垂心是什么

三角形垂心性质：1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。3、垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上。三角形垂心的位置：锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心在三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形的外部。三角形的五心重要性质（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。（2）三角形的外心到三顶点的距离相等。（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等。（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心。（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心。（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍。

三角形的垂心是指三条高的交点，也就是三条高的垂足所构成的点。垂心具有以下向量性质：1. 垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH + →BH + →CH = →02. 垂心到三角形三个顶点的向量共线。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH, →BH, →CH共线，且共线方向从垂心H指向各个顶点A、B、C。要证明这些性质，可以采取向量的方法进行推导和证明。以下是垂心向量性质的一个简单证明：证明1：垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。我们取三角形ABC的三边上的中点分别为D、E、F，即AD是边BC的中点，BE是边AC的中点，CF是边AB的中点。那么根据向量的中点定理，我们有：→AD = 1/2(→AB + →AC)→BE = 1/2(→BA + →BC)→CF = 1/2(→CA + →CB)现在我们考虑四个向量的和：→AD + →BE + →CF= 1/2(→AB + →AC) + 1/2(→BA + →BC) + 1/2(→CA + →CB)= 1/2(→AB + →BA) + 1/2(→AC + →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB + →BA + →AC + →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB - →BA + →AC - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= →0 + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC - →CB)= →0由此可见，垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。证明2：垂心到三角形三个顶点的向量共线。我们知道，如果一条向量加上另一条向量等于零向量，那么这两条向量是共线的，并且方向相反。根据证明1中的结果，我们有：→AH + →BH + →CH = →0也就是说，→AH、→BH、→CH共线，并且共线方向是从垂心H指向各个顶点A、B、C。综上所述，垂心具有以上的向量性质，证明是通过向量的加法和性质进行推导得出的。这些性质在解决某些几何问题时可以提供有用的信息和理论基础。

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、锐角三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。扩展资料三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD⊥BC即可。因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。四边形AFHE为圆内接四边形。所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。

垂足于三角形的内心。三角形三条高的交点称为垂心，垂心到三角形三个顶点的距离相等，且垂心所在的直线与三角形三条边的交点分别构成的三角形互为相似三角形，它垂足于三角形的内心。其他三角形的垂线性质是锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点．三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形。 三角形垂心定义 垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。 三角形垂心记忆口诀 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角有十二，构成九对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清。 三角形垂心性质 设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 。 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形垂心性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 。1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。三角形垂心定义垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。

垂心的常用性质有三条垂线交于垂心、垂心到三角形三边距离相等、垂心到三角形重心的距离是中线长度的三分之一、垂心到三角形外心连线垂直。1、三条垂线交于垂心：三角形三条边分别与其对边的垂线交于一点，即垂心。2、垂心到三角形三边距离相等：垂心到三角形三条边的距离相等。3、垂心到三角形重心的距离是中线长度的三分之一：垂心到三角形重心的距离等于中线长度的三分之一。4、垂心到三角形外心连线垂直：垂心到三角形外心的连线垂直于三角形的边。

三角形垂心的性质　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2． 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 　　3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.　　4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).　　6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆.　　7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.　　9、 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.　　12、 　　西姆松(Simson)定理（西姆松线） 　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上.

垂心是一种几何图形的属性，它是指一条线段从另一条线段的垂线上垂直落下到该线段上的点，这个点就是垂心点，这条线段就是垂线。垂心是几何学中一个非常重要的概念，它在许多几何问题中都有很重要的应用。垂心的性质主要有以下几个方面：1. 垂心到直线的距离最短垂心到直线的距离是垂线的长度，它是所有从该点到直线的距离中最短的。这个性质在许多问题中都有很重要的应用，比如在求解最短距离问题时，可以通过构造垂线来简化问题。2. 垂心是三角形外心到三角形边的垂线的交点三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。垂心是三角形外心到三角形边的垂线的交点，这个交点叫做垂足。这个性质在解决三角形相关问题时很有用，比如在求解三角形的外接圆、内切圆和欧拉线等问题时，可以通过垂心来简化问题。3. 垂心是三角形垂心线的交点三角形垂心线是三角形三个顶点和垂心构成的直线，它是三角形内角平分线的垂线。垂心是三角形垂心线的交点，这个点叫做垂心。这个性质在解决三角形相关问题时也很有用，比如在证明三角形垂心共线定理时，可以通过垂心线和垂心的性质来证明。4. 垂心到三角形三个顶点的距离相等垂心到三角形三个顶点的距离相等，这个性质在许多问题中都有很重要的应用，比如在证明三角形垂心共线定理时，可以通过垂心到三个顶点的距离相等来证明。5. 垂心到三角形三边的距离成反比例垂心到三角形三边的距离成反比例，也就是说，如果设垂心到三角形三个顶点的距离分别为d1、d2、d3，那么有d1:d2:d3=BC:AC:AB，其中AB、AC、BC分别为三角形三边的长度。这个性质在解决三角形相关问题时也很有用，比如在求解三角形垂心坐标时，可以通过三角形三边的长度和垂心到三边的距离的关系来求解。综上所述，垂心是几何学中一个非常重要的概念，它有许多重要的性质，这些性质在解决三角形相关问题时都有很重要的应用。

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。其中2是充要条件。仅供参考。这些性质都是可以直接用的啊。

三角形的垂心是指三条高线的交点，以 H 表示。以下是垂心的一些性质：1. 垂心 H 到三个顶点的连线上的线段长度相等，即 HA = HB = HC。2. 垂心 H 到三条边的距离乘积等于三条边的长度乘积的两倍。即 AH * BH * CH = 2R^3，其中 R 是三角形外接圆的半径。3. 垂心 H