，因此从等价积分方程（5.5）可以得到 因此，为了包整界函数图像不越出矩形 ，必须 . 故要求 . 任取正整数 和点列 ，其中 就是初值条件所给， 从而将区间 分成 等份. 如同 所示，从初始点 出发按方向 演唱直线段到第一个分点 处，这个直线段可以表述为 从新的端点 开始，其中 ，再按新的方向 作直线段 , ，如此下去，我们将得到端点 ，其中 ，而 同理向左也可以作出类似折线. 这样我们得到折现表达式 其中 . 注意到当 时，上面 在区间 上的表达式中的求和为由 到 ，这时求和结果应该理解为 0. 当 时情况类似. 证明序列 的收敛性. 这里我们需要 Ascoli-Arzela 引理. 函数列 称为在有界闭区间 上 一致有界 的，如果存在常数 ，使得对任意正整数 都有 . 函数列 称为在有界闭区间 上 等度连续 的，如果对任给的 ，存在仅与 有关的常数 ，使得对任意正整数 ，只要当 且 时，就有 . 由定义可知，一致有界的函数族中每一个函数都是有界函数；等度连续的函数族中每一个函数都是一致连续的. 但反之却不一定对. 定义在有界闭区间 上的一致有界且等度连续的无穷函数 必存在一个在 上一致收敛的子序列. 引理证明见最后. 对任意 ，折线段 显然停留在矩形区域 内，因此序列 是一致有界的. 进而，折线段 夹在过点 ，斜率分别为 及 的两直线所限定的角域内，即 因此等度连续. 由 Ascoli-Arzela 引理，序列 中有子序列 一致连续. 设 证明函数 满足 其中 . 为了简单起见，我们只在区间 上证明这一结论，在区间 上的证明完全类似. 观察（5.11）中的每一项，易见对 及 ，有 其中 这样在（5.11）中利用积分逐段可加的性质，得到 注意到 事实上，对任给的 ，由 的连续性，存在 ，使得当 时有 当 充分大时，显然可使得 ，并且由（5.10）的同样道理可以使得 . 因此由（5.14）知， . 同理从（5.15）知，当 充分大时， 由（5.16），当 充分大时， 因此 由第二、三步结果，在（5.13）取子序列极限得 即 满足初值问题（5.4）的等价积分方程. 从而证明了定理. 从集合的角度考虑，Euler 折线法给出了一种逼近积分曲线的方法. 定义在区间 上的函数 称为初值问题（5.4）在这个区间上的 -逼近解 ，如果它满足条件 （1） 在区间 上连续，并且除了 上有限个点外， 处处连续可微，而在这有限个点处 的左右导数都存在； （2）当 时， 落在矩形区域 内； （3）当 时 这里当 的微商不存在且 时， 是指 的右导数， 时， 是指 的左导数. 我们在定理证明中事实上给出了这样的结论：若 在矩形区域 上连续，则对任意 ，初值问题（5.4）在区间 上存在 -逼近解 ，且当 时有 , 其中 . 由于 在 上一致有界，故存在 ，使得 ，都有当 时， . 所以 中的函数的图像都在矩形区域 内. 取 ，由 在 上的等度连续性，存在 ，使得 ，只要当 且 时，就有 . 用平行于坐标轴的直线将矩形区域 分成有限多个高为 ，宽小于或等于 的小矩形（如图）. 设以相邻两垂线为边界的竖直长条为 . 则 中每个函数的图像在每个这样的竖直长条上最多经过两个相邻的小矩形. 在 中各取两个相邻的小矩形就构成了一个“高”为 的多边形. 显然这样的多边形只有有限个，而 中每个函数的图像都包含在某个这样的多边形中. 由于 是无穷函数族，故不存在多边形 ，它包含 中无穷多个函数的图像. 记 的这个无穷子集为 . 再取 ，由 再 上的等度连续性，存在 ，使得 ，只要当 且 时，就有 . 用平行于坐标轴的直线将矩形区域 分成有限多个“高”为 ，款小于或等于 的小矩形. 类似地，至少存在一个包含在 内、“高”为 的多边形 ，它包含 中无穷多个函数的图像. 记 的这个无穷子集为 . 一般地，假如已作出了“高”为 的多边形 及图像含在 内的无穷函数族 ，对 ，我们可以类似构造出一个包含在 内“高”为 的多边形 ，它包含 中无穷多个函数的图像. 记 的这个无穷子集为 . 这样我们就得到一个函数族序列 满足性质： （1） ; （2）对 中任意两个函数 和 ，都有 在 中任取一个函数 ，在 中任取一个不同于函数 的函数 ，在 中任取一个不同于函数 的函数 ，如此继续下去. 因为 均为无穷集合，故这一过程可一直进行下去. 由此我们得到 的一个子序列 满足：对任意的正整数 和 ， 由 Cauchy 收敛准则， 在 上一致收敛. 引理证毕.

