怎样用对称性与奇偶性计算二重积分

如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。扩展资料：函数自身的对称性的几个重要结论：定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是： f (x) + f (2a－x) = 2b；推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是：f (x) + f (－x) = 0；定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是：f (a +x) = f (a－x) ，即f (x) = f (2a－x)；推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3：定义在R上的函数y = f (x) 满足 f (x + a) = f (x + b)，则y = f (x)必是周期函数，且 T = k(a – b)。(k∈ Z且k≠ 0)。定理4：函数y = f (x) 是R上的偶函数，且满足 f (x + a) = f (b - x )，则y = f (x)必是周期函数，且 T = k (a + b)。(k∈ Z且k≠ 0)。定理5:函数y = f (x) 是R上的奇函数,且满足 f (x + a) = f (- x)，则y = f (x)必是周期函数,且 T = 2ka。(k∈ Z且k≠ 0)。参考资料来源：百度百科-对称函数

函数对称性的公式总结如下：1. 奇函数的对称性：- f(-x) = - f(x)- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合。2. 偶函数的对称性：- f(-x) = f(x)- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴翻折后重合。3. 周期函数的对称性：- f(x + T) = f(x)，其中T为正周期- 周期函数具有平移对称性，在每个周期内的图像是相似的。4. 中心对称函数的对称性：- f(-x) = f(x)，且f(0) = 0- 中心对称函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合，并且通过原点。以上是常见对称性的公式总结。这些对称性公式可以用于判断和分析函数的对称性，从而更好地理解函数的性质和图像。当我们能够确定函数的对称性时，可以简化对函数的理解和计算。

函数对称性的总结公式是：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。函数的对称性公式推导：对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式．只要x有一个正一个负．就有对称性．至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等．此公式对于那些未知方程，却知道2方程的关系的都通用．你可以去套用，在此不在举例。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴．如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。

函数对称性公式大总结：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性，例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对称变换(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x)。关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点（a，b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。

函数对称性的总结：y=f（|x|）是偶函数。它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。函数的对称性总结意义：函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。

是的。函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导：1、对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式。只要x有一个正一个负，就有对称性，至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等，此公式对于那些未知方程，却知道2方程的关系的都通用。对于已知方程的要求对称轴的，首先记住一些常见的对称方程的对称轴，如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等，因为他的定义为R。f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0。还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了。如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）。2、至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）。

在函数的研究中，我们经常讨论其对称性。对称性可以帮助我们了解函数图像的性质和特点。下面是五个常见的函数对称性结论及其推导：1. 偶函数： 如果一个函数满足f(x) = f(-x)对于任意的x，即关于y轴对称，那么该函数被称为偶函数。2. 奇函数： 如果一个函数满足f(x) = -f(-x)对于任意的x，即关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。3. 周期函数： 如果一个函数满足f(x + T) = f(x)对于某个常数T和所有的x，那么该函数被称为周期函数。T被称为函数的周期。4. 对称轴： 如果一个函数存在对称轴，即存在某个实数a，当x=a时，函数图像关于对称轴对称，那么该函数存在对称轴。5. 中心对称： 如果一个函数满足f(a + x) = f(a - x)对于某个实数a和所有的x，即关于直线x=a对称，那么该函数被称为中心对称。这五个结论可以通过图像、函数关系式的变化或定义进行推导。通过观察和分析函数的性质，可以判断函数是否具有对称性及具体的对称性类型。对称性结论的推导有助于我们更深入地理解和研究函数的特点及其图像。

