可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系是什么？

函数可导（可微）定义:(1)点可导:设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。(2)区间可导：若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

可导的条件：1、函数在该点的去心邻域内有定义。2、函数在该点处的左、右导数都存在。3、左导数＝右导数。这与函数在某点处极限存在是类似的。函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。函数可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。

根据导数定义，在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。函数在某点二阶导数=它的一阶导数在此点再次求导，函数在某点二阶导数存在则在该点一阶导数不但存在，而且连续。导函数如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y"、f"（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。以上内容参考：百度百科-导数

函数可导定义：若f(x)在x0处连续，则当a趋向于0时，／a存在极限，则称f(x)在x0处可导。微积分是在17世纪末由英国物理学家、数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨建立起来的。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。简介如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积。对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。可微与连续的关系：可微与可导是一样的。可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

1、函数可导的定义：判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f"(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。2、函数f (z)=u(x，y)+iv(x，y)：解析的充要条件为U，V 在区域D上可微(即为存在且连续)，并且满足C.-R.方程。可通过解析的充要条件进行判断解析性区域。概念分析设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

函数可导的意思就是函数的导数有意义。详细解释：在数学中，函数的导数表示了函数在不同点上的斜率或变化速率。如果一个函数在某一点处具有导数，那么这个函数在该点附近是光滑且连续的，其变化率可以通过导数计算得出。导数的意义：函数的导数提供了许多重要的信息。首先，导数可以用来确定函数的最大值和最小值，即函数的极值点。其次，导数还可以帮助我们分析函数的曲线形状，例如确定函数的凹凸性和拐点位置。此外，导数还可应用于求解方程、优化问题以及建模等各种领域。注意点：需要注意的是，并非所有函数都在每个点都可导。一个函数在某个点不可导可能是因为在该点处存在断点、尖点或者函数在该点没有定义等原因。如果函数在某个点处不存在导数，我们称之为不可导点。导数的应用：1、极值问题导数可用于确定函数的最大值和最小值。通过求解导数为零或不存在的点，可以找到函数的极值点，并判断它们是局部最大值还是局部最小值。2、凹凸性和拐点导数可用于分析函数的曲线形状。通过检查导数的正负和变号情况，可以确定函数的凹凸性，即函数曲线的弯曲方向。拐点是函数曲线由凹变凸或由凸变凹的位置，可以通过导数的二阶导数来确定。3、方程求解导数可用于求解方程。通过将方程转化为等式，然后求取导数，我们可以找到函数图像上与横坐标轴相交的点，这些点对应于方程的解。4、优化问题导数在优化问题中具有重要作用。例如，在最小化成本或最大化利润的生产问题中，通过计算函数的导数来确定使函数达到极值的输入变量。5、物理学和工程学导数在物理学和工程学中广泛应用。例如，速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。通过对运动和力学问题中的函数进行微分，可以获得与速度、加速度和力量相关的信息。6、经济学和金融学导数在经济学和金融学研究中也有许多应用。例如，边际效用是对效用函数的导数，边际成本是对成本函数的导数。这些概念帮助我们理解和优化经济和金融决策。

若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导。若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。函数在定义域中一点可导的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x)，xu21a6f"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

可导 ，当X趋近于0时,左右极限都为0,即左右极限相等,函数可导。求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。注意事项：1、不是所有的函数都可以求导；2、可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导（如y=|x|在y=0处不可导）。

函数可导的条件是函数在某一点处的导数存在。一般来说，函数在某一点可导的条件包括以下两个方面：1. 函数在该点处存在极限： 函数在该点的左极限和右极限存在，并且相等。也就是说，函数在该点处的极限存在。2. 导数存在： 函数在该点处的左导数和右导数存在，并且相等。也就是说，函数在该点处的导数存在。综合来说，函数在某一点可导的条件是函数在该点处的极限存在且导数存在。需要注意的是，函数在某一点可导并不意味着函数在该点处连续，因为函数连续的条件更为宽松。函数可导的条件更加严格，需要函数在该点处的极限和导数都存在。

函数可导定义： （1）若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导. （2）若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导. 函数在定义域中一点可导的条件： 函数在该点的左右两侧导数都存在且相等.