我设f(x)是定义在(a，b)上的凸函数，其中-∞<a<b<+∞。则对任意a<x<b，a<y<b和0≤λ≤1有不等式：f((1-λ)x+λy)≤(1-λ)f(x)+λf(y)。上面是凸函数的性质，我们任意选取满足a<s<t<u<b的s、t和u，(这里隐含一点f(s),f(t),f(u)都是有界的，反之易证其不是凸函数，矛盾)我们令t=λu+(1-λ)s，可得λ=(t-s)/(u-s)，显然(t-s)/(u-s)是大于零小于一的。我们应用凸函数的不等式性质得f(t)=f((1-λ)s+λu)≤(1-λ)f(s)+λf(u)=f(s)+λ(f(u)-f(s))，推出f(t)-f(s)≦λ(f(u)-f(s))，即(f(t)-f(s))/(t-s)≤(f(u)-f(s))/(u-s)。固定t和u，令s趋近于t，右边是一个有界常数，可得左边为f(x)在t这一点的左导数，由于t的任意性可得，f(x)的左导数存在，这说明f(x)是左连续的。 由前面的不等式还可以证明(1-λ)(f(t)-f(s))≤λ(f(u)-f(t))推出(f(t)-f(s))/(t-s)≤(f(u)-f(t))/(u-t)。固定s和u，令t趋近于s，右边是一个有界常数，可得左边为f(x)在s这一点的右导数，由于s的任意性可得，f(x)的右导数存在，这说明f(x)是右连续的。 综上可得凸函数f(x)在开区间内是连续的。 楼上说的利用Lipschitz条件，本质上还是要证明凸函数单边方向导数存在，不过那个方法考虑了多维的情形，对与一维的情况，用我给的方法就可以了。

单调函数的导数虽然可积但却没有类似牛顿—莱布尼茨公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能够满足牛顿—莱布尼茨公式？（只针对Lebesgue积分而言），因此引入有界变差函数的定义将有界变差函数与单调函数进行联系。1、定义设 为 上的有限函数，如果对于 的一切分划P，使 成一有界数集，则称 为 上的有界变差函数，并称该有界数集的上确界为在上的全变差，记为 变差：全变差： 2、举例(1)设在上满足Lipschitz条件，即存在常数c>0,当 ，则必是有界变差函数。(2)闭区间上的任一单调函数都是有界变差函数且 。3、性质(1)闭区间上的有界变差函数是有界函数。proof:对于 所以从而(2)如果都是[a,b]上的有界变差函数，则对于任意常数 也是[a,b]上的有界变差函数，且 。(3)如果都是[a,b]上的有界变差函数，则 也是有界变差函数。proof:由性质（1）知存在M，使得(4)如果是[a,b]上的有界变差函数， ，则 。(5)如果是[a,b]上的有界变差函数，c是(a,b)内任一数，则 。(6)Jordan分解定理：是[a,b]上的有界变差函数当且仅当可以分解为两个单调增函数的差。注：Jordan分解并不是惟一的，如果 是 的一个分解，则对于任意常数 仍然是单调的，且。(7)是[a,b]上的有界变差函数，则是[a,b]上几乎处处有限导数， 在[a,b]可积，并且 。注：在闭区间上的单调函数，黎曼积分可以推出勒贝格积分，所以积分上下限两种写法均可4、有界变差函数与单调函数的关系由例（2）知道闭区间上的单调函数是有界变差函数，虽然Jordan分解将有界变差函数与单调函数进行了联系，但有界变差函数不一定是单调函数。闭区间上单调函数所具有的性质：（1）不连续点全是第一类间断点（2）不连续点集至多可数（3）黎曼可积Lebesgue定理：如果 是[a,b]上的单调函数（1）在[a,b]上几乎处处可微（2） 在[a,b]上可积（3）如果在[a,b]上是单调递增的，则有 5、有界变差函数与连续函数的关系有界变差函数不一定是连续函数，连续函数也不一定是有界变差函数。举例：闭区间上的单调函数只含有第一类间断点，所以是不连续的，所以有界变差函数不一定是连续函数。总结：有界变差函数的导数虽然是可积的，但也未必可以使牛顿莱布尼茨公式成立，所以条件还需要加强。展开阅读全文