【函数的对称性】是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决，对称关系同时还充分体现数学之美。1、函数y = f (x)的图象的对称性（自身）:（1）定理1：函数y = f (x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称： → f (a+x)= f (b-x)→f (a+b-x)= f (x)特殊的有：①函数y = f (x)的图象关于直线x=a对称 →f (a+x)=f (a-x)→f (2a-x)=f (x)；②函数y = f (x)的图象关于y轴对称（奇函数）→f (-x)=f (x)；③函数y = f (x+a)是偶函数→f (x)关于x=a对称；（2）定理2：函数y = f (x)的图象关于点(a，b)对称： → f (x)=2b- f (2a-x)→f (a+x)+ f (a-x)=2b特殊的有：① 函数y = f (x)的图象关于点（a，0）对称→f (x)=-f (2a-x)；② 函数y = f (x)的图象关于原点对称（奇函数） →f (-x)=f (x)；③ 函数y = f (x+a)是奇函数 →f (x)关于点(a，0) 对称。（3）定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b，那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期；②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m，n)和一条铅直对称轴x=a，那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期；③若函数y = f (x) 图像同时关于点A(a，c)和点B (b，c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期；④若一个函数的反函数是它本身，那么它的图像关于直线y=x对称。2、两个函数图象的对称性:（1）函数y = f (x)与函数y = f (-x)的图象关于直线x=0（即y轴）对称；（2）函数y = f (mx-a)与函数y = f (b-mx)的图象关于直线x=(a+b)/2m对称；特殊地：y = f (x-a)与函数y = f (a-x)的图象关于直线x=a对称；（3）函数y = f (x)的图象关于直线x=a对称的解析式为y = f (2a-x)；（4）函数的y = f (x)图象关于点（a，0）对称的解析式为y = -f (2a-x)；（5）函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。函数y = f (x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。周期性，T=2|a-b|。若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。具备性质：1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b， 0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导：1、对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负。就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用。你可以去套用,在此不在举例。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴。如：一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R。f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0。还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了。如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）。2、至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）。注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负。此区别也是判断对称性还是周期性的关键。同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期，如“f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）。但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π。y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π。而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数，如：y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3。

函数对称性公式大总结：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性，例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对称变换(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x)。关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点（a，b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。

　　函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 　　一、函数自身的对称性探究 　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b 　　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) 　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 　　故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 　　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 　　推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 　　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 　　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 　　①②的证明留给读者，以下给出③的证明： 　　∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， 　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： 　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*） 　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， 　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： 　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得： 　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 　　二、不同函数对称性的探究 　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 　　②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 　　③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 　　定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③ 　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1=a+y0 , y1= x0－a，∴x0=a+y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1)∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。 　　同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。 　　三、三角函数图像的对称性列表 　　注：上表中k∈Z 　　四、函数对称性应用举例 　　例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） 　　(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 　　(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 　　解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x). 　　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 　　故选(A) 　　例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 　　（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。 　　解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称， 　　∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 　　故f(4) = 2001,应选（C）

函数对称性的公式总结如下：1. 奇函数的对称性：- f(-x) = - f(x)- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合。2. 偶函数的对称性：- f(-x) = f(x)- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴翻折后重合。3. 周期函数的对称性：- f(x + T) = f(x)，其中T为正周期- 周期函数具有平移对称性，在每个周期内的图像是相似的。4. 中心对称函数的对称性：- f(-x) = f(x)，且f(0) = 0- 中心对称函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合，并且通过原点。以上是常见对称性的公式总结。这些对称性公式可以用于判断和分析函数的对称性，从而更好地理解函数的性质和图像。当我们能够确定函数的对称性时，可以简化对函数的理解和计算。

①知识点定义来源&讲解：函数关于点的对称性是函数图像在某个点处表现出左右对称的性质。当一个函数关于某点对称时，该点被称为对称中心。以对称中心为中心，函数图像在两侧是一样的，即在关于对称中心的左右两侧的函数值相等。函数关于点对称的概念源自数学中对对称性的研究。在函数图像的研究中，研究函数的对称性有助于理解和描述函数的特征。②知识点运用：函数关于点对称的概念常用于函数图像的研究、图形的绘制和问题的求解。通过识别函数关于点对称的特点，可以简化函数的表达式、分析函数图像的性质、研究函数的变化规律等。对称性有助于简化问题，减少运算量，并提供更直观的几何解释。③知识点例题讲解：例1：判断函数 y = x^2 是否关于原点对称。解析：原点 (0, 0) 是函数 y = x^2 的一个解。将函数的自变量取负值，即计算函数在 (-x) 时的函数值，可以发现 y = (-x)^2 = x^2，即在原点两侧的函数值相等。因此，函数 y = x^2 关于原点对称。例2：判断函数 y = sin(x) 是否关于 y 轴对称。解析：将函数的自变量取负值，即计算函数在 (-x) 时的函数值，可以发现 y = sin(-x) = -sin(x)。即在 y 轴两侧的函数值相反。因此，函数 y = sin(x) 不关于 y 轴对称。例3：判断函数 y = 1/x 是否关于直线 y = x 对称。解析：将函数的自变量和因变量互换，即将 x 替换为 y，y 替换为 x，可以得到 x = 1/y。这相当于将函数图像绕直线 y = x 进行对称变换。因此，函数 y = 1/x 关于直线 y = x 对称。通过以上例题，可以展示函数关于点对称的概念，并在具体的函数中进行应用和判断。

