初二数学根号的性质和定义是什么

二次根式的性质：1、√a表示a的算术平方根，依据算术平方根的非负性，二次根式√a（a≥0）是一个非负数。2、二次根式√a＾2＝lal。这个性质可分三种情况。3、二次根式积的算术平方根性质：√ab＝√a＊√b（a≥0，b≥0）。4、二次根式商的算术平方根性质：√a／√b＝√a／√b（a≥0，b＞0）。最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

二次根式的性质有：（1）√a≥0(a≥0)；（2）(√a)^2=a(a≥0)；（3）√(a^2)=|a|=a(a≥0)=-a(a<0)；（4）√(ab)=√a*√b(a≥0，b≥0)；（5）√(a/b)=√a/√b(a≥0，b>0)。判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。二次根解释：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。二次根式混合运算与实数运算相同的运算顺序相同，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。

　　1、 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。 　　2、 零的平方根是零。 　　3、 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。 　　4、 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。 　　5、 无理数可用连分数形式表示。 　　6、 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。即：若，则叫做a的平方根，记作。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。性质：1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。2. 零的平方根是零，即；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是。4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。5. 无理数可用连分数形式表示，如:。

二次根式的概念及性质：①二次根式的概念：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，其中“√”称为二次根号，a称为被开方数。例如，√2，√（x^2+1)，√（x-1) (x≥1)等都是二次根式。②二次根式的性质：当a≥0时，√a表示a的算术平方根，所以√a是非负数（√a≥0)，即对于式子√a来说，不但a≥0，而且√a≥0，因此可以说√a具有双重非负性。③最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。④积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。⑥分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

二次根式的定义:二次根式的性质:a(a≥ 0)-a(a≤0)==∣a∣===计算下列式子.并观察他们之间有什么联系?能用字母表示你所发现的规律吗?一、二次根式乘法法则：一般地有二次根式与二次根式相乘，等于各被开数的积的算术平方根。扩充：例题1 计算：（1）（2）解：（3）（a≥0，b≥0）二次根式的乘法：利用这个等式可以化简一些根式。试一试：例题2 化简：（1）（3）解：(1)（2）化简:4、计算：化简二次根式的步骤：1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。

二次根式的概念及性质：①二次根式的概念：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，其中“√”称为二次根号，a称为被开方数。例如，√2，√（x^2+1)，√（x-1) (x≥1)等都是二次根式。②二次根式的性质：当a≥0时，√a表示a的算术平方根，所以√a是非负数（√a≥0)，即对于式子√a来说，不但a≥0，而且√a≥0，因此可以说√a具有双重非负性。③最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。④积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：对化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号

I.二次根式的定义和概念：编辑本段1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=02、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。II.二次根式√ā的简单性质和几何意义编辑本段1）a≥0;√ā≥0[双重非负性]2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3)√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。III.二次根式的性质和最简二次根式编辑本段1）二次根式√ā的化简a(a≥0）√ā=|a|={-a(a＜0)2）积的平方根与商的平方根√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）3）最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

解：∵a＝√﹙b－3﹚＋√﹙3－b﹚－2 ∴ b－3≥0, b≥3 3－b≥0, b≤3 ∴ b＝3 a＝﹣2 ∴ a＋b＝﹣2＋3＝1.

二次根式紧紧抓住二次根式的性质，应用它进行相关运算，二次根式的性质有:(1)√a≥0(a≥0);——双重非负性(2)(√a)^2=a(a≥0);——算术平方根的意义，(3)√(a^2)=|a|=a(a≥0)，√(a^2)=|a|==-a(a<0);——开平方原则(4)√(ab)=√a*√b(a≥0,b≥0);——化简，逆用就是二次根式相乘，(5)√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0).——化简，决胜就是二次根式相除。二次函数结合图象进行直观观察，理解其要点：对称轴、顶点坐标、增减性。

二次根式有以下四个性质:(a≥0);;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0).说明:二次根式的这些基本性质都是在一定的条件下才成立的,主要应用于化简二次根式

性质1. (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · （a≥0,b≥0）。5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a≥0,b>0）。

二次根式的性质有:(1)√a≥0(a≥0);(2)(√a)^2=a(a≥0);(3)√(a^2)=|a|=a(a≥0) =-a(a<0);(4)√(ab)=√a*√b(a≥0,b≥0);(5)√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0).