对于任给的ε>0, 取δ=ε/K，则当x1,x2∈I 且|x1-x2|<δ时有|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|<Kδ=K*(ε/K)=ε从而f(x)在I上一致连续！不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

这里所谓的“好”今后会叫做Lipschitz连续。第一个是，直接取k=1即可，这时f(x1)-f(x2)=x1-x2；第二个在R上不是（只在一个有界集上才是），直接计算可以得到f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)，所以这时候必须k>=|x1+x2+2|，当然，对于给定的k，总可以取x1、x2充分大，使得这个式子不成立；第三个和第四个都是，第三个可以取k=ln2，第四个（注意x>=1>0）取k=1/ln2，如果稍微用一点点微积分，则可以直接由Lagrange中值定理推出这些，我还没想到初等的办法证明它们。

1.勾股定理得的无字证明这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。2.欧拉的流氓证明法在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，他采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。3.旋轮线的面积求解车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

即Φ(x)在[a,b]上满足Lipschitz条件，L称为Lipschitz常数。　利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比一致连续更强的光滑性条件。直观上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。在微分方程理论中，利普希茨条件是初值条件下解的存在唯一性定理中的一个核心条件。 利普希茨条件的一个特殊形式压缩映射，被应用在巴拿赫不动点定理中。一条曲线上任意两点连线的斜率的绝对值都有小于某一个数。 表达式为存在 数L使得|F(X)-F(Y)| <= L*|X-Y|, for all X, Y.

对函数 y=f（x）定义域为D，如果 存在 L ∈R ，对任意 x1,x2 ∈D,有：|f(x1)-f(x2)|< L|x1-x2|称 L 为 f(x) 在D上的Lipschitz常数。如果 y=f（x）在定义域D 上可导，L就可以取 f"(x) 的一个上界：|f(x1)-f(x2)|=|f"(ξ)(x1-x2)| < L|x1-x2|

在数学中，特别是实分析，lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity），以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。其定义为：对于函数f(x),若其任意定义域中的x1,x2，都存在L>0，使得｜f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|。说明利普希茨条件（Lipschitz condition）是1993年公布的数学名词。在微分方程，利普希茨连续是皮卡－林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件，一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。定义：对于在实数集的子集的函数 ，若存在常数K，使得，则称f符合利普希茨条件，对于f最小的常数K称为f的利普希茨常数。若K < 1，f称为收缩映射。利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：给定两个度量空间(M,dM),(N,dN)，。若对于函数，存在常数K使得则说它符合利普希茨条件。若存在使得则称f为bi-Lipschitz的。

利普希茨条件（Lipschitz condition）是1993年公布的数学名词。在数学中，特别是实分析，lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity），以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。其定义为：对于函数f(x),若其任意定义域中的x1,x2，都存在L>0，使得｜f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|。怎么求Lipschitz常数：对函数 y=f（x）定义域为D，如果 存在 L ∈R ，对任意 x1,x2 ∈D,有：|f(x1)-f(x2)|< L|x1-x2|，称 L 为 f(x) 在D上的Lipschitz常数。如果 y=f（x）在定义域D 上可导，L就可以取 f"(x) 的一个上界：|f(x1)-f(x2)|=|f"(ξ)(x1-x2)| < L|x1-x2|。