1）如果一函数关于轴x=T（T为常数）对称，则有f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。这个用解析几何来或者用代数来解释都很简单，也可以当作是证明。一函数关于轴x=T（T为常数）对称，就是说作直线y=Y（Y为f(x)值域内任意常数），与f（x）相交两点A（a，Y）和B（b，Y），与x=T相交于C（T，Y），则C为AB的中点。可得a=2T-b，或者a+T=T-x。由直线y=Y在f(x)值域内的任意性，可知f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。一函数关于轴x=T（T为常数）对称，取任意一点P（x，f（x）），函数上必存在与其关于x=T的对称的点Q（q，f（q）），即点（T，f（x））为PQ的中点。用中点公式可得q=2T-x，f(q)=f(x)，即f（x）=f（2T-x）。由P点的任意性可知该式在定义区成立。类似的取P（x+T，f（x+T）），同样道理可证明f(x+T)=f(T-x)。2）若一函数f（x）关于点O（a，b）中心对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b或者f（a+x）+f(a-x)=2b。任取P（x，f（x）），则必定可以在f（x）上找到点Q（q，f（q））且O（a，b）为PQ的中点。q+x=2a 且f（q）+f（x）=2b，用x表示q，可得f（x）+f（2a-x）=2b。类似设这个人任意点为P（x+a，f（x+a）），同样方法可得f（a+x）+f(a-x)=2b。解析几何的方法和代数的方法其实是同一个本质，只是两种不同的叙述方法，只要理解透彻定义，加上一点代数的技巧或解析几何的直观，这类问题是很容易理解和证明的。

函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。周期性，T=2|a-b|。若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。性质：1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b， 0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

函数对称性的公式总结如下：1. 奇函数的对称性：- f(-x) = - f(x)- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合。2. 偶函数的对称性：- f(-x) = f(x)- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴翻折后重合。3. 周期函数的对称性：- f(x + T) = f(x)，其中T为正周期- 周期函数具有平移对称性，在每个周期内的图像是相似的。4. 中心对称函数的对称性：- f(-x) = f(x)，且f(0) = 0- 中心对称函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合，并且通过原点。以上是常见对称性的公式总结。这些对称性公式可以用于判断和分析函数的对称性，从而更好地理解函数的性质和图像。当我们能够确定函数的对称性时，可以简化对函数的理解和计算。

类似的条件，一般都能得到函数f（x）的对称性结论。供参考，请笑纳。又如:注意:奇偶性只作用于x.即:解析式中x变成-x后，对应函数值之间或相等或互为相反数。

原函数与导函数的对称性之间的关系如下：若函数f(x)连续且可导，且导函数f′(x)图象关于点(a,0)对称，则函数f(x)图象关于直线x=a对称。若函数f(x)连续且可导，且导函数f′(x)图象关于直线x=a对称，则函数f(x)图象关于点(a,f(a))对称。函数（function），数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

找的多是没有用的,关键是你要掌握原理.1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b／2a原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有．．．（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3令t＝x－3则f（t）＝t可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位．同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX　　T＝2π（T＝2π／W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π．y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π／W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx　　T1＝2／3　　T2＝1则T＝2／3