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。即：若 ，则 叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。性质：1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是 ，则a的另一个平方根为﹣ ；最简形式中被开方数不能有分母存在。2. 零的平方根是零，即 ；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是 。4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。5. 无理数可用有理数形式表示,

证明：(你的这道题应该前提是a,b都是非负整数。)证明方法一：反证法假设式子左右不等，则两边取平方，得出：ab不等于(根号a)^2*(根号b)^2=ab，显然是错误的，因此式子两端相等。证明方法二：设：x=根号ab-根号a*根号by=根号ab+根号a*根号b(y>=0)则：x*y=(根号ab)^2-(根号a*根号b)^2=0，由于y>=0，则要满足结果，必须使：x=0，所以原题式子成立！

二次根式性质的应用试讲如下：1、一般地，形如√a的代数式，叫做二次根式。其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。判断一个二次根式，是否为最简二次根式，主要方法是根据，最简二次根式的定义进行判断，或直观地观察。被开方数的每一个因数的指数，都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时，要先因式分解后再观察。2、任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a。除了求平方根的题目之外，二次根式还有非负性，还有求定义域，还有非常有趣的互为倒数的二次根式，在解题中常常会遇到，因此要掌握二次根式问题，绝对不是简单的求算术平方根，要掌握各种相关的知识。3、最简二次根式，被开方数中不含字母，即根号内无分母，分母内无根号，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即开方开得尽；我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。同类二次根式，如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式。前提条件是二次根式是最简二次根式；被开方数相同。

答:二次根式的性质初步梳理一下有以下一些性质:[只研究算术平方根，用?a(a≥0)] ①?α是非负数，即?a≥0。 ②(?a)^2=a。 ③?(a^2)=|a|。 ④积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方根的积 ?(ab)=?ax?b(a，b非负)。 ?(ab)=?(-a)?(-b)。 商的算术平方根也有类似性质，但除法可以转化为乘法，这里就不单独列出来了。 ⑤乘方 (?a)^n=?(a^n)。即二次根式的乘方，等于把被开方数乘方，根指数不变。(n为正整数) ⑥二次根式的开方，把根指数相乘的积作为积的根指数，被开方数不变。 ⑦m?a±n?a=(m±n)?a。

1. (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; 　　2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；　　3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 　　4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · （a≥0,b≥0）。　　5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a≥0,b>0）。

二次根式紧紧抓住二次根式的性质，应用它进行相关运算，二次根式的性质有:(1)√a≥0(a≥0);——双重非负性(2)(√a)^2=a(a≥0);——算术平方根的意义，(3)√(a^2)=|a|=a(a≥0)，√(a^2)=|a|==-a(a<0);——开平方原则(4)√(ab)=√a*√b(a≥0,b≥0);——化简，逆用就是二次根式相乘，(5)√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0).——化简，决胜就是二次根式相除。二次函数结合图象进行直观观察，理解其要点：对称轴、顶点坐标、增减性。

二次根式它的意义是表示一个数的平方根，性质与运算如下：1、非负性：二次根式的值必须是非负实数，即√a ≥ 0。2、化简规则：如果a是一个非负实数，且b是一个正实数的平方，那么√(ab) = √a * √b。这意味着可以将二次根式中的因数进行分解，以简化计算。3、合并规则：对于同样的根指数，可以将具有相同根部的二次根式合并。例如，√a + √b 可以合并为√(a + b)，√a - √b 可以合并为√(a - b)。4、乘法规则：两个二次根式相乘，可以将根指数相加，即√a * √b = √(ab)。5、除法规则：两个二次根式相除，可以将根指数相减，即√a / √b = √(a/b) 。6、二次根式的化简：使用因式分解、合并规则、乘法规则和除法规则可以对二次根式进行进一步的化简，使计算更简便。计算二次根式注意事项1、判断根式内的数值：确保根式内的数值是非负实数。因为二次根式√a要求a必须大于等于0，否则结果将无意义。2、化简根式：尽可能地化简二次根式，以简化计算。利用因式分解或合并规则，将根式中的因数进行分解或合并。3、分清楚根指数：确定根指数，比如√a表示平方根，u221ba表示立方根。不同的根指数会影响计算结果。4、用括号明确运算顺序：如果有多个二次根式需要进行运算，使用括号明确运算顺序，避免出现歧义。5、注意运算符优先级：在进行二次根式的多项式运算时，注意运算符的优先级，如乘法和除法优先于加法和减法。

见图

二次根式的这条性质：（根号a^2）=|a|=-a（当a＜0时）是说:若a是负数｜a｜是a的相反数例如a=-2|-2|=-a=2学数学时不能认为式子前面有负号就一定是负数其实当a<0时-a是披着负号皮的正数(不是有披着羊皮的狼吗？）希望对你有所帮助请采纳老师的解哟^_^

（1）由于2 - 4倍= 4（1/2-x），。由于x-1/2和1/2-x被开方数，它大于或等于0时，仅使等于0，以确保建立，所以x = 1/2，从而得到y = 3，所以的x的y次幂 即（1/2）3 = 1/8 （2）的问题的含义知道一个+ b = 2的 ？？？？？？3A + B = 5B， ？溶液双线性方程：α= 4，B = 3

