三角形内心向量公式如何推导？

三角形内心的性质，详细介绍如下：一、性质：1、内心的位置：内心位于三角形内部，是三角形内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，且到三角形三角心的距离最短。2、内心和三角形边的关系：内心到三角形三边的距离相等，连接内心与三角形各顶点，形成三条辐射线，这三条辐射线构成的夹角等于三角形的内角和，3、内心和三角形角度的关系：内心到三角形三边的距离与三个角的大小成反比，即内心离最大角最近，离最小角最远，符合平衡规律。4、内心和三角形面积的关系：三角形面积可以表示为S=pr，其中p是周长的一半，r是内心到三角形三边的距离，因此内心到三角形三边的距离越小，三角形的面积就越大。5、内心和三角形的外心、垂心、重心的关系：内心与外心、重心一定在同一直线上，这条直线称为欧拉线。当且仅当三角形是等腰三角形或正三角形时，内心、外心、重心、垂心四个点重合。6、内心的应用：在计算三角形面积时，可以利用内心的性质简化计算过程。在三角形的定位和计算几何中，内心也有着广泛的应用，如确定圆和三角形的切线等。二、三角形介绍：1、三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学和建筑学有应用。2、平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形，三条弧线所围成的图形叫球面三角形也叫三边形。3、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比，三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

三角形的内心是三角形内部的一个点，它有许多独特的性质和重要的地位。以下是关于三角形内心的几个重要性质：1. 内心是三角形内切圆的圆心：三角形的内心是三角形内切圆（接触三角形三边的圆）的圆心。这意味着从内心出发，与三角形的每条边的切点相等距离，这些相等距离就是内切圆的半径。2. 内心到三角形三边的距离相等：内心到三角形的三条边的距离相等。即内心到三角形三边的线段长度相等，这些线段被称为内心到边的距离。3. 内接角平分线：内心到三角形的每个顶点的线段，与对应顶点内角的角平分线重合。内心到三个顶点的线段被称为内心到顶点的角平分线。4. 内心是重心、外心和垂心的共轭点：三角形的内心是三个特殊点（重心、外心和垂心）的共轭点。这意味着通过连接内心和这些特殊点的直线，满足一定的几何关系。例如，内心和重心的连线与内心到三边的距离成反比。5. 内心与三角形边长的关系：内心到三角形的每条边上的线段长度，与该边对应的另外两条边长的乘积成正比。这可以用来计算内心到三角形边的距离，从而得到内切圆的半径。综上所述，三角形的内心具有多个重要的性质。它是三角形内切圆的圆心，与三个顶点的连线是对应内角的角平分线，与三边的距离相等，并且是重心、外心和垂心的共轭点。这些性质不仅在几何学中有重要意义，也有实际应用，例如在三角形的定位、计算和构造中。

三角形内心的性质有：内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心；r=S/p（S表示三角形面积）；内心是三角形三个内角平分线的交点。 扩展资料 三角形内心的"性质有：内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心；r=S/p（S表示三角形面积）；内心是三角形三个内角平分线的交点。

1.内心是三角形内切圆的圆心； 2.内心到三角形三边的距离相等； 3.内心是三角形三个内角平分线的交点 4.内心都在三角形的内部； 5.内切圆的半径一般通过面积方法来解决

设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；2、若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心。3、r=S/p（S表示三角形面积）证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。7、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。扩展资料内心的运用：RT△ABC中，，AC=6，BC=8，则△ ABC 的内切圆半径为r=2（图见上）解析：⊙O是△ ABC的内切圆，设切点分别为D,E,F，连接OD,OE,OF,则OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC,由勾股定理可得AB=10。连接OA,OB,OC,则OD,OE,OF,可分别看成△BOC, △AOC,△AOB的一条高，且OD=OE=OF=r,则BD=6-r,AE=8-r,由切线长定理可得BF=BD=6-r,AF=AE=8-r,而BF+AF=6-r+8-r=AB=10，r=1/2(6+8-10)=2.参考资料来源：百度百科-内心

答：定理：三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。比如AE是∠A的角平分线，BF是∠B的角平分线，CD是∠C的角平分线，三条线都相聚于I点，那么，I就是三角形的内心，也是这个三角形内切圆的圆心。性质：1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r2、∠BIC=90°+∠BAC/23、在RtΔABC中，∠A=90°，三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

三角形内心的性质有，内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径。 三角形内心的性质 设⊿ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。 1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。 2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。 3、r=S/p。 4、∠BOC=90°+A/2。 5、点O是平面ABC上任意一点，点O是⊿ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。 6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。 三角形内心、外心判定 三角形外心：三角形外接圆圆心，它是三角形三边中垂线交点； 三角形内心：三角形内切圆圆心，它是三角形角平分线交点； 三角形垂心：三角形三条高线的交点； 三角形重心：三角形三条中线的交点。