在函数的研究中，我们经常讨论其对称性。对称性可以帮助我们了解函数图像的性质和特点。下面是五个常见的函数对称性结论及其推导：1. 偶函数： 如果一个函数满足f(x) = f(-x)对于任意的x，即关于y轴对称，那么该函数被称为偶函数。2. 奇函数： 如果一个函数满足f(x) = -f(-x)对于任意的x，即关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。3. 周期函数： 如果一个函数满足f(x + T) = f(x)对于某个常数T和所有的x，那么该函数被称为周期函数。T被称为函数的周期。4. 对称轴： 如果一个函数存在对称轴，即存在某个实数a，当x=a时，函数图像关于对称轴对称，那么该函数存在对称轴。5. 中心对称： 如果一个函数满足f(a + x) = f(a - x)对于某个实数a和所有的x，即关于直线x=a对称，那么该函数被称为中心对称。这五个结论可以通过图像、函数关系式的变化或定义进行推导。通过观察和分析函数的性质，可以判断函数是否具有对称性及具体的对称性类型。对称性结论的推导有助于我们更深入地理解和研究函数的特点及其图像。

函数的对称性包括以下常用结论：1. 奇偶性对称：奇函数和偶函数是函数图像关于某个特定坐标轴的对称。奇函数满足 f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称；偶函数满足 f(-x) = f(x)，图像关于 y 轴对称。2. 中心对称：函数图像关于某个点对称。该点通常被称为对称中心。例如， y = 1/x 是关于原点对称的。3. 水平对称：函数图像在水平方向上对称。即，如果点 (x, y) 在图像上，则点 (-x, y) 也在图像上。例如， y = sin(x) 是关于 y 轴对称的。4. 垂直对称：函数图像在垂直方向上对称。即，如果点 (x, y) 在图像上，则点 (x, -y) 也在图像上。例如， y = cos(x) 是关于 x 轴对称的。5. 旋转对称：函数图像在经过旋转一定角度后对称。其中，最常见的是圆的旋转对称，即圆的任意点旋转180度后仍位于圆上。这些对称性结论可用于分析函数图像的性质，确定图像的特征，以及推导出函数的性质。但需要注意的是，并非所有函数都具有对称性，对称性是特殊的性质，需要根据具体的函数进行分析。

简单分析一下，详情如图所示

对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式,这是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用公式求x=(a+b)/2其一，定义域必须对称（对于奇函数和偶函数而言）。其二，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y对称。关于x对称的函数你可以将函数中的y换成-y，如果其函数值不便则真。其三，一个函数的反函数为其自身则关于x=y对称如果f(-x,y)=f(x,y)则是关于y轴对称,如果f(x,-y)=f(x,y)则是关于x轴对称,如果f(-x,-y)=f(x,y)则是关于原点对称,如果f(y,x)=f(x,y)则是关于x=y对称,

函数对称性的常用结论及推导过程如下：1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导：1、对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负。就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用。你可以去套用,在此不在举例。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴。如：一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R。f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0。还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了。如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）。2、至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）。注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负。此区别也是判断对称性还是周期性的关键。同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期，如“f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）。但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π。y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2，y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2，上面的2个方程T＝π（T＝2π/W），而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π。而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数，如：y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3。

函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。周期性，T=2|a-b|。若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。对称性的概念：1、函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。2、中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。性质：1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b， 0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

二次函数的对称性规律口诀：抛物线关于x轴、y轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。二次函数图像的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达，分别是：1. 关于x轴对称，y=ax+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax-bx-c;y=a(x-h)+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k. 2. 关于y轴对称，y=ax+bx+c 关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax-bx+c；y=a(x-h)+k关于y轴对称后，得到的解析式；y=a(x+h)+k。3. 关于原点对称，y=ax+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax+bx-c；y=a(x-h)+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k；4. 关于顶点对称，y=ax+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax-bx+c-b/2a；y=a(x-h)+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k.

对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式,这是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用公式求x=(a+b)/2其一，定义域必须对称（对于奇函数和偶函数而言）。其二，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y对称。关于x对称的函数你可以将函数中的y换成-y，如果其函数值不便则真。其三，一个函数的反函数为其自身则关于x=y对称如果f(-x,y)=f(x,y)则是关于y轴对称,如果f(x,-y)=f(x,y)则是关于x轴对称,如果f(-x,-y)=f(x,y)则是关于原点对称,如果f(y,x)=f(x,y)则是关于x=y对称,

