北营 -
1.
Dedekind切割大多数数学分析教材上都有，你自己去看吧，要理解的话就是
1)有理数的Dedekind切割不可能和有理数建立一一对应关系，从而定义出了实数。
2)实数的Dedekind切割和实数可以建立一一对应关系，这个就是Dedekind定理。
关于Cauchy序列，一般数学分析教材上没有利用Cauchy序列定义实数的方法，我就简单写一下：
记有理数域上的Cauchy序列全体为X，
如果{A_n}和{B_n}满足{An-Bn}的极限是0，那么称{A_n}和{B_n}等价，或者直接写成{A_n}={B_n}。
那么X在上述等价关系下的商集就定义成实数集。
Cauchy序列的收敛性称为完备性，你学过泛函分析之后就会有比较深入的理解。
2.
f(x+y)=f(x)+f(y)的不连续解可以用Hamel基来构造，把实数看成有理数域上的线性空间就可以了。不过这一构造依赖于选择公理。
要理解的话就这样看：从整数到有理数都可以导出线性关系是因为整数对除法的不封闭性，而有理数已经构成域了，所以在有限步四则运算下不可能得到无理数，也就无法将这一线性关系继续推广下去。
3.
无穷小量是变量！所以不存在你说的这种表示。
4.
复数是在解一元三次方程的时候最早引入的，一元三次方程即使三个根都是实根，在求解的时候也需要用到复数。
复数的意义：
复数对于很多运算的封闭性表明复数域是一个相当完美的集合。
如果你学过复分析的话也会看到复变函数具有很奇特的性质。
现实世界的很多东西需要用复数来描述，这一点相当重要。
如果你觉得复数没什么意义，那么我也可以说无理数没什么意义，大不了用有理数近似一下就行了，误差可以小于任意指定的正数。
苏萦 -
有理数和无理数的总称。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。
北境漫步 -
什么是实数：
实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a
②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：
|a|= ①a为正数时，|a|=a
②a为0时， |a|=0
③a为负数时，|a|=-a
③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）
我只知道这个...其它的不懂...
苏州马小云 -
有理数很好理解，无理数则是类似不完全平方数的根那样的无限不循环小数，两者统称实数
实数与虚数相对应，所谓的虚数是负数的平方根用a+bi来表示
a为实部 bi为虚部 a b均为实数，而i=-1的平方根
虚数可以用直角坐标系表示实部为x，虚部为y
西柚不是西游 -
定义：有理数与无理数统称实数
虚数我们是很少接触的
例如：一个负数开偶次方根
此外，有关最后一个问题
其实可以等价为
如何判定实数范围内除有理数以外的数
有理数分为整数和分数
任何分数都可以写成无限循环小数的形式
所以只要不是分数和整数
一般接触到的都是无理数了
因为无理数的定义就是无限不循环小数
不过需要注意的是不一定写成根式形式的都是无理数
要看化简后
还要注意讨论是否有意义
瑞瑞爱吃桃 -
我不是学数学的，但我觉得我能比较深刻的理解。
这么说吧，把数默认为是复数的简称。一个复数有实数部分和虚数部分组成。
如复数a=x+iy。实数x和虚数y他们都只是数的一部分。在现实生活中，大部分情况下实数部分的值是0，所以这个复数就成了我们常用的实数。
虚数的存在是一种思想。
你可以同样问为什么负数要存在？负数在现实中也不存在。可以把负数理解为一种工具，一种解决数学问题的工具。
同样，虚数也可以看成是一种工具。没有它，好多问题无法解决。这里的问题不仅仅是数学问题，还有工程方面的。
我学的是通信，以通信的应用为例给你介绍一下。
如果你学过高等数学，应该知道欧拉公式。e^（ia）=cos(a)+isin(a)。
我们在对信号进行处理的时候，要把它转换成数学模型，比如说它的大小、震动方向、相位等与时间的关系。直接根据时间来进行处理时非常麻烦的，但是，我们可以把信号转换成傅里叶级数，再由上式变换成e^（ix)类型的函数，就可以根据信号的频率来进行处理，相对就非常方便。也许这些你不明白，但是，虚数确实是一种方法或者思想。
以前我也觉得虚数没有任何作用。但后来也就没有想过这个问题。知道看到楼主的提问，我既然发现我有了自己的理解。很不错。还是要感谢下楼主。
u投在线 -
实数的定义，顾名思意有实际意义的数，即可以在数轴上找到的数都是实数，虚数与之对应。有理数和无理数统称为实数或 不存在虚数部分的复数
3，不存在这样的数，因为无穷小量是变量
补充：它俩都可以看成是由无限个小数相加成的无限不循环小数
e=2+0.7+0.01+0.008+0.0002+0.00008+……
kikcik -
实数的定义：有理数无理数的总称。
2：有理数无理数没有交集的地方，无理数指的是无限不循环小数！！
3：可以呀，比如根号二，就是1+（根号二-1）这样说有点废话，但你只能这么理解！！！
判断无限不循环小数有一个方法：所有带根号的数（根号4这种除外），π，除不尽的分数，都是无理数！！
我才初四，我数学很不错的！！(*^__^*) 嘻嘻……
tt白 -
实数分为：有理数和无理数
有理数：无限小数 有限小数 正负整数 0
无理数:所有无限不循环小数统称为无理数（包括圆周率和根号之类的数）
你能看到的数都是实数，实数是相当于虚数而言的，什么是虚数呢？一个方程它的解不存在，我们就可以说它有虚数解。
十年阿桑 -
实数一般分为：有理数和无理数
有理数：无限小数 有限小数 正负整数 0
无理数:所有无限不循环小数统称为无理数（包括圆周率）
可可科科 -
有理数和无理数都是实数！有理数：无限循环小数，分数，整数之类的。 无理数：无限不循环小数！（应该是正确的）！
陶小凡 -
有理数和无理数统称为实数。
有理数就是正整数，负整数，0，正的负的分数，有限小数，循环小数。
无理数是无限不循环小数。