- 小菜G的建站之路
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是的,有相似的公式。可以这样推:不防设
双曲线
焦点在x轴,P点在右支曲线上。在三角形PF1F2由
正弦定理
得sina/PF2=sinb/PF1=sin(pi-(a+b))/F1F2=sin(a+b)/F1F2,再由分式性质得:(sinb-sina)/(PF1-PF2)=sin(a+b)/F1F2,注意到双曲线中,PF1-PF2=2a,F1F2=2c,于是导出双曲线
离心率
表达式e=2c/(2a)=F1F2/(PF1-PF2)=sin(a+b)/(sinb-sina)。同理若P在左支曲线则e=sin(a+b)/(sina-sinb),希望对你有所帮助。
- meira
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设∠fu2081pfu2082=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为p在双曲线上,由定义|pfu2081-pfu2082|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
fu2081fu2082的平方=pfu2081平方+pfu2082平方-2pfu2081pfu2082cosα
=|pfu2081-pfu2082|平方+2pfu2081pfu2082-2pfu2081pfu2082cosα
(2c)^2=(2a)^2+2pfu2081pfu2082-2pfu2081pfu2082cosα
pfu2081pfu2082=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2pfu2081pfu2082sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
- 豆豆staR
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【题1】 已知F1,F2是双曲线4(x2)-y2=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( ).
A.1 B.2(5) C.2 D.
A 解析:解法一:设|PF1|=d1,|PF2|=d2,[来源:学_科_网]
由双曲线的定义可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90°,
于是有d1(2)+d2(2)=|F1F2|2=20,
因此,=2(1)d1d2=4(1)(d1(2)+d2(2)-|d1-d2|2)=1.
解法二:由4(x2)-y2=1,知|F1F2|=2.
设P点的纵坐标为yP,由于∠F1PF2=90°,则P在以|F1F2|为直径的圆上,即在x2+y2=5上.[来源:学科网]
由x2-4y2=4,(x2+y2=5,)消去x得|yP|=5(5).
故△F1PF2的面积S=2(1)|F1F2|·|yP|=1.
【题2】 已知有相同两焦点F1、F2的椭圆m(x2)+y2=1(m>1)和双曲线n(x2)-y2=1(n>0),P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.随m、n变化而变化
【解析】 ∵|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=±2,又m-1=n+1,
∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2.
【答案】 B
【题3】 已知双曲线a2(x2)-b2(y2)=1(a>0,b>0),其焦点为F1、F2,过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点,且|AB|=m,则△ABF2的周长是( )
A.4a B.4a-m
C.4a+2m D.4a-2m
[答案] C
【题4】 已知双曲线9(x2)-16(y2)=1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上一点P使∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( )
A.12 B.16 C.24 D.32
[答案] B
[解析] 由定义||PF1|-|PF2||=6,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,
∴|PF1||PF2|=32,
∴S△PF1F2=2(1)|PF1|·|PF2|=16.
【题5】 已知双曲线C:9(x2)-16(y2)=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.24 B.36 C.48 D.96
[答案] C
[解析] 依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16,因此△PF1F2的面积等于2(1)×16×2(16)=48,选C.
【题6】 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P点在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )
A.2(3) B.2(6)
C. D.
解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设m>n,P(x,y),|PF1|-|PF2|=m-n=2.在△F1PF2中,由余弦定理得
(2)2=m2+n2-2mncos60°,
∴8=(m-n)2+mn.
∴mn=4.
由△F1PF2的面积相等,得
2(1)×2×|y|=2(1)mnsin60°,
即|y|=2(1)×4×2(3).
∴|y|=2(6).
即P到x轴的距离为2(6).
答案 B
【题7】 椭圆49(y2)+24(x2)=1与双曲线y2-24(x2)=1有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ( )
A.48 B.24
C.24 D.12
解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得
||PF1|-|PF2||=2,(|PF1|+|PF2|=14,)所以|PF2|=6,(|PF1|=8,)或|PF2|=8.(|PF1|=6,)
又|F1F2|=10,
∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.
因此△PF1F2的面积S=2(1)|PF1||PF2|=2(1)×6×8=24.
答案:B
【题8】 已知点P是双曲线a2(x2)-b2(y2)=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+2(1)S△IF1F2成立,则双曲线的离心率为( )
A.4 B.2(5) C.2 D.3(5)
【解析】 由S△IPF1=S△IPF2+2(1)S△IF1F2得,|PF1|=|PF2|+2(1)×2c,P是右支上的点,所以|PF1|=|PF2|+2a,即有2(1)×2c=2a,e=2,选C.
【答案】 C