一、概念不同1、可导函数：若其在定义域中每一点导数存在，则实变量函数是可导函数。2、不可导函数：其在定义域中有一点导数不存在，则实变量函数是不可导函数。二、证明过程不同1、可导函数：如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。2、不可导函数：只需要证明一个函数在定义域内，有一个点不可导，则该函数就是不可导函数。扩展资料如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数不是在定义域上处处可导。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。参考资料来源：百度百科-可导函数参考资料来源：百度百科-可导

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。（2）若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。扩展资料函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点X处连续，反之，函数y=f（x）在点x处连续，但函数y=f（x)处不一定可导！充要条件：函数在点X处可导的充要条件是函数在点X处的左导数和右导数都存在并且相等。

对于一元函数；先证明它的连续性，如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点X处连续，反之，函数y=f（x）在点x处连续，但函数y=f（x)处不一定可导；1、如果其导数存在，那么必连续；2、定义法：左连续=右连续=函数值；可导性，1、定义法；2、对于初级函数，都是可导的；扩展资料：对于可导的函数f(x)，xu21a6f"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。可微一定可导。但是可导不一定可微。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。 什么是可导 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义:（1）设f（x）在x0及其附近有定义，则当a趋向于0时，若[f（x0+a）-f（x0）]/a的极限存在，则称f（x）在x0处可导。 （2）若对于区间（a，b）上任意一点m，f（m）均可导，则称f（x）在（a，b）上可导。 什么是可微 设函数y=f（x），若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系。Δy=A×Δx+ο（Δx），其中A为不依赖Δx的常数，ο（Δx）是比Δx高阶的无穷小。则称函数f（x）在点x可微，并称AΔx为函数f（x）在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x=x0时，则记作dy∣x=x0。

导函数的基本公式如图所示：求导法则：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f"(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

可导的充要条件如下：1、函数在该点的去心邻域内有定义。2、函数在该点处的左、右导数都存在。3、左导数＝右导数。这与函数在某点处极限存在是类似的。函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。函数可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。函数可导定义：若f(x)在x0处连续，则当a趋向于0时，[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限，则称f(x)在x0处可导；若对于区间里面(a,b)上任意一点m,f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。函数在定义域中一点可导的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x),x→f"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。关于函数的可导导数和连续的关系：1、连续的函数不一定可导。2、可导的函数是连续的函数。3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。4、存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

关于函数的可导导数和连续的关系：1、连续的函数不一定可导。2、可导的函数是连续的函数。3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。4、存在处处连续但处处不可导的函数。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。偏导数的求法：当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f"x(x0,y0) 与 f"y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。

是可导函数，导函数为0如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等） 一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y">0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y"& lt;0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y"=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数

某点可导定义：设函数y = f (x) 在点x0 的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0 处取得增量 △x（x0+△x 仍在该邻域内）时，相应的因变量y 取得增量 △y = f (x0 + △x) - f (x0) ；若 △y 与 △x 之比当△x ->0 时的极限存在，则称函数y = f (x) 在点x0 处可导，并称这个极限值为函数y = f (x) 在点x0 处的导数，记为y ‘(x0) 如果函数 y = f (x) 在开区间 I 内的每点处都可导，则称函数 f (x) 在开区间 I 内可导。