在函数的研究中，我们经常讨论其对称性。对称性可以帮助我们了解函数图像的性质和特点。下面是五个常见的函数对称性结论及其推导：1. 偶函数： 如果一个函数满足f(x) = f(-x)对于任意的x，即关于y轴对称，那么该函数被称为偶函数。2. 奇函数： 如果一个函数满足f(x) = -f(-x)对于任意的x，即关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。3. 周期函数： 如果一个函数满足f(x + T) = f(x)对于某个常数T和所有的x，那么该函数被称为周期函数。T被称为函数的周期。4. 对称轴： 如果一个函数存在对称轴，即存在某个实数a，当x=a时，函数图像关于对称轴对称，那么该函数存在对称轴。5. 中心对称： 如果一个函数满足f(a + x) = f(a - x)对于某个实数a和所有的x，即关于直线x=a对称，那么该函数被称为中心对称。这五个结论可以通过图像、函数关系式的变化或定义进行推导。通过观察和分析函数的性质，可以判断函数是否具有对称性及具体的对称性类型。对称性结论的推导有助于我们更深入地理解和研究函数的特点及其图像。

找的多是没有用的,关键是你要掌握原理. 1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2 如f(x+3)=f(5_x) X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b／2a 原函数与反函数的对称轴是y＝x． 而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有．．．（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R． f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0， 还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了． 如f（x－3）＝x－3令t＝x－3则f（t）＝t可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位．同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移） 2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T） 注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键． 同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．2π，2π，π，当然 他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX　　T＝2π（T＝2π／W） 但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π． y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2 y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2 上面的2个方程T＝π（T＝2π／W） 而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π 而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如 y=sin3πx+cos2πx　　T1＝2／3　　T2＝1则T＝2／3

二次函数的对称性规律口诀：抛物线关于x轴、y轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。二次函数图像的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达，分别是：1. 关于x轴对称，y=ax+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax-bx-c;y=a(x-h)+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k. 2. 关于y轴对称，y=ax+bx+c 关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax-bx+c；y=a(x-h)+k关于y轴对称后，得到的解析式；y=a(x+h)+k。3. 关于原点对称，y=ax+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax+bx-c；y=a(x-h)+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k；4. 关于顶点对称，y=ax+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax-bx+c-b/2a；y=a(x-h)+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k.

①知识点定义来源&讲解：函数关于点的对称性是函数图像在某个点处表现出左右对称的性质。当一个函数关于某点对称时，该点被称为对称中心。以对称中心为中心，函数图像在两侧是一样的，即在关于对称中心的左右两侧的函数值相等。函数关于点对称的概念源自数学中对对称性的研究。在函数图像的研究中，研究函数的对称性有助于理解和描述函数的特征。②知识点运用：函数关于点对称的概念常用于函数图像的研究、图形的绘制和问题的求解。通过识别函数关于点对称的特点，可以简化函数的表达式、分析函数图像的性质、研究函数的变化规律等。对称性有助于简化问题，减少运算量，并提供更直观的几何解释。③知识点例题讲解：例1：判断函数 y = x^2 是否关于原点对称。解析：原点 (0, 0) 是函数 y = x^2 的一个解。将函数的自变量取负值，即计算函数在 (-x) 时的函数值，可以发现 y = (-x)^2 = x^2，即在原点两侧的函数值相等。因此，函数 y = x^2 关于原点对称。例2：判断函数 y = sin(x) 是否关于 y 轴对称。解析：将函数的自变量取负值，即计算函数在 (-x) 时的函数值，可以发现 y = sin(-x) = -sin(x)。即在 y 轴两侧的函数值相反。因此，函数 y = sin(x) 不关于 y 轴对称。例3：判断函数 y = 1/x 是否关于直线 y = x 对称。解析：将函数的自变量和因变量互换，即将 x 替换为 y，y 替换为 x，可以得到 x = 1/y。这相当于将函数图像绕直线 y = x 进行对称变换。因此，函数 y = 1/x 关于直线 y = x 对称。通过以上例题，可以展示函数关于点对称的概念，并在具体的函数中进行应用和判断。

两个函数对称性结论的推导如下：函数的对称性常用结论为：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对称变换：1、函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x)。关于x轴对称的图像为y=-f(x)；关于原点对称的图像为y=-f(-x)。2、函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x)；关于y=b对称的图像为y=2b-f(x)；关于点（a，b）中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。函数对称性的总结公式是：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。拓展资料：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴．如一原二次方程f(x)=ax2bxc对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。

