兔子数列的通项公式以及如何证明？

解释：斐波那契数列，是数学家列昂纳多斐波那契，以兔子繁殖为例子而引入，故又称为兔子数列。举例：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义F0等于0，F1等于1，Fn等于Fn减1加Fn减2，n大于等于2，n属于N在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

兔子数列，也就是著名的斐波纳契数列（FibonacciSequence），又称黄金分割数列。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。1、1、2、3、5、8、13、21、……通项公式是：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}

兔子数列通常是指以下数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，…… 一对小兔到第二个月长成大免子，第三个月生下一对小免子。每对小兔子到第二个月都长成大兔子，并且到第三个月也生下一对小兔子。假设这些兔子没有死亡，且总能繁衍后代。那么，逐月的兔子对数就构成了以上数列。

菲波那切数列又名兔子数列，后面的数等于前面两个数的和。

【兔子数列】 　　 即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”. 　　斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为： (1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 　　很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的. 【该数列有很多奇妙的属性】 　　比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… 　　还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1. 　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到. 　　如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值. 　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数. 【斐波那契数列别名】 　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”. 　　斐波那契数列 　　一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子? 　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 　　第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对; 　　两个月后,生下一对小兔民数共有两对; 　　三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对; 　　－－－－－－ 　　依次类推可以列出下表： 　　经过月数：0 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 　　兔子对数：1 1 2 35 8 13 21 34 55 89 144 233 　　表中数字0,1,1,2,3,5,8－－－构成了一个数列.这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项. 　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外,还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2)n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.） 【斐波那挈数列通项公式的推导】 　　斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21…… 　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式： 　　F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3) 　　显然这是一个线性递推数列. 　　通项公式的推导方法一：利用特征方程 　　线性递推数列的特征方程为： 　　X^2=X+1 　　解得 　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2. 　　则F(n)=C1*X1^n +C2*X2^n 　　∵F(1)=F(2)=1 　　∴C1*X1 + C2*X2 　　C1*X1^2 + C2*X2^2 　　解得C1=1/√5,C2=-1/√5 　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 　　通项公式的推导方法二：普通方法 　　设常数r,s 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　则r+s=1, -rs=1 　　n≥3时,有 　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] 　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] 　　…… 　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 　　将以上n-2个式子相乘,得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] 　　∵s=1-r,F(1)=F(2)=1 　　上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) 　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) 　　…… 　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) 　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) 　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和） 　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) 　　=(s^n - r^n)/(s-r) 　　r+s=1, -rs=1的一解为s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2 　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n- [(1-√5)/2]^n} 　　 　　斐波那契数列（f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2……）的其他性质： 　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1 　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1 　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1) 　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1 　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n) 　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1) 　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 　　1 　　1 1 　　1 2 1 　　1 3 3 1 　　1 4 6 4 1 　　…… 　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线,之后做直线的平行线,将每条直线所过的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8…… 　　 （1）细察下列各种花,它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花. 　　（2）细察以下花的类似花瓣部分,它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊. 　　斐波那契数经常与花瓣的数目相结合： 　　3………………………百合和蝴蝶花 　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 　　8………………………翠雀花 　　13………………………金盏草 　　21………………………紫宛 34,55,84……………雏菊、 （3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现. 例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子（假定没有折损）,直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数.叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回.叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数.在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词,意即叶子的排列）比.多数的叶序比呈现为斐波那契数的比. 　　（4）斐波那契数列与黄金比值 　　相继的斐波那契数的比的数列： 　　它们交错地或大于或小于黄金比的值.该数列的极限为.这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线,那里也就会出现斐波那契数,反之亦然. 　　可它的每一项却都是整数.而且这个数列中相邻两项的比值,越靠后其值越接近0.618.这个数列有广泛的应用,如树的年分枝数目就遵循斐波那契数列的规律；而且计算机科学的发展,为斐波那契数列提供了新的应用场所.