函数可导的条件取决于函数的定义域和性质。以下是函数可导的一般条件：1.存在导数函数在某个点上可导意味着在该点处存在导数。导数表示函数在某一点的变化率。如果函数在某个点的导数存在，则说明函数在该点可导。2. 函数连续通常情况下，函数在某一点可导要求该点处函数连续。如果函数在某个点不连续，那么在该点处的导数将不存在。因此，函数连续性是函数可导的一个重要条件。3. 极限存在函数在某个点可导还要求该点的左极限和右极限存在且相等。左极限和右极限表示函数从左侧和右侧趋近于该点时的极限值。如果左极限和右极限存在且相等，那么函数在该点处的导数存在。这些是一般情况下函数可导的条件。在特殊情况下，某些函数可能在某个点处满足这些条件，但导数仍然不存在（如间断点）。此外，存在一类特殊的函数，称为光滑函数，它在定义域内各点都可导。另外，对于一元函数来说，可导性还有更具体的判定条件，如柯西—黎曼判别法、拉格朗日中值定理等。对于多元函数，可导性的判定则依赖于偏导数和梯度的存在与连续性。函数求导的方法函数求导的方法主要有以下几种：1.导数定义法使用导数的定义进行计算。对于函数 f(x)，其导数 f"(x) 可以用极限的形式表示为 f"(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。通过计算该极限来求得导数值。2. 基本求导法则利用常见函数的导数公式进行求导。常见函数的导数公式包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。可以根据这些公式将函数逐步简化，并利用导数的四则运算法则求得最终结果。3. 链式法则对于由多个函数复合而成的复杂函数，可以利用链式法则进行求导。链式法则表达了复合函数求导的规律，即如果 y = f(g(x))，其中 g(x) 是中间函数，f(u) 是最外层函数，则 y" = f"(g(x)) * g"(x)。4. 隐函数求导法则当函数关系以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法则来求导。该法则利用了偏导数的概念，通过对方程两边同时求导来求出隐函数的导数。5. 参数方程求导法则如果函数关系以参数形式给出，即 x = f(t) 和 y = g(t)，可以利用参数方程求导法则来求导。该法则通过对 x 和 y 同时关于参数 t 求导，然后运用导数定义计算 dy/dx。除了上述常用的方法外，还有其他高级的求导技巧，如高阶导数、泰勒展开、极值判定等。这些技巧在更复杂的函数求导问题中发挥重要作用。不同的函数会涉及不同的求导方法，因此根据具体情况选择合适的方法进行求导。函数可导的条件的应用函数可导的条件在数学和物理等领域中有广泛的应用。以下是一些函数可导条件的应用示例：1.极值点的判定利用函数可导的条件可以判断函数的极值点。对于单变量函数，如果函数在某个点导数存在且为零，那么该点可能是极值点。通过进一步的分析，可以确定是否为极大值或极小值。对于多元函数，可以利用偏导数和梯度的信息来判断函数的极值点。2. 切线和法线的求取函数可导的条件可用于求取函数曲线上某点处的切线和法线。在某个点处，函数的导数即为切线的斜率。利用该斜率和该点的坐标，可以得到函数曲线在该点处的切线方程。法线垂直于切线，因此其斜率为负切线斜率的倒数。3. 函数图像的绘制函数可导条件提供了函数图像绘制的有用信息。根据导数值的正负性可以确定函数在不同区间的增减性。如果导数始终为正，则函数是单调递增的；如果导数始终为负，则函数是单调递减的；如果导数为零，则函数可能存在极值点。4. 牛顿法求根牛顿法是一种利用函数的导数进行迭代逼近的方法，用于求解方程的根。在每次迭代中，根据当前点处的函数值和导数值来更新下一个点的位置，直到满足收敛条件。牛顿法在优化问题和数值计算中有广泛应用。5. 物理运动的描述在物理学中，函数可导条件广泛用于描述物体的运动。例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。通过求取导数可以得到物体在不同时刻的速度和加速度，从而更好地理解物体的运动行为。函数可导的条件的例题例题1：考虑函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1。验证函数 f(x) 在整个实数域上是否可导。解答1：要验证函数 f(x) 是否可导，需要检查函数在整个实数域上的导数是否存在。计算函数的导数 f"(x) = 6x + 2。由此可知，函数 f(x) 的导数在整个实数域上是存在的，因此函数 f(x) 在整个实数域上是可导的。例题2：对于函数 g(x) = |x|，判断函数 g(x) 是否可导，并找出其可导的区间。解答2：函数 g(x) = |x| 在 x = 0 处导数不存在，因为在该点导数的左右极限不相等。所以函数 g(x) 在 x = 0 处不可导。然而，在除了 x = 0 的所有实数上，g(x) 的导数恒为 1 或 -1。因此，函数 g(x) 在除了 x = 0 的所有实数上是可导的。这些例题说明了如何根据函数的表达式和导数的定义来判断函数是否可导，并确定可导的区间。对于更复杂的函数，可能需要运用导数的四则运算法则、链式法则、隐函数求导法则等来进行求导操作。同时也要注意函数在某些点上可能存在间断或不连续，导致导数不存在。

函数可导的条件：在函数在定义域中,函数在该点连续,左右两侧导数都存在并且相等。 函数可导的条件 1、函数在该点的去心邻域内有定义。 2、函数在该点处的左、右导数都存在。 3、左导数＝右导数 注：这与函数在某点处极限存在是类似的。 如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。 函数导数定义 如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f"(x) 如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f"(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。 若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y"或者f′(x)。 函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。

设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x[0]处存在导数y"=f"(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x[0]处可导，那么它一定在x[0]处是连续函数如果一个函数在x[0]处连续，那么它在x[0]处不一定可导 函数可导定义：（1）若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时, [f(x+a)-f(x)]/a存在极限, 则称f(x)在x0处可导.（2）若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导. 函数可导的条件 如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。 多元函数可微必可导，而反之不成立。即：在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。以上引自百度网友"CTmad”的百度知道回答。