函数对称性的常用结论及推导过程如下：1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导：1、对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负。就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用。你可以去套用,在此不在举例。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴。如：一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R。f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0。还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了。如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）。2、至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）。注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负。此区别也是判断对称性还是周期性的关键。同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期，如“f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）。但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π。y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2，y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2，上面的2个方程T＝π（T＝2π/W），而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π。而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数，如：y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3。

图像在第一,第一象限关于y轴对称，是抛物线。图像在第二象限单调递减,在第一象限单调递增。如图所示：图象性质：1． 作法与图形：通过如下3个步骤：算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标；描点；连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。3． k，b与函数图象所在象限。当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四 象限。

1.x=02.x=(a+b)/2.∵y=f(a+x)=f[(a+b)/2+(a-b)/2+x]=f[(a+b)/2+t],其中t＝(a-b)/2+x，而y=f(b-x)=f[(a+b)/2-(a-b)/2-x]=f[(a+b)/2-((a-b)/2+x)]＝f[(a+b)/2-t],所以：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x＝(a+b)/2对称。楼主你好：2的答案就是x=(a+b)/2.不是x=(b-a)/2.若是后者，当a＝b时对称轴就成x＝0了，这显然错误。其实当a＝b时对称轴显然是x＝a，与我这里的答案符合。

①知识点定义来源&讲解：函数关于点的对称性是函数图像在某个点处表现出左右对称的性质。当一个函数关于某点对称时，该点被称为对称中心。以对称中心为中心，函数图像在两侧是一样的，即在关于对称中心的左右两侧的函数值相等。函数关于点对称的概念源自数学中对对称性的研究。在函数图像的研究中，研究函数的对称性有助于理解和描述函数的特征。②知识点运用：函数关于点对称的概念常用于函数图像的研究、图形的绘制和问题的求解。通过识别函数关于点对称的特点，可以简化函数的表达式、分析函数图像的性质、研究函数的变化规律等。对称性有助于简化问题，减少运算量，并提供更直观的几何解释。③知识点例题讲解：例1：判断函数 y = x^2 是否关于原点对称。解析：原点 (0, 0) 是函数 y = x^2 的一个解。将函数的自变量取负值，即计算函数在 (-x) 时的函数值，可以发现 y = (-x)^2 = x^2，即在原点两侧的函数值相等。因此，函数 y = x^2 关于原点对称。例2：判断函数 y = sin(x) 是否关于 y 轴对称。解析：将函数的自变量取负值，即计算函数在 (-x) 时的函数值，可以发现 y = sin(-x) = -sin(x)。即在 y 轴两侧的函数值相反。因此，函数 y = sin(x) 不关于 y 轴对称。例3：判断函数 y = 1/x 是否关于直线 y = x 对称。解析：将函数的自变量和因变量互换，即将 x 替换为 y，y 替换为 x，可以得到 x = 1/y。这相当于将函数图像绕直线 y = x 进行对称变换。因此，函数 y = 1/x 关于直线 y = x 对称。通过以上例题，可以展示函数关于点对称的概念，并在具体的函数中进行应用和判断。

函数对称性的三个常用结论推导如下：函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导：1、对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负。就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用。你可以去套用,在此不在举例。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴。如：一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R。f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0。还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了。如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）。2、至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）。注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负。此区别也是判断对称性还是周期性的关键。同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期，如“f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）。但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π。y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π。而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数，如：y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3。

函数对称性的公式总结如下：1. 奇函数的对称性：- f(-x) = - f(x)- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合。2. 偶函数的对称性：- f(-x) = f(x)- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴翻折后重合。3. 周期函数的对称性：- f(x + T) = f(x)，其中T为正周期- 周期函数具有平移对称性，在每个周期内的图像是相似的。4. 中心对称函数的对称性：- f(-x) = f(x)，且f(0) = 0- 中心对称函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后重合，并且通过原点。以上是常见对称性的公式总结。这些对称性公式可以用于判断和分析函数的对称性，从而更好地理解函数的性质和图像。当我们能够确定函数的对称性时，可以简化对函数的理解和计算。