他发现了利普希茨连续 在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。 对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(绿色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这个圆锥内。对于在实数集的子集的函数 ，若存在常数K，使得，则称f符合利普希茨条件，对于f最小的常数K称为f的利普希茨常数。 若K < 1，f称为收缩映射。 利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义： 给定两个度量空间(M,dM),(N,dN)，。若对于函数，存在常数K使得 则说它符合利普希茨条件。 若存在使得 则称f为bi-Lipschitz的。 皮卡-林德洛夫定理 若已知y(t)有界，f符合利普希茨条件，则微分方程初值问题刚好有一个解。 在应用上，t通常属于一有界闭区间（如[0,2π]）。于是y(t)必有界，故y有唯一解。 例子 符合利普希茨条件，K = 14。 不符合利普希茨条件，当。 定义在所有实数值的符合利普希茨条件，K = 1。 f(x) = | x | 符合利普希茨条件，K = 1。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。 不符利普希茨条件，。不过，它符合赫尔德条件。 当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有C1函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。 利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

若存在常数K,使得对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：∥f(x1)-f(x2)∥<=K∥x1-x2∥成立，则称f(x)在D上满足利普希茨条件。若f(x)在区间I上满足利普希茨条件，必定有f(x)在区间I上一致连续.　上述的L*和K是某个大于零的数。对各自的定义域，这个数一定要存在。设函数Φ(x)在有限区间[a,b]上满足如下条件：(1) 当x∈[a,b]时，Φ(x)∈[a,b]，即a≤Φ(x)≤b.(2) 对任意的x1，x2∈[a,b]，恒成立：|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|.

是的。可以用公式解题，找到这个常数就行。

如果D是闭区间，并且f(x)在D上连续（那么一直连续），应该满足利普希茨（Lipschitz）条件有些符号打不出来，只能说一下大概思路，令一致连续中的x1固定，根据x2去选取e（无穷小），根据连续函数在闭区间上的有界性知成立

若存在常数K,使得对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：∥f(x1)-f(x2)∥<=K∥x1-x2∥成立，则称f(x)在D上满足利普希茨条件。若f(x)在 区间I上满足利普希茨条件，必定有f(x)在区间I上一致连续.上述的L*和K是某个大于零的数。对各自的定义域，这个数一定要存在。设函数Φ(x)在有限 区间[a,b]上满足如下条件：(1) 当x∈[a,b]时，Φ(x)∈[a,b]，即a≤Φ(x)≤b.(2) 对任意的x1，x2∈[a,b]， 恒成立：|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|.

k≥|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2||f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=1/√x1+√x2只需求1/√x1+√x2的最大值就是K的最小值显然当x1=x2=1时有最大值1/2故k的最小值为1/2

lg表示以10为底的对数，那么lg0.1=-1，换算为指数形式就是10^-1=0.1

lg表示以10为底的对数，那么lg0.1=-1，换算为指数形式就是10^-1=0.1

Lg0.1=Lg（10的-1次）=-1

因为 10 的 -1 次方等于 0.1

3。lg100=2，lg0.1=-1，因为lg表示以10为底的对数，则lg100-lg0.1=2-(-1)，=2+1也就等于3，因此，lg100-lg0.1=3。

对数公式：a^x=N(a>0,且a≠1)，则有x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，对照公式可以求得：lg0.1=-1；2lg1=0；lg100=2；等式值为1；lg0.1相当于log底数为10，真数为0.1，10的-1次方为0.1.对数lg0.1值为-1；同理lg1相当于log底数为10，真数为1，10的0次方为1，这时对数lg1值为0；