要判断一个函数在某点可导与不可导，需要使用导数的定义和相关判定条件。一、导数的定义：一个函数在某点可导的充分必要条件是，该点的左导数值等于右导数值。即函数在该点的导数存在且相等。二、常用判定条件：1. 函数在某点可导的必要条件是，在该点的左极限和右极限存在且相等。2. 对于分段定义的函数，每个片段都应满足导数的定义和判定条件，才能确定整个函数在该点的可导性。3. 若函数在某点可导，则该点必定是函数的连续点。三、特殊情况：1. 对于非光滑点（包括间断点、垂直渐近线等），函数在该点不可导。2. 对于尖角点（即函数图像在某点有一个或多个尖峰），函数在尖角点不可导。根据上述定义和判定条件，可以进行对函数在某点可导性的判断。需要注意的是，判断函数在某点可导与否需要进行详细的计算和分析，不能简单地通过图像来确定。

设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x[0]处存在导数y"=f"(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x[0]处可导，那么它一定在x[0]处是连续函数函数可导定义：（1）若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x+a)-f(x)]/a存在极限（左右极限相等）,则称f(x)在x0处可导.（2）若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导

可导　　设y=f(x)是一个单变量函数,如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导.　　如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数.　　函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在,则称f(x)在x0处可导.　　（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导.　　函数可导的条件：　　如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的.函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等.这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在,它的左右极限存在且相等）推导而来.

是的，可微一定可导。但是可导不一定可微。1、可导的充要条件：左导数和右导数都存在并且相等。2、可微：（1）必要条件若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。（2）充分条件若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。扩展资料：微分早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。例如公元前五世纪，希腊的德谟克利特（Democritus）提出原子论：他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。其他关于无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论：其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟，因为当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去，任何人都总追不上一只最慢的乌龟。当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开启了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的历史意味。另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早。这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。参考资料来源：百度百科-可微参考资料来源：中国知网-多元函数可微、可导、连续之间的关系

一元微积分里可微和可导是两个等价的概念,函数在某一点可微就是指在该点的导数存在.但是可积是指函数在某个区间上的定积分（和式极限）存在,而不是指其原函数是初等函数.连续函数都是有原函数的,但不一定是初等函数（可以是变上限积分函数）,可积（和式极限存在）的函数的原函数可以不是初等函数,例如e^(-x^2)在R上是可积的,但是其原函数不是初等函数.多元微积分中可导这个概念是不清楚的,因为多元函数求导要区分沿什么方向,而多元函数可微是有明确定义的,而且函数可微和其偏导数有紧密联系,可积的情况和一元函数类似,指在某区域上的和式极限存在,同样和被积函数的原函数是否有初等表达式无关.

1、可导函数定义：在微积分学中，实变函数在定义域的每一点上都是导数。直观地说，函数图像在其定义域中的每个点都相对平滑，并且不包含任何尖点或断点。条件：如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别是，任何可微函数在其定义域的每一点上都必须是连续的。相反，这不一定。事实上，在它的领域中到处都存在一个连续函数，但它在任何地方都是不可微的。2、不可导函数定义：一类处处连续而处处不可导的实值函数。条件：连续函数的不可导点至多是可列集。扩展资料：可导函数、不可导函数和物理、几何、代数的关系：导数与物理、几何和代数关系密切：在几何中可以求正切；在代数中可以求瞬时变化率；在物理中可以求速度和加速度。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念可以用导数来表示。例如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（对于线性运动，位移的一阶导数是相对于时间的瞬时速度，二阶导数是加速度），曲线在一点的斜率，以及经济学中的边际和弹性。参考资料来源：百度百科-可导函数参考资料来源：百度百科-导数参考资料来源：百度百科-处处连续处处不可导函数

两者不一样可导说明函数在某一点左右导数均存在，而导数有可能只有有一点一侧，而另一侧不存在导数。而且可导一般对具体的点来说，连续可导对定义域而言，导数是对整个定义域或者某点来说的。可导一定可以推出导数，导数不一定推出可导。

判断可导性的三个依据是：函数在该点的去心邻域内有定义。函数在该点处的左、右导数都存在。左导数＝右导数。这与函数在某点处极限存在是类似的。如果函数f(x)在（a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在（a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f"(x)。如果f(x)在（a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间［a,b]上可导，f"(x)为区间［a,b]上的导函数，简称导数。若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y"或者f′（x)。函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值—导数值f′（x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′（x)。