兔子数列 即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学. 斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的. 【该数列有很多奇妙的属性】 比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… 还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1. 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到. 如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值. 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数.

兔子数列又叫斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、…… 它的特点是这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

兔子数列在生活中有什么用介绍如下：兔子数列是一个有趣的数学问题，它描述了一对兔子在n个月内可以繁殖出的后代数量。正常情况下，一对兔子每个月会生出一对小兔子，假设这些小兔子两个月后就能繁殖出自己的后代，此时一对兔子的后代数量就是前两个月的兔子总数之和。所以，依据这种模型，我们可以得到一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13……通过观察这个数列，我们可以发现其中的规律并探索它的性质。【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到。如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。

兔子数列是斐波那契数列的一种变形，其中第0项为0，第1项为1，从第2项开始，每一项都是前两项的和，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)（n>=2）。因此，兔子数列的前100项如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429我们可以通过观察兔子数列中每一项的奇偶性来判断100以内有几个偶数。显然，第0项是偶数，第1项是奇数，从第2项开始，每一项都是前两项的和，因此，如果前两项中有偶数，那么第三项就是奇数，如果前两项中都是奇数，那么第三项就是偶数。因此，我们可以列出以下表格来观察兔子数列中前100项的奇偶性：| 序号 | 兔子数列第n项 | 奇偶性 || :--: | :-----------: | :----: || 0 | 0 | 偶数 || 1 | 1 | 奇数 || 2 | 1 | 奇数 || 3 | 2 | 偶数 || 4 | 3 | 奇数 || 5 | 5 | 奇数 || 6 | 8 | 偶数 || 7 | 13 | 奇数 || 8 | 21 | 奇数 || 9 | 34 | 偶数 || 10 | 55 | 奇数 || 11 | 89 | 奇数 || 12 | 144 | 偶数 || 13 | 233 | 奇数 || 14 | 377 | 奇数 || 15 | 610 | 偶数 || 16 | 987 | 奇数 || 17 | 1597 | 奇数 || 18 | 2584 | 偶数 || 19 | 4181 | 奇数 || 20 | 6765 | 奇数 || 21 | 10946 | 偶数 || 22 | 17711 | 奇数 || 23 | 28657 | 奇数 || 24 | 46368 | 偶数 || 25 | 75025 | 奇数 || 26 | 121393 | 奇数 || 27 | 196418 | 偶数 || 28 | 317811 | 奇数 || 29 | 514229 | 奇数 || 30 | 832040 | 偶数 || 31 | 1346269 | 奇数 || 32 | 2178309 | 奇数 || 33 | 3524578 | 偶数 || 34 | 5702887 | 奇数 || 35 | 9227465 | 奇数 || 36 |14930352 | 偶数 || 37 |24157817 | 奇数 || 38 |39088169 | 奇数 || 39 |63245986 | 偶数 || 40 |102334155 | 奇数 || 41 |165580141 | 奇数 || 42 |267914296 | 偶数 || 43 |433494437 | 奇数 || 44 |701408733 | 奇数 || 45 |1134903170 | 偶数 || 46 |1836311903 | 奇数 || 47 |2971215073 | 奇数 || 48 |4807526976 | 偶数 || 49 |7778742049 | 奇数 || 50 |12586269025 | 奇数 || 51 |20365011074 | 偶数 || 52 |32951280099 | 奇数 || 53 |53316291173 | 奇数 || 54 |86267571272 | 偶数 || 55 |139583862445 | 奇数 || 56 |225851433717 | 奇数 || 57 |365435296162 | 偶数 || 58 |591286729879 | 奇数 || 59 |956722026041 | 奇数 || 60 |1548008755920 | 偶数 || 61 |2504730781961 | 奇数 || 62 |4052739537881 | 奇数 || 63 |6557470319842 | 偶数 || 64 |10610209857723 | 奇数 || 65 |17167680177565 | 奇数 || 66 |27777890035288 | 偶数 || 67 |44945570212853 | 奇数 || 68 |72723460248141 | 奇数 || 69 |117669030460994| 偶数 || 70 |190392490709135| 奇数 || 71 |308061521170129| 奇数 || 72 |498454011879264| 偶数 || 73 |806515533049393| 奇数 || 74 |1304969544928657| 奇数 || 75 |2111485077978050| 偶数 || 76 |3416454622906707| 奇数 || 77 |5527939700884757| 奇数 || 78 |8944394323791464| 偶数 || 79 |14472334024676221| 奇数 || 80 |23416728348467685| 奇数 || 81 |37889062373143906| 偶数 || 82 |61305790721611591| 奇数 || 83 |99194853094755497| 奇数 || 84 |160500643816367088|偶数 || 85 |259695496911122585|奇数 || 86 |420196140727489673|奇数 || 87 |679891637638612258|偶数 || 88 |1100087778366101931|奇数|| 89 |1779979416004714189|奇数|| 90 |2880067194370816120|偶数|| 91 |4660046610375530309|奇数|| 92 |7540113804746346429|奇数|由上表可知，兔子数列前100项中，有50个偶数。