lg10的0.1次方等于0.1（因为：lg1=0，lg10=1）

lg0.1=lg(10^-1)=-1lg0.1的平方为1

Lg0.1=Lg（10的-1次）=-1

lg√0.1=(1/2)[lg(0.1)]=－1/2lg0.1=－1

英语动词分类以及用法■及物动词与不及物动词根据后面是否带宾语，行为动词又可分为及物动词和不及物动词，及物动词(vt. ) 后面要跟宾语，不及物动词(vi. ) 不跟宾语。如：They study hard. 他们勤奋学习。(study后没有宾语，是不及物动词) I know them well. 我很了解他们。(know后有宾语them，是及物动词) 注：有的动词既可作及物动词，也可用作不及物动词。如：She sings very well. 她唱得很好。（sing是不及物动词）She sang an English song just now. 她刚才唱了一首英文歌。(sing是及物动词) ■动态动词和静态动词根据词义特点，行为动词可分为动态动词和静态动词。动态动词表示动作，如give, take, work, run等；静态动词表示感觉、情感、内心世界、相互关系等，如know, live, lie, exist, be, have, mean, seem, appear, sound, prove, concerns, hate, dislike, like, love, prefer, surprise, astonish, satisfy, contain, include, matter depend on, belong to, guess, suppose，imagine, believe, doubt, admire, envy等。■延续性动词和非延续性动词根据动作是否延续，行为动词又分为延续性动词和非延续性动词。如rain, live, work, learn等是延续性动词，go, come, leave, start, arrive, join, finish, end等是非延续性动词。注：非延续性动词在肯定句中通常不与表示时间段连用的for短语连用。如：[译]他离开这里三天了。[误]He has left here for three days. [正]He has been away from here for three days. [正]He left here three days ago. [正]It"s three days since he left. ■限定动词与非限定动词限定动词在句中作谓语，有人称和数的变化。非限定动词有动词不定式、动名词和分词三种，在句中不能单独作谓语，没有人称和数的变化(详见非谓语动词一章) 。如：The room needs cleaning. 这房间需要清洁了。(needs在句中用谓语，是限定动词；cleaning是动名词作needs的宾语，属非限定动词) 实义动词又有及物动词和不及物动词两类。 1)及物动词 后面必须跟宾语意义才完整的实义动词(transitive verb)。e.g.A)He raised his glass and said: "Your health, Carl."他举起了杯子说道:"祝你健康,卡尔。"B)They are going to raise funds for the school buildings.他们将为盖校舍筹集资金。C)Raise your right hand. 举起你的右手。2)不及物动词 本身意义完整后面不须跟宾语的实义动词，叫做不及物动词(intransitive verb)。e.g.A)The sun has not yet risen. 太阳还没升起。B)The river rises in the mountains. 这河发源于群山之中。 3)兼作及物动词和不及物动词 英语里有不少实义动词可以兼作及物动词和不及物动词。这样的动词又有两种不同的情况： a)兼作及物动词和不及物动词时，意义不变。试比较： Shall I begin at once?我可以立刻开始吗?(begin作不及物动词) She began working as a librarian after she left school.她毕业后当图书馆管理员。(began作及物动词) When did they leave Chicago?他们是什么时候离开芝加哥的？(leave 作及物动词) They left last week. 他们是上周离开的。(left 作不及物动词) b)兼作及物动词和不及物动词时，有时意义不尽相同。如： Wash your hands before meals.饭前要洗手。 Does this cloth wash well? 这布经得起洗吗? 4) 与汉语的比较 有时英语动词的及物和不及物的用法，与汉语的用法不一样，请注意下列两种情况： a)有的动词在英语里只能用作不及物动词，而汉语则可用作及物动词，如arrive到达，agree同意，1isten听。英语里这些动词后面常接介词。如： We arrived at the railway station at noon.我们于中午到达火车站。(at不能省去)(比较：We reached the railway station at noon.) Everybody listened to the lecture with great interest.每个人都很有兴趣地听讲课。(to不可省去)(比较：We all heard the lecture.) Do they agree to the plan?他们同意这个计划吗?(to不可省去) b)有的动词在英语里能用作及物动词，而在汉语里则不能用作及物动词，如serve为…服务。 Our children are taught to serve the people wholeheartedly.我们的儿童被教以全心全意为人民服务表推测的can / could有何区别