把二元函数想像成平面上的函数,则连续需要在各个方向（横的,竖的,斜的）直线上都连续；而对x的偏导数存在只说明函数限制到每条横的直线（y=a）上后作为x的一元函数可导,对y的偏导数存在只说明函数限制到每条竖的直线（x=a）上后作为y的一元函数可导. 最简单的例子：定义二元函数在左半平面取0,右半平面取1,则它在每条竖的直线上都可导（因为是常数）,而在横的直线上不连续（左0右1）,所以它对y的偏导数存在但不连续；类似地,定义二元函数在下半平面取0,上半平面取1,则它对x的偏导数存在但不连续. 即使二元函数对x和y的偏导数都存在,只说明它在所有横的和竖的直线上可导,理论上仍有可能在某条斜的直线上不连续.这种函数没有上面那么容易想,但确实是存在的,一般微积分书上会给出标准的例子：f(x,y)在坐标原点取0,其它地方=xy/(x^2+y^2). 推广一下,一般的多元函数可以想像成高维空间上的函数,连续需要在各个方向的平面上都连续,而偏导数存在只说明在所有和坐标平面平行的平面上可导－－后者推不出前者. 一元函数不会有这种问题,因为直线上只有一种方向

不可跨就是要求x0点的导数，但是式子中没有x0，这样就跨掉了。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。扩展资料函数可导的知识点：1、所有初等函数在定义域的开区间内可导。2、所有函数连续不一定可导，在不连续的地方一定不可导。3、函数在某点的左、右导数存在且相等，则函数在该点可导。4、函数在开区间的每一点可导，则函数在开区间可导。5、设f(x)=|x-a|g(x)，g(x)在x=a处连续。(1)若g(a)=0，则f(x)在x=a处可导，且导数等于0；(2) 若g(a)≠0，则f(x)在x=a处不可导。6、可导函数的奇函数的导函数是偶函数，可导函数的偶函数的导函数是奇函数。

，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。

可微与可导的唯一区别：一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关，多元函数可微必可导，而反之不成立。例如：设y=f(x)是一个单变量函数,如果y在x=x[0]处存在导数y"=f"(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x[0]处可导,那么它一定在x[0]处是连续函数。如果一个函数在x[0]处连续,那么物戚它罩核陵在x[0]处不一定可导。函数可导定义：1、若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x+a)-f(x)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导。2、若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的.函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个[hallo.gekaci.cn/article/706153.html][hallo.7413b9.cn/article/368207.html][hallo.gediba.cn/article/859137.html][hallo.csypbct.cn/article/741092.html][hallo.ujeoo.cn/article/195684.html][hallo.dmrxyz.cn/article/693241.html][hallo.cqmmmy.cn/article/046957.html][hallo.tchlkj.cn/article/345902.html][hallo.dg-rl.cn/article/953247.html][hallo.ffc882.cn/article/597203.html]

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f"(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。　　函数可导的条件：　　如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。　　可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。　　可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。　　如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。　　函数可导定义： （1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。　　（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