性质： 1、三角形内心是三角形内切圆圆心。 2、三角形内心是三角形三条角平分线的交点。 3、内心到三边的距离相等,都等于内切圆的半径。

内容如下：一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。4.OA=OB=OC=R。5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。6.S△ABC=abc/4R。二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3.r=2S/(a+b+c)。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2。6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。它是三角形内切圆的圆心。三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个角的距离相等，它是三角形外接圆的圆心。

设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形内心为I1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。（i）IX:IY:IZ=1:1:1（ii）BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b（iii）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)（iv）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))（v）△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c3、r=S/p。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。扩展资料：证明在△ABC中∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等∴ 内心距三边距离均相等即在三条角平分线的交点处。

三角形四心及其性质如下：重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。内心：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。所谓三角形的四心，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点，它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心；垂心。三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心；重心，三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心；三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心；三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心；还有一个心叫旁心，外角平分线的交点，只有正三角形才有中心，这时重心、内心、外心、垂心四心合一。

一、三角形的五心定义：三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。二、五心性质：（一）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。（二）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：((c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c).5、外心到三顶点的距离相等。（三）垂心的性质：1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.（四）内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。（五）旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。

三角形五心定律及性质如下：三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。三角形“五心歌”，三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心。垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心。外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心，内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心，中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形五心介绍重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓，长短之比二比一，灵活运用掌握好。垂心三角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然。外心三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆，“内心”，“外心”莫记混，“内切”，“外接”是关键。

内心，内接圆的圆心，是三个角平分线的交点，到三条边的距离相等；外心，外接圆圆心，是三条边垂直平分线的交点，到三个角的距离相等。

三角形共有五心： 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。 （1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isoscelestriangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。垂心：三条高所在直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，即重心是中线上靠近边的三等分点；重心和三个顶点的连线把三角形分成面积相等的6个部分三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，到三角形三边的距离相等。但到三角形三边的距离相等的点不一定是外心，三角形的旁心到三角形的三边距离相等。

重心:三中线的交点;性质：重心是中线的一个三等分点，即到顶点的长度与中线长度只比为2：3。主要用于已知顶点坐标求重心坐标。垂心:三高的交点;性质：这个还不太清楚。垂心不怎么应用。内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;性质：到三角形三边的距离相等。外心:三中垂线的交点;性质：到三角形三个顶点的距离相等。中心应该就是重心。这5个中最经常用到的应该是内心和外心。有什么不明白的欢迎继续追问。

三角形的内心：三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。内心做法1、做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。2、做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。扩展资料：三角形外心性质：1、锐角三角形的外心在三角形内；2、直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；3、钝角三角形的外心在三角形外.4、等边三角形外心与内心为同一点。参考资料来源：百度百科-三角形内心参考资料来源：百度百科-三角形外心

一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.90‵圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.中线长度公式:在三角形abc中，d为bc上的中点，设bd=dc=n,ad=m,ab=aac=b,则有2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。四、内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙o是△abc的内切圆，△abc是⊙o的一个外切三角形，点o叫做△abc的内心.张角公式:,设点c在线段ab上,ab外一点p对线段ac、bc的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/pc=sinγ/pb+sinβ/pa.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙o1、⊙o2、⊙o3都是△abc的旁切圆，点o1、o2、o3叫做△abc的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

在三角形中，三个内角的三条角平分线的相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心性质是到三角形三条边的距离相等。1定义在三角形中，三个内角的三条角平分线的相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。内心性质设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)8、　双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、P，则BQ/QC=c/b，BP/PA=a/b， CR/RA=a/c。4内心做法1.做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。2.做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。内切圆的半径（1）在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．（2）在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)（3）任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）

三角形的内心就是三内角角平分线的交点；三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心就是三边中垂线的交点。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、外心到三顶点的距离相等内心定理1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。垂心定理 三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。内心定理 三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。旁心定理 三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心扫三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力

1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点或内切圆的圆心。（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。（2）三角形的外心的性质1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、外心到三顶点的距离相等3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上扩展资料：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。重心记忆口诀：三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了。外心记忆口诀：三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点。垂心记忆口诀：角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.内心记忆口诀：三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．参考资料来源：百度百科-三角形五心定律