英语中按动词后可否直接跟宾语，可把动词分成不及物动词与和及物动词。　　不及物动词：字典里词后标有vi. 的就是不及物动词。不及物动词后不能直接跟有动作的对象（即宾语）。若要跟宾语，必须先在其后添加上某个介词，如to,of ,at后方可跟上宾语。具体每个动词后究竟加什么介词就得背动词短语了，如listen to,look at….　　如：look 看 (vi.) x宾语(即不能直接加宾语). Look! She is singing.　　Look carefully! (注意：carefully 是副词，不是名词，故不作宾语)　　look at 看…….+宾语 Look at me carefully! (me是代词，作宾语) 　　at是小范围 in是大范围 　　如： 　　The students work very hard.学生们学习很努力。 　　She apologized to me again. 她再次向我道歉。 　　The accident happened yesterday evening.事故是昨天晚上发生的。 　　分清及物不及物动词: 　　分清动词的及物不及物是在英语学习中必须解决的首要问题。动词及物与不及物通常有以下几种情况： 　　a．主要用作及物动词。及物动词后面必须跟宾语。可以用于："主＋谓＋宾"；"主＋谓＋双宾"；"主＋谓＋宾＋宾补"结构。如： 　　He reached Paris the day before yesterday. 　　Please hand me the book over there. 　　They asked me to go fishing with them. 　　类似的还有：buy, catch, invent, found, like, observe, offer, prevent, promise, raise, find, forget, receive, regard, see, say, seat, supply, select, suppose, show, make, take, tell.... 　　b．主要用作不及物的动词。不及物动词后面不跟宾语。只能用与："主＋谓"结构。 　　This is the room where I once lived. 　　类似的还有：agree, go, work, listen, look, come, die, belong, fall, exist, rise, arrive, sit, sail, hurry, fail, succeed.... 　　c．既可以用作及物又可以用作不及物的动词，其意义不变。如begin 都是作"开始"讲。everybody , our game begins. let us begin our game. 类似的还有：start, answer, sing, close, consider, insist, read, learn, prepare, pay, hurt, improve.... 　　d．既可以用作及物又可以用作不及物的动词，其意义完全不同。 　　这类动词作不及物动词是一个意义；而作及物动词时却是另一个意义。如lift作不及物动词时是指烟雾的"消散"。we saw the mountain when the clouds lifted. 作及物动词时是"升高；举起"。 　　He lifted his glass and drank. 　　类似的还有：beat　vi.跳动 vt. 敲、打;　grow vi.生长 vt.　种植 　　play vi.玩耍 vt. 打（牌、球）,演奏 smell vi.发出（气味） vt. 嗅 　　ring　vi.（电话、铃）响vt.打电话　speak vi.讲话　vt. 说（语言） 　　hang　vi. 悬挂 vt.　绞死　operate vi.动手术　vt. 操作

宾语，又称受词，是指一个动作（动词）的接受者。在这里，Beijing并非是动词的授受者，所以不是宾语。而是地点状语。He，主语。lives谓语（不及物）in Beijing状语。

他活着。/他活下来了。

live是及物动词，也是不及物动词，后面有宾语就要加上介词+宾语。现在后面没有宾语，直接用live就行。

live a happy life没有问题，是正确的表达。表示“过着一种快乐的生活”的意思。live a……life是固定搭配。一般来说，life解释为生活时是不可数的，这时不能用a，但是当它前面加上修饰词后就要加上“a”，例如a beautiful life。live用法：live可用作及物动词，也可用作不及物动词。用作及物动词时通常接同源宾语，有时也接experience等和动词不同源的词，表示“过…的生活，有…的实践或经历”。live也可用作系动词，意思是“活着”，常接形容词作表语。live可如be般用于存在句（There...),位于there之后，主语之前，其人称和数应与主语一致。live后接副词on表示“继续活下去”；接介词on则表示“以…为食”“靠…生活”；后接介词with表示“与…同住”“寄宿在…”。

因为where 是副词， 副词前不能用介词,比如还有here,there,home等都是地点副词，前不用介词。区别：live是不及物动词，加上介词IN就是及物动词。

这是地点状语 因为，live 是不及物动词，i live ,已经是主谓结构，句式完整 in beijing只是一个可有可无的地点，去掉不会破坏句子的完整性 要是你非要理解成宾语，则意思会变，变成，我把北京给居住了。 一般，动词，要翻成，把，使，让，之类。 再比如，i sat in the sofa in the sofa,也是地点状语，不是说，我把沙发给坐了 你可以类比

中国的学习者多关注这些形式。假如从形式上讲，这两个句子是否是：People need more places in order to live.They need places and they live in these places.也就是说，第一句中 to live 是表示“需要更多空间的目的”，第二个句子则表示“要居住的空间”。用语法讲就是第一个句子中的 to live 是状语，而第二个句子中的 to live in 是定语，in 后面一定有宾语（这里即前面的 places）。不定式做定语很难理解，不妨看几个简单的例句：I have something to do. （理解为 something you do）I have a book to read. （理解为 a book that I have to read）题外话，其实，学习英语大可不必追究这些问题，只要弄清楚意思就是了，关键是多阅读。这是捷径。任何只做题目的日最终学不好英语。

1，live 不及物动词，没有被动语态。