两个函数对称性结论的推导如下：函数的对称性常用结论为：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对称变换：1、函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x)。关于x轴对称的图像为y=-f(x)；关于原点对称的图像为y=-f(-x)。2、函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x)；关于y=b对称的图像为y=2b-f(x)；关于点（a，b）中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。函数对称性的总结公式是：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。拓展资料：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴．如一原二次方程f(x)=ax2bxc对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。

函数周期性用减法，函数对称性用加法。如：1、函数f(x)满足f(x＋a)=f(x＋b)，则函数f(x)的周期是T=|(x＋a)－(x＋b)|=|a－b|2、函数f(x)满足f(x＋a)=f(b－x)，则函数f(x)的对称轴是x=[(x＋a)＋(b－x)]/2=(a＋b)/2

函数的对称性及其应用：http://www.mathschina.com/gaozhongdagang/showsoft.asp?softid=11639我的经验：f(x)与f(-x)关于y轴对称f(x)与-f(x)关于x轴对称f(x)与-f(-x)关于原点对称

1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求x=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)x=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴x＝b／2a　原函数与反函数的对称轴是y＝x．　而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是x＝90还有．．．（2n＋！）90度等等．因为他的定义为r．　f（x）＝｜x｜他的对称轴则是x＝0，　还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．　如f（x－3）＝x－3令t＝x－3则f（t）＝t可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位．同样对称轴也向右移3个单位x＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的x－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋t）　注意此公式里面的x都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．　同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinx　　t＝2π（t＝2π／w）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是t＝π因为加了绝对值之后y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周t＝π．　　y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2　　y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2上面的2个方程t＝π（t＝2π／w）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期t＝π所以它的周期为t＝π　　而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx　　t1＝2／3　　t2＝1则t＝2／3

任何直线都有对称线，就是垂直平分线；任何抛物线，都有对称线：用配方法找到y=a(x-b)^2+c,x=b就是对称线；任何圆都有无数对称线，就是所有的直径；任何椭圆都有两条对称线；任何双曲线都有两条对称线；任何奇次函数，都以圆点为对称点：如：x,x^3,x^5,x^7,x^9,....,sinx,tanx,cscx,cotxetc任何偶次函数，都以y轴为对称轴：如：x^2,x^4,x^6,x^8,....,cosx,secx,(sinx)^2,(tanx)^2,sin(x^2)etc任何奇次多项式函数如y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f可能对称于圆点，可能不对称。具体由a、b、c、d、e、f的数值决定。任何偶次多项式函数如y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g可能对称于圆点，可能不对称。具体由a、b、c、d、e、f、g的数值决定。补充：偶函数乘偶函数=偶函数还是关于y轴对称奇函数乘奇函数=偶函数关于y轴对称奇函数乘偶函数=奇函数关于原点对称

函数对称性的常用结论及推导过程如下：1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导：1、对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负。就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用。你可以去套用,在此不在举例。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴。如：一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R。f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0。还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了。如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）。2、至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）。注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负。此区别也是判断对称性还是周期性的关键。同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期，如“f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）。但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π。y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2，y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2，上面的2个方程T＝π（T＝2π/W），而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π。而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数，如：y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3。

1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b／2a　原函数与反函数的对称轴是y＝x．　而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有．．．（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．　f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，　还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．　如f（x－3）＝x－3令t＝x－3则f（t）＝t可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位．同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）　注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．　同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX　　T＝2π（T＝2π／W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π．　　y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2　　y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π／W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π　　而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx　　T1＝2／3　　T2＝1则T＝2／3

两个函数对称性结论的推导如下：函数的对称性常用结论为：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对称变换：1、函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x)。关于x轴对称的图像为y=-f(x)；关于原点对称的图像为y=-f(-x)。2、函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x)；关于y=b对称的图像为y=2b-f(x)；关于点（a，b）中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。函数对称性的总结公式是：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。拓展资料：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴．如一原二次方程f(x)=ax2bxc对称轴X＝b/2a。原函数与反函数的对称轴是y＝x。

高中数学 必修1 第2章 函数性质 第49式 对称性与周期性2