有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？结果：兔子数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

公式如下:一、递归公式：a1=1;a2=1;a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)二、通项公式：a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}三、证明过程：（方法：数学归纳）1。当n=1时，a1=1,例题成立；2。设当n=k时，命题成立，即：a(k)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}那么，当n=k+1时，有：a(k+1)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k-1)-[(1-√5)/2]^(k-1)}为了写法方便，令c=(1/√5),A＝(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))其中，1+A=A^2,1+B=B^2;(计算一下就知道了。）于是上式为:a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k+1)-[(1-√5)/2]^(k+1)}

斐波那契数列（意大利语: Successione di Fibonacci)，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。特别指出：0不是第一项，而是第零项。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

斐波那契数列最开始是以兔子繁殖为例的一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔民数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

a(1)=1，a(2)=1，a(3)=2，a(4)=3，……，a(n)=a(n-1)+a(n-2).通项公式是a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}.别叫兔子数列，人家是斐波那契（Fibonacci）数列。这个数列的通项公式也不难计算，可以参见http://zhidao.baidu.com/question/63335536.html自然界中有很多Fibonacii中的数存在，因为里面有一个黄金分割数在里头，黄金分割点也是自然界现象中的常见规律，还有花序以及向日葵的旋转角等，都与之相关。

一对小兔兔，出生后第3个月起每个月都生一对兔子，等小兔子长到第3个月后每个月又可以生一对兔子，如果兔子都长生不死，请问每个月的兔子总数是多少？ 每月的兔子数分别为: 1,1,2,3,5,8,13,21... 即斐波那契数列 斐波那契数列：斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对,便筑了一道围墙把一对兔子关在里面.已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子,而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子.假如一年内没有发生死亡,则一对兔子一年内能繁殖成多少对?我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对 两个月后,生下一对小兔民数共有两对 三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对 －－－－－－ 依次类推可以列出下表：经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 幼仔对数 0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列.这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项.这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外,还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.）

是0 因为兔子数列是两两数字之和为下一个数 所以它们除以3所得余数，也是前两个数的余数之和，除以3的余数 所以，规律是1、1、2、0、2、2、1、0（不断重复啊~） 那所以220除以8=27......4 所以余数是第4个，也就是0~

中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题:假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子,再过一个月就开始生下一对小兔子,并且以后每个月都生一对小兔子.设所生一对兔子均为一雄一雌,且均无死亡.问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子 结论:兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案1,1,2,3,5,8,13,21,34,...此数列{an}满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的 斐波那契数列. ^_^公式如下:一、递归公式： a1=1; a2=1; a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)二、通项公式： a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}三、证明过程：（方法：数学归纳）1。当n=1时，a1=1,例题成立；2。设当n=k时，命题成立，即： a(k)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}那么，当n=k+1时，有： a(k+1)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k - [(1-√5)/2]^k}+ (1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k-1) - [(1-√5)/2]^(k-1)}为了写法方便，令c=(1/√5),A=(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为： a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1)) =c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))其中，1+A=A^2,1+B=B^2;(计算一下就知道了。）于是上式为： a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1)) =(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k+1) - [(1-√5)/2]^(k+1)}