[编辑本段]I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。 [编辑本段]II.二次根式√ā的简单性质和几何意义 1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ] 2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。 [编辑本段]III.二次根式的性质和最简二次根式 1）二次根式√ā的化简 a(a≥0） √ā=|a|={ -a(a＜0) 2）积的平方根与商的平方根 √ab=√a·√b（a≥0，b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0，b>0） 3）最简二次根式 条件： （1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式； （2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等 [编辑本段]IV.二次根式的乘法和除法 1 运算法则 √a·√b=√ab（a≥0，b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0，b>0） 二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2 共轭因式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 [编辑本段]V.二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并 [编辑本段]Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 [编辑本段]VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

定义求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数所以二次根式被开方数的性质：被开方数是非负数。

4+根号7=[根号(7/2)+根号(1/2)]^2 4-根号7=[根号(7/2)-根号(1/2)]^2 根号(4+根号7) + 根号(4-根号7) =根号(7/2)+根号(1/2)+根号(7/2)-根号(1/2) =2根号(7/2) =根号14

二次根式是根式中有根式的题型，无所谓难易，学好了一次根式，二次根式只不过多了一次开根。只是需要同学对题目有个总体把握，看先把里面的根式作为整体开根方便，还是从最里面开始开根一层层剥。所以不管是二次，还是多次，其基础都是一次根式。

【知识回顾】 1.二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（ ）2= （ ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． = u2022 （a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1） ， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） ；（2） 例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若 =b－a，则 ( ) A. a>b B. a<b a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将 根号外的a移到根号内，得 ( ) A. ； B. － ； C. － ； D. 例2. 把（a－b）－1a－b 化成最简二次根式 例3、计算： 例4、先化简，再求值： ，其中a= ，b= ． 例5、如图，实数 、 在数轴上的位置，化简 ： 4、比较数值 （1）、根式变形法 当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则 。 例1、比较 与 的大小。 （2）、平方法 当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则 。 例2、比较 与 的大小。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较 与 的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较 与 的大小。 （5）、倒数法 例5、比较 与 的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较 与 的大小。 （7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ① ；② 例7、比较 与 的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ① ； ② 例8、比较 与 的大小。 5、规律性问题 例1. 观察下列各式及其验证过程： ， 验证： ； 验证: . （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

根号a方文字说明就是一个数的平方的算术平方根是多少。如果a是正数或者0，那么结果就是它本身，如果a是负数，那么结果就是其相反数，因此它的结论和绝对值a是相同的。

实际上没有一次根式，也没有一次根号1√n，如果你非要说有的话，那就是这个数本身。二次根式√n，读作n的算术平方根【或根号n】，是平方的逆运算，初中阶段，实数范围内负数不能开平方，也没有算数平方根，但到了高中，在学习了复数和虚数以后，任何数都有算术平方根【例如√-1=1i】，其中被开方数相同的叫同类二次根式【想要了解更多的话，你可以看初二的数学课本】。 好了，希望能帮到你

　　积的算术平方根等于各因式算术平方根之积，即把各个因式的算术平方根求出来再相乘。　　积的算数平方根的性质：（a≥0，b≥0）　　二次根式的双重非负性：在实数范围内，我们知道式子表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性：（1）；（2）a≥0．

二次根式的性质：1、√a表示a的算术平方根，依据算术平方根的非负性，二次根式√a（a≥0）是一个非负数。2、二次根式√a＾2＝lal。这个性质可分三种情况。3、二次根式积的算术平方根性质：√ab＝√a＊√b（a≥0，b≥0）。4、二次根式商的算术平方根性质：√a／√b＝√a／√b（a≥0，b＞0）。最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

二次根式的性质如下：1、任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a，；最简形式中被开方数不能有分母存在。2、零的平方根是零。3、负数的平方根也有两个，它们是共轭的。4、有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。二次根式的加减乘除一、二次根式的加减法1、同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2、合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。二、二次根式的乘除法二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。1、乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。2、除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

二次根式的性质是任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a。最简形式中被开方数不能有分母存在。 一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

应用二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。二次根式与算数平方根有区别吗？一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算。二、二次根式比算术平方根内涵更丰富。三、二次根式一定带有根号，而算术平方根不一定带根号。四、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式。

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式。接下来分享二次根式的性质及运算法则。 二次根式的性质 1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a，；最简形式中被开方数不能有分母存在。 2.零的平方根是零。 3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。 4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。 二次根式的加减法 1.同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 二次根式的乘除法 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。 1.乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 2.除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 二次根式化简方法 1.把带分数或小数化成假分数； 2.把开方数分解成质因数或分解因式； 3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外； 4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号； 5.约分。