函数可导的条件取决于函数的定义域和性质。以下是函数可导的一般条件：1.存在导数函数在某个点上可导意味着在该点处存在导数。导数表示函数在某一点的变化率。如果函数在某个点的导数存在，则说明函数在该点可导。2. 函数连续通常情况下，函数在某一点可导要求该点处函数连续。如果函数在某个点不连续，那么在该点处的导数将不存在。因此，函数连续性是函数可导的一个重要条件。3. 极限存在函数在某个点可导还要求该点的左极限和右极限存在且相等。左极限和右极限表示函数从左侧和右侧趋近于该点时的极限值。如果左极限和右极限存在且相等，那么函数在该点处的导数存在。这些是一般情况下函数可导的条件。在特殊情况下，某些函数可能在某个点处满足这些条件，但导数仍然不存在（如间断点）。此外，存在一类特殊的函数，称为光滑函数，它在定义域内各点都可导。另外，对于一元函数来说，可导性还有更具体的判定条件，如柯西—黎曼判别法、拉格朗日中值定理等。对于多元函数，可导性的判定则依赖于偏导数和梯度的存在与连续性。函数求导的方法函数求导的方法主要有以下几种：1.导数定义法使用导数的定义进行计算。对于函数 f(x)，其导数 f"(x) 可以用极限的形式表示为 f"(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。通过计算该极限来求得导数值。2. 基本求导法则利用常见函数的导数公式进行求导。常见函数的导数公式包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。可以根据这些公式将函数逐步简化，并利用导数的四则运算法则求得最终结果。3. 链式法则对于由多个函数复合而成的复杂函数，可以利用链式法则进行求导。链式法则表达了复合函数求导的规律，即如果 y = f(g(x))，其中 g(x) 是中间函数，f(u) 是最外层函数，则 y" = f"(g(x)) * g"(x)。4. 隐函数求导法则当函数关系以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法则来求导。该法则利用了偏导数的概念，通过对方程两边同时求导来求出隐函数的导数。5. 参数方程求导法则如果函数关系以参数形式给出，即 x = f(t) 和 y = g(t)，可以利用参数方程求导法则来求导。该法则通过对 x 和 y 同时关于参数 t 求导，然后运用导数定义计算 dy/dx。除了上述常用的方法外，还有其他高级的求导技巧，如高阶导数、泰勒展开、极值判定等。这些技巧在更复杂的函数求导问题中发挥重要作用。不同的函数会涉及不同的求导方法，因此根据具体情况选择合适的方法进行求导。函数可导的条件的应用函数可导的条件在数学和物理等领域中有广泛的应用。以下是一些函数可导条件的应用示例：1.极值点的判定利用函数可导的条件可以判断函数的极值点。对于单变量函数，如果函数在某个点导数存在且为零，那么该点可能是极值点。通过进一步的分析，可以确定是否为极大值或极小值。对于多元函数，可以利用偏导数和梯度的信息来判断函数的极值点。2. 切线和法线的求取函数可导的条件可用于求取函数曲线上某点处的切线和法线。在某个点处，函数的导数即为切线的斜率。利用该斜率和该点的坐标，可以得到函数曲线在该点处的切线方程。法线垂直于切线，因此其斜率为负切线斜率的倒数。3. 函数图像的绘制函数可导条件提供了函数图像绘制的有用信息。根据导数值的正负性可以确定函数在不同区间的增减性。如果导数始终为正，则函数是单调递增的；如果导数始终为负，则函数是单调递减的；如果导数为零，则函数可能存在极值点。4. 牛顿法求根牛顿法是一种利用函数的导数进行迭代逼近的方法，用于求解方程的根。在每次迭代中，根据当前点处的函数值和导数值来更新下一个点的位置，直到满足收敛条件。牛顿法在优化问题和数值计算中有广泛应用。5. 物理运动的描述在物理学中，函数可导条件广泛用于描述物体的运动。例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。通过求取导数可以得到物体在不同时刻的速度和加速度，从而更好地理解物体的运动行为。函数可导的条件的例题例题1：考虑函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1。验证函数 f(x) 在整个实数域上是否可导。解答1：要验证函数 f(x) 是否可导，需要检查函数在整个实数域上的导数是否存在。计算函数的导数 f"(x) = 6x + 2。由此可知，函数 f(x) 的导数在整个实数域上是存在的，因此函数 f(x) 在整个实数域上是可导的。例题2：对于函数 g(x) = |x|，判断函数 g(x) 是否可导，并找出其可导的区间。解答2：函数 g(x) = |x| 在 x = 0 处导数不存在，因为在该点导数的左右极限不相等。所以函数 g(x) 在 x = 0 处不可导。然而，在除了 x = 0 的所有实数上，g(x) 的导数恒为 1 或 -1。因此，函数 g(x) 在除了 x = 0 的所有实数上是可导的。这些例题说明了如何根据函数的表达式和导数的定义来判断函数是否可导，并确定可导的区间。对于更复杂的函数，可能需要运用导数的四则运算法则、链式法则、隐函数求导法则等来进行求导操作。同时也要注意函数在某些点上可能存在间断或不连续，导致导数不存在。

判断函数可导不可导，有以下几种方法：1、判断函数连续性。如果函数在某一个特定的点上不连续，那么它就不可导。判断函数极限是否存在。如果函数在特定点的左右极限存在且相等，则此函数在该点处可导。判断函数是否间断。如果函数在特定点上间断，则它不可导。2、判断函数左导数和右导数是否相等。如果函数在某个给定点的左导数和右导数相等，则函数在该点上可导。判断函数是否光滑。如果函数是光滑的即连续可微的，那么这个函数就是可导的。3、函数在某一点处间断：如果函数在某一点处间断，那么该函数在该点处不可导。因为间断点意味着函数在该点的左右两侧没有定义，因此无法计算导枣芹数。4、凳慧毕函数在某一点处左导数不等于右导数：如果函数在某一点处的左导数不等于右导数，那么该函数在该点处不可导。因为导数的定义要求函数的左导数必须等于右导数，否则该点的导数不存在。5、函数在某一点处无穷大：如果函数在某一点处的值无穷大，那么该函数在该点处不可导。因为无穷大的值会导致函数的左右两侧导数不存在或不相等。6、函数在某一点处连续但不可微：如果函数在某一点处连续但不可微，那么该函数在该点处不可导。这种情况通常出现在一些复杂的函数中，如分段函数等。函数的定义及相关知识1、函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。函数的定义通常为：如果对于每一个在某个范围内x的值，都有唯一的y值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。2、函数的表达方式可以是解析式、表格、图像等。解析式是最常见的函数表达方式，它通常由一个等式来表示y与x之间的关系。例如，f（x）=2x+1就是一个简单的线性函数。3、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。奇偶性是指函数是否具有对称性，如果f（-x）=f（-x），则称函数为偶函数；如果f（-x）=-f（x），则称函数为奇函数。4、单调性是指函数在某个区间内是递增还是递减。周期性是指函数是否具有周期性，即是否存在一个正整数k，使得f（x+k）=f（x）。5、函数的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。同时，函数也是许多其他数学概念的基础，例如微积分、线性代数等。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。可微，设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy_x=x0。可积，设是定义在区间上的一个函数，是一个确定的实数。若对任意的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选择的点集，只要，就有，则称在区间上可积或黎曼可积。扩展资料：可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。可微，设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy_x=x0。可微=>可导=>连续=>可积，在一元函数中，可导与可微等价。函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函数在此点函数值存在，并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的充要条件是此函数在此点必须连续，并且左导数等于右倒数。可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中,各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。函数可积只有充分条件为：①函数在区间上连续②在区间上不连续,但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点,可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件，可以放宽，所以只是充分条件。可导和可微,是一样的。可导必连续,连续不一定可导。连续必可积,可积不一定连续。可积必有界,可界不一定可积。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。必要条件若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。参考资料：百度百科——可微参考资料：百度百科——可导参考资料：百度百科——可积函数