数列1,2,3,5,8,13,21,34···是有名的斐波那契数列。将第一个数加上第二个数得到第三个数，以此类推。这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。拓展资料：斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。参考资料来源：百度百科-斐波那契数列

是0因为兔子数列是两两数字之和为下一个数所以它们除以3所得余数，也是前两个数的余数之和，除以3的余数所以，规律是1、1、2、0、2、2、1、0（不断重复啊~）那所以220除以8=27......4所以余数是第4个，也就是0~

每个月兔子的成对个数分别是1，1，2，3，5，8，13，21，等等。 如果数列的第n项项以f(n)表示，则f(n+1)=f(n)+f(n-1)。这样计算下来，第十二个月的时候总共有144对兔子，即288只兔子。

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 幼仔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。斐波那契数列一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子?我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔民数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;------依次类推可以列出下表:经过月数:0123456789101112兔子对数:1123581321345589144233表中数字0，1，1，2，3，5，8---构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是:前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为:an=1/√[(1+√5/2)n-(1-√5/2)n](n=1,2,3.....)

兔子数列也叫斐波那契数列，又称黄金分割数列。斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列。因数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。网页链接

兔子数列，也就是著名的斐波纳契数列（FibonacciSequence），又称黄金分割数列。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。1、1、2、3、5、8、13、21、……通项公式是：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。斐波那契数列一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子?我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔民数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;------依次类推可以列出下表:经过月数:0123456789101112兔子对数:1123581321345589144233表中数字0，1，1，2，3，5，8---构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是:前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为:an=1/√[(1+√5/2)n-(1-√5/2)n](n=1,2,3.....)

即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。　　斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】　　很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【该数列有很多奇妙的属性】　　比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……　　还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。　　如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。【斐波那契数列别名】　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。　　斐波那契数列　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; 　　－－－－－－ 　　依次类推可以列出下表： 　　经过月数：0 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 　　兔子对数：1 1 2 35 8 13 21 34 55 89 144 233 　　表中数字0，1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2)n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）【斐波那挈数列通项公式的推导】　　斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：　　F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)　　显然这是一个线性递推数列。　　通项公式的推导方法一：利用特征方程　　线性递推数列的特征方程为：　　X^2=X+1　　解得　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.　　则F(n)=C1*X1^n +C2*X2^n　　∵F(1)=F(2)=1　　∴C1*X1 + C2*X2　　C1*X1^2 + C2*X2^2　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】　　通项公式的推导方法二：普通方法　　设常数r,s　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]　　则r+s=1, -rs=1　　n≥3时，有　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]　　……　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]　　将以上n-2个式子相乘，得：　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1　　上式可化简得：　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)　　那么：　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)　　……　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)　　=(s^n - r^n)/(s-r)　　r+s=1, -rs=1的一解为s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n- [(1-√5)/2]^n}　　　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列　　1　　1 1　　1 2 1　　1 3 3 1　　1 4 6 4 1　　……　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8……　　（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。　　（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。　　斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：　　3………………………百合和蝴蝶花　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草　　8………………………翠雀花　　13………………………金盏草　　21………………………紫宛34，55，84……………雏菊、（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。　　（4）斐波那契数列与黄金比值　　相继的斐波那契数的比的数列：　　它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。　　可它的每一项却都是整数。而且这个数列中相邻两项的比值，越靠后其值越接近0.618。这个数列有广泛的应用，如树的年分枝数目就遵循斐波那契数列的规律；而且计算机科学的发展，为斐波那契数列提供了新的应用场所。