三角形角平分线的交点称为三角形的内心，也被称为内接圆心。1、角平分线的定义和性质三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将对应的角平分为两个相等的角，并延长到对边上的线段。每条角平分线与对边的交点称为角平分线的足点。角平分线具有重要的几何性质，其中最著名的是角平分线定理，即每条角平分线上的点到对边的距离相等。2、三角形的内心定义与性质三角形的内心是三条角平分线的交点，也就是角平分线的足点共同确定的一个点。内心到三角形的三条边的距离相等，内心到三角形三个顶点的连线上的点的距离相等。此外，内心还是三角形内接圆的圆心，内接圆是唯一与三角形的三个边都相切的圆。3、内心的坐标和特性三角形的内心的坐标可以通过三角形的三个顶点的坐标计算出来。内心的坐标是三个顶点的坐标的平均值，即x坐标和y坐标分别为三个顶点的x坐标和y坐标的算术平均数。内心是三角形的一个重要的几何元素，它具有许多重要的几何特性和性质，例如与三角形边长的关系、与三角形面积的关系等。4、内心在三角形构造和计算中的应用内心在三角形的构造和计算中具有重要的应用价值。例如，通过内心可以构造出三角形的内切圆，利用内心到三角形边的距离相等的性质，可以进行三角形面积的计算和勾股定理的证明。内心还在三角形的垂心、重心和外心等几何元素的求解以及相关定理的证明中起到关键的作用。三角形的内心是角平分线的交点，它具有许多重要的性质和应用价值。通过研究内心及与之相关的几何定理和性质，我们可以深入理解三角形的结构和性质，以及解决与三角形相关的各种几何问题。内心的研究不仅在数学上具有深刻的意义，也在实际应用中起到重要的作用，为我们带来了丰富的数学思想和几何直观。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心到三边距离相等（为内切圆半径）若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下.

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠ABC/23、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)8、　双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、P，则BQ/QC=c/b，BP/PA=a/b， CR/RA=a/c。

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。内心:角平分线的交点解设三角形ABC的角平分线的交点是O,过O作三边的高分别是D,E,F ∵OD=OF(角平分线上的任意一点到角的两边距离相等) OF=OE(同理) ∴OD=OE=OF ∴O是三角形内切圆的圆心.(三条半径相等)

三角形的“五心” 我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2均为0°; θ1,θ2取接近30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为34,2493,2509时,θ1=29.658°. 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等.

三角形内心性质是内心到三角形三条边的距离相等。三角形内心指三个内角的三条角平分线相交的点，三角形内心到三角形三条边的距离相等，内心也是三角形内切圆的圆心。三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，为几何图案的基本图形。三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等。相似三角形判定定理：1、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。3、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

1.内心是三角形内切圆的圆心；2.内心到三角形三边的距离相等；3.内心是三角形三个内角平分线的交点4.内心都在三角形的内部；5.内切圆的半径一般通过面积方法来解决

三角形内心的性质：设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。2、∠BIC=90°+∠BAC/2。3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。5、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI=R-2Rr。6、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)。7、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。扩展资料：平面三角形的性质：1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

1.内心是三角形内切圆的圆心；2.内心到三角形三边的距离相等；3.内心是三角形三个内角平分线的交点4.内心都在三角形的内部；5.内切圆的半径一般通过面积方法来解决

解：三角形三条中线的交点称重心，重心将中线分成2:1，顶住均匀三角形的重心可以平衡三角形；三条高的交点称垂心锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外面；三条边垂直平分线的交点称外心外心到三角形三个顶点距离相等，即外接圆的圆心；三条角平分线的交点叫内心内心到各边距离相等，即三角形内切圆的圆心；每两个外角平分线交点叫旁心，旁心即旁切圆圆心，每个三角形有三个旁心。重心、垂心、外心、内心、旁心统称三角形五心。

一、三角形的五心定义：三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。二、五心性质：（一）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。（二）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：((c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c).5、外心到三顶点的距离相等。（三）垂心的性质：1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.（四）内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。（五）旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.2.重心三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.3.三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心4.三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，重心三边上中线的交点垂心三条高的交点内心内接圆圆心三个角角平分线交点外心外接圆圆心三条边的垂直平分线交点还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心)只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

内心（Incenter），三角形三条内角角平分线的交点叫三角形的内心，即内切圆的圆心。内心是三角形角角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。详细解释：内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。内心到三边的距离相等。[注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。]若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到三边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。性质：设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形内心为I1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。（1）IX:IY:IZ=1:1:1（2）BD:DC=c:b;CE:EA=a:c;AF:FB=b:a（3）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)（4）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))（5）△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c3、r=S/p。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。

一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三、三角形的垂心定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。四、三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。垂心：三条高所在直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

三角形的五心 一 定理 重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心. 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心. 垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心. 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心. 旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心. 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点. 上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里,但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明,遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽.

三角形共有五心： 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。参考资料：http://baike.baidu.com/view/5670.htm 5670..（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。 性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。 欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

三角形五心及其性质：五心：重心，外心，垂心，内心和旁心。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。5、外心到三顶点的距离相等。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=（a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/（a+b+c）。4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO：ON=AB：BN=AC：CN=（AB+AC）：BC。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 重 心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 垂 心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内 心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然． 外 心 : 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．