在一元微积分中，有一个广为人知的结论：一元函数在一点可导，必在该点连续，即可导必连续。那么自然会有这样一个问题：一元函数在一点可导能否推出它在该点的一个小邻域连续呢？这个想法是很自然的，不严格的思考可能会认为应该是对的,但是它并不成立。下面给出一个反例：[公式]其中[公式]为Dirichlet函数。容易验证函数[公式]在[公式]处可导，但在[公式]处不连续，从而否定了上述问题。最后，类似地，我们还可以通过Dirichlet函数构造[公式]上一些仅在有限个点连续的函数。也可以通过周期函数构造仅在所有整数点连续的函数。但是由Baire纲定理可以证明，不存在在所有有理数点连续，无理点间断的函数。最后Riemann函数给出了一个在所有有理数点间断，无理点连续的函数。这些反例使得人们对函数连续的概念有了更感性的认识。

判断可导的三个条件：1、函数在该点的去心邻域内有定义。2、函数在该点处的左、右导数都存在。3、左导数＝右导数，这与函数在某点处极限存在是类似的。函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。函数可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。函数的性质：设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

不但必须在这一点有定义，还必须极限值等于函数值，即在这点连续才行。可以看看求导数的定义公式：f"（x0）=lim（x→x0）（f（x）-f（x0））/（x-x0）从这个公式就能看到，如果f（x）在x=x0点无定义，则f（x0）无意义。那么（f（x）-f（x0））/（x-x0）这个式子就无意义，也就无法求极限了，当然就不可导了。

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f"(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f"(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。扩展资料判断函数在区间内是否可导，即函数的可导性应该知道定理：1.所有初等函数在定义域的开区间内可导。2.所有函数连续不一定可导，在不连续的地方一定不可导。在大学，再加上用单侧导数判断可导性：3.函数在某点的左、右导数存在且相等，则函数在该点可导。4.函数在开区间的每一点可导，则函数在开区间可导。

例子：f（x）=|X|。这个函数在x=0点处连续，但是这个函数在x=0点处的左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等，所以这个函数在x=0这点不可导。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。以下是函数可导的条件的相关介绍：如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数。计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。以上资料参考百度百科——函数

判断函数是否可导如下：1、首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f（x0）是否存在；其次判断f（x0）是否连续，即f（x0-）, f（x0+）, f（x0）三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘（x0-）=f‘（x0+），只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。2、可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f（x）是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f‘（x），则称y在x=x【0】处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。周期函数有以下性质：（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则 也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）。（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

意思是函数导数不存在的地方。如果函数不连续（间断点，或者垂直渐近线），那么那个地方就是不可导的，因为本身就不在函数的定义域内。函数不可导点四种情况1、无定义：无定义的点，没有导数存在。2、不连续：不连续知的点，或称为离散点，导数不存在。3、不光道滑：连续点，但是此点为尖尖点，左右两边的斜率不一样，也就是导数不一样，不可导。4、导数值为∞：有定义，连续、光滑，但是斜率是无穷大。函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义，则当a趋向于0时，若/a的极限存在，则称f(x)在x0处可导。（2）若对于区间（a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在（a，b)上可导。另外：函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“＝”换成“＜”或“＞”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