数学上称为斐波那契数列，1 1 2 3 5 8 13 21。。。。这个数列的通项公式可以用特征根法求解，具体的通项公式是an={[(√5+1)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5，这个数列很有意思，有很多有趣的性质，比如an/an-1的极限黄金分割即等于(√5-1)/2=0.618，你可以发现这个数列每一项都是整数，但是其通项公式却是用无理数表示的。不知道你是几年级的，其实就算你是高中生的话不会求斐波那契数列的通项公式是可以理解的，这种数列的求法是比较难的，会求斐波那契数列的话就很不错了，如果你是初中生或者小学生，那么完全没有必要知道斐波那契数列的通项公式怎么推导出来的。特征根法涉及的内容很多，里面涉及到复数的欧拉公式以及复数的三角形式和复数的乘方之类的知识，比较难。

兔子数列通常是指以下数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,…… 一对小兔到第二个月长成大免子,第三个月生下一对小免子.每对小兔子到第二个月都长成大兔子,并且到第三个月也生下一对小兔子.假设这些兔子没有死亡,且总能繁衍后代.那么,逐月的兔子对数就构成了以上数列.

兔子数列，也就是著名的斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。1、1、2、3、5、8、13、21、……通项公式是：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}

斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)n大于等于2属于正整数。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子对数为多少？ 兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21....符合斐波那契数列规律 <pre> /** <pre> 第1个月的兔子对数为：1 第2个月的兔子对数为：1 第3个月的兔子对数为：2 第4个月的兔子对数为：3 第5个月的兔子对数为：5 第6个月的兔子对数为：8 第7个月的兔子对数为：13 第8个月的兔子对数为：21 第9个月的兔子对数为：34 第10个月的兔子对数为：55 第11个月的兔子对数为：89 第12个月的兔子对数为：144 </pre>

兔子数列也叫斐波那契数列，又称黄金分割数列。斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列。因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。网页链接

解：∵斐波那契数列有一个性质：一个固定的正整数除所有的斐波那契数，所得余数组成的数列是有周期的。∴先确定正整数8除斐波那契数的周期：项数 斐波那契数 除以8的余数 1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 5 5 6 8 0 7 13 5 8 21 5 9 34 2 10 55 7 11 89 1 12 144 0 13 233 1 14 377 1 15 610 2 16 987 3 17 1597 5 18 2584 0 19 4181 5 20 6765 5 21 10946 2 22 17711 7 23 28657 1 24 46368 0 25 75025 1 26 121393 1 27 196418 2 28 317811 3 29 514229 5 30 832040 0 31 1346269 5 32 2178309 5 33 3524578 2 34 5702887 7 35 9227465 1 36 14930352 0 37 24157817 1 38 39088169 1 39 63245986 2 40 102334155 3 可见其周期是12∵2008÷12=167......4∴斐波那契数列第2008项除以8的余数和第4项除以8的余数相同∵斐波那契数列第4项除以8的余数是3 【见上表第4项的余数】∴斐波那契数列第2008项除以8的余数就是3【说明：2008除以12得到余数4，是为了确定第2008项和第4项在周期中的位置相同，与斐波那契数本身除以8的余数不是一回事。为了看清周期，这里多排了几个，实际计算时至多算2个周期就足够了，必要时看到新的周期开始就可以了。另外，如果给出的某个项数（相当于本题的2008）除以12，余数为0(即除尽)，就看第12项除以8的余数，因为12除以12的余数也为0。】

1、斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，提出时间为1202年。2、递推数列递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列。求递推数列通项公式的常用方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法等共十种方法。3、Look-and-say 数列Look-and-say 数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音。4、帕多瓦数列帕多瓦数列是由帕多瓦总结而出的。它的特点为从第四项开始，每一项都是前面2项与前面3项的和。5、卡特兰数卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。参考资料来源：百度百科-斐波那契数列参考资料来源：百度百科-递推数列 参考资料来源：百度百科-Look-and-say 数列参考资料来源：百度百科-帕多瓦数列参考资料来源：百度百科-卡特兰数