应用二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。二次根式与算数平方根有区别吗？一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算。二、二次根式比算术平方根内涵更丰富。三、二次根式一定带有根号，而算术平方根不一定带根号。四、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式。

二次根式的定义与性质如下所示。一、二次函数的定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。二、二次根式的性质1、√a表示a的算术平方根，依据算术平方根的非负性，二次根式√a（a≥0）是一个非负数。2、二次根式√a＾2＝lal。这个性质可分三种情况。3、二次根式积的算术平方根性质：√ab＝√a＊√b（a≥0，b≥0）。4、二次根式商的算术平方根性质：√a／√b＝√a／√b（a≥0，b＞0）。

二次根式的概念和性质如下：概念：一般地，形如√a的代数式叫作二次根式，其中，a叫作被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。性质：1、任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a,则a的另一个平方根为﹣√a,;最简形式中被开方数不能有分母存在。2、零的平方根是零。3、负数的平方根也有两个,它们是共轭的。4、有理化根式:如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。最简二次根式条件和化简最简二次根式条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。二次根式化简一般步骤：把带分数或小数化成假分数；把开方数分解成质因数或分解因式；把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；化去根号内的分母，或化去分母中的根号；约分。

1、 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。 2、 零的平方根是零。 3、 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。 4、 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。 5、 无理数可用连分数形式表示。 6、 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。

二次根式的概念及性质：①二次根式的概念：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，其中“√”称为二次根号，a称为被开方数。例如，√2，√（x^2+1)，√（x-1) (x≥1)等都是二次根式。②二次根式的性质：当a≥0时，√a表示a的算术平方根，所以√a是非负数（√a≥0)，即对于式子√a来说，不但a≥0，而且√a≥0，因此可以说√a具有双重非负性。③最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。④积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。⑥分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

二次函数的定义：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，a称为被开方数，“√”称为二次根号。特别提示：（1)二次根式的识别条件：①含有二次根号“√”。②被开方数（或式子）是非负的。(2)形如b√a(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与√a的乘积，当b为带分数时，要把b写成假分数的形式。二次根式的性质：1、任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a；最简形式中被开方数不能有分母存在。2、零的平方根是零。3、负数的平方根也有两个，它们是共轭的。4、有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。以上内容参考：百度百科-二次根式

二次根式的概念及性质：①二次根式的概念：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，其中“√”称为二次根号，a称为被开方数。例如，√2，√（x^2+1)，√（x-1) (x≥1)等都是二次根式。②二次根式的性质：当a≥0时，√a表示a的算术平方根，所以√a是非负数（√a≥0)，即对于式子√a来说，不但a≥0，而且√a≥0，因此可以说√a具有双重非负性。③最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。④积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：对化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号

　　二次根式的性质是任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a。最简形式中被开方数不能有分母存在。 　　一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

概念：一般地，形如√a的代数式叫作二次根式，其中，a叫作被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。性质：1、任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。如正数a的算术平方根是√a,则a的另一个平方根为﹣√a,;最简形式中被开方数不能有分母存在。2、零的平方根是零。3、负数的平方根也有两个,它们是共轭的。4、有理化根式:如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。最简二次根式条件和化简最简二次根式条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。二次根式化简一般步骤：把带分数或小数化成假分数；把开方数分解成质因数或分解因式；把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；化去根号内的分母，或化去分母中的根号；约分。

i.二次根式的定义：一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。ii.二次根式√ā的简单性质和几何意义1）√ā≥0（a≥0）[双非负性质]2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3)√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离iii.二次根式的性质和最简二次根式1）二次根式√ā的化简a（a≥0）√ā=|a|={-a（a＜0）2）积的平方根与商的平方根√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0，b≥0）3）最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。iv.二次根式的乘法和除法1运算法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0，b≥0）2共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。v.二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并ⅵ.二次根式的混合运算确定运算顺序灵活运用运算定律正确使用乘法公式分母有理化要及时

二次根式的概念及性质：①二次根式的概念：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，其中“√”称为二次根号，a称为被开方数。例如，√2，√（x^2+1)，√（x-1) (x≥1)等都是二次根式。②二次根式的性质：当a≥0时，√a表示a的算术平方根，所以√a是非负数（√a≥0)，即对于式子√a来说，不但a≥0，而且√a≥0，因此可以说√a具有双重非负性。③最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。④积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。⑥分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

二次根式的性质：1、√a表示a的算术平方根，依据算术平方根的非负性，二次根式√a（a≥0）是一个非负数。2、二次根式√a＾2＝lal。这个性质可分三种情况。3、二次根式积的算术平方根性质：√ab＝√a＊√b（a≥0，b≥0）。4、二次根式商的算术平方根性质：√a／√b＝√a／√b（a≥0，b＞0）。最简二次根式：1、被开方数中不含有分母。2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。