问题一：可导是连续的什么条件 充分非必要条件 我说点白话吧，假设A是条件，B是结论 满足A就一定得到B，A就是B的充分条件 满足A不一定得到B但是不满足A就一定的不到B，就说明A是B的必要条件，说得再通俗一点就是光有A还不够充分得到结论B，但是A是必要的，没它不行，没有它就一定的不到结论B。顺便说一句，对于一个命题来说原命题和你否命题真假性是相同的，也就是说如果A是B的必要条件，原命题是不满足A即的不到B，他的逆否命题也是成立的，就是说满足了B就能得到A，这个也是判断必要条件的方法也就是说B满足不了A的话A就不是B的必要条件 充分非必要和必要非充分以及充要条件我就不用说了吧？这你再理解不了就说不过去啦 问题二：连续是可导的什么条件 f（x）=√x^2且[f(x)-f(x0)]={[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}(x-x0)=0等号两边加极限号连续和可导都是函数在某一点及附近一个很小的临域内的性质,前者是说函数在这一点的变化不是太大,也就是自变量从左右趋近于这一点时函数值趋近于这一点的函数值;后者是说在这一点函数光滑,也就是存在切线,也就是从左右逼近的切线在这一点重合.由此可见可导一定连续,而连续不一定可导.连续与可导的条件书上写得很清楚. 问题三：连续与可导的关系 函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。 定然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。 同样的道理，“函数在闭区间可导”是不可能的。因为区间的左端点没有左导数，右端点没有右导数，所以函数最多只能在开区间可导。 问题四：连续函数可导的条件是什么？ 连续函数在一点可导的条件是：该点左右导数存在且相等。 函数在一点可导定义：设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 要使 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在，必有 [f(x0+a)-f(x0)]/a左右极限存在且相等，即左右导数相等。 例题如下图 问题五：可导的条件是什么？ 可导　　设y=f(x)是一个单变量函数,如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导. 如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数. 函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在,则称f(x)在x0处可导. （2）若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导. 函数可导的条件： 如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的.函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等.这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在,它的左右极限存在且相等）推导而来. 问题六：高数可导，连续的问题 函数在某一点是否是可导的条件是：在该点的左、右导数相等； 函数在某一点是否连续的条件是：在该点左、右极限相等且等于该点的函数值。 问题七：可导和连续的关系 关于函数的可导导数和连续的关系： 1、连续的函数不一定可导。 2、可导的函数是连续的函数。 3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。 4、存在处处连续但处处不可导的函数。 左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。 问题八：可导是连续的什么条件 充分非必要条件 我说点白话吧，假设A是条件，B是结论 满足A就一定得到B，A就是B的充分条件 满足A不一定得到B但是不满足A就一定的不到B，就说明A是B的必要条件，说得再通俗一点就是光有A还不够充分得到结论B，但是A是必要的，没它不行，没有它就一定的不到结论B。顺便说一句，对于一个命题来说原命题和你否命题真假性是相同的，也就是说如果A是B的必要条件，原命题是不满足A即的不到B，他的逆否命题也是成立的，就是说满足了B就能得到A，这个也是判断必要条件的方法也就是说B满足不了A的话A就不是B的必要条件 充分非必要和必要非充分以及充要条件我就不用说了吧？这你再理解不了就说不过去啦 问题九：连续是可导的什么条件 f（x）=√x^2且[f(x)-f(x0)]={[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}(x-x0)=0等号两边加极限号连续和可导都是函数在某一点及附近一个很小的临域内的性质,前者是说函数在这一点的变化不是太大,也就是自变量从左右趋近于这一点时函数值趋近于这一点的函数值;后者是说在这一点函数光滑,也就是存在切线,也就是从左右逼近的切线在这一点重合.由此可见可导一定连续,而连续不一定可导.连续与可导的条件书上写得很清楚. 问题十：连续与可导的关系 函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。 定然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。 同样的道理，“函数在闭区间可导”是不可能的。因为区间的左端点没有左导数，右端点没有右导数，所以函数最多只能在开区间可导。

1、证明函数在整个区间内连续。（初等函数在定义域内是连续的）2、先用求导法则求导，确保导函数在整个区间内有意义。3、端点和分段点用定义求导。4、分段点要证明左右导数均存在且相等。如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。扩展资料：如果一个函数的定义域为全体实数，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。参考资料来源：百度百科--可导

导数的定义见下方：导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x_上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x_处的导数，记作f"（x_）或df（x_）/dx。导数分为：1、可导函数：若其在定义域中每一点导数存在，则实变量函数是可导函数。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。2、不可导函数：其在定义域中有一点导数不存在，则实变量函数是不可导函数。只需要证明一个函数在定义域内，有一个点不可导，则该函数就是不可导函数。