13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔民数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对 －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 幼仔对数 0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）满意请采纳

斐波那契数列最开始是以兔子繁殖为例的，也就是兔子繁殖规律。生活斐波那契斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5……………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21……………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）。斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)，显然这是一个线性递推数列。扩展资料：斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。另外斐波纳希还在计算机C语言程序题中应用广泛。参考资料来源：百度百科——斐波那契数列

公式如下:一、递归公式：a1=1;a2=1;a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)二、通项公式：a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}三、证明过程：（方法：数学归纳）1。当n=1时，a1=1,例题成立；2。设当n=k时，命题成立，即：a(k)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}那么，当n=k+1时，有：a(k+1)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k-1)-[(1-√5)/2]^(k-1)}为了写法方便，令c=(1/√5),A=(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))其中，1+A=A^2,1+B=B^2;(计算一下就知道了。）于是上式为：a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k+1)-[(1-√5)/2]^(k+1)}证毕。我的妈呀，累死我了，呵呵。

著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

斐波那契数列最开始是以兔子繁殖为例的一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔民数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

a(1)=1，a(2)=1，a(3)=2，a(4)=3，……，a(n)=a(n-1)+a(n-2).通项公式是a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.别叫兔子数列，人家是斐波那契（Fibonacci）数列。 这个数列的通项公式也不难计算，可以参见http://zhidao.baidu.com/question/63335536.html自然界中有很多Fibonacii中的数存在，因为里面有一个黄金分割数在里头，黄金分割点也是自然界现象中的常见规律，还有花序以及向日葵的旋转角等，都与之相关。

一对小兔兔，出生后第3个月起每个月都生一对兔子，等小兔子长到第3个月后每个月又可以生一对兔子，如果兔子都长生不死，请问每个月的兔子总数是多少？ 每月的兔子数分别为: 1,1,2,3,5,8,13,21... 即斐波那契数列 斐波那契数列：斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

递归公式：a1=1;a2=1;a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)通项公式：a(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}证明过程：（方法：数学归纳）1.当n=1时，a1=1,例题成立；2.设当n=k时，命题成立，即：a(k)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}那么，当n=k+1时，有：a(k+1)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k-1)-[(1-√5)/2]^(k-1)}为了写法方便，令c=(1/√5),A=(1+√5)/2,B=(1-√5)/2，于是上式为：a(k+1)=c(A^k+A^(k-1)-B^k-B^(k-1))=c(A^(k-1)(1+A)-B^(k-1)(1+B))其中，1+A=A^2,1+B=B^2;于是上式为：a(k+1)=c(A^(k+1)-B(K+1))=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(k+1)-[(1-√5)/2]^(k+1)}

没有区别，是一个意思是同一类数列，例如0、1、1、2、3、5、8、13、21??从第三项起，它的每一项都等于前两项的和。斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔民数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对 －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 幼仔对数 0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）满意请采纳

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。【奇妙的属性】　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列　　1　　1 1　　1 2 1　　1 3 3 1　　1 4 6 4 1　　……　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……　　斐波那契数与植物花瓣　　3………………………百合和蝴蝶花　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草　　8………………………翠雀花　　13………………………金盏草　　21………………………紫宛　　34、55、89……………雏菊　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。【相关的数学问题】　　1.排列组合　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。　　2.数列中相邻两项的前项比后项的极限　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。　　3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式　　由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。【斐波那契数列别名】　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对；　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；　　－－－－－－ 　　依次类推可以列出下表： 　　经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12　　兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144　　表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 　　这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2）n-（1-√5/2） n]（n=1,2,3.....）

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。斐波那契数列一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔民数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;－－－依次类推可以列出下表：经过月数：0123456789101112兔子对数：1123581321345589144233表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2)n-(1-√5/2)n](n=1,2,3...）

兔子数列是在六年级下册数学 知识点为“斐波那契数列”子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多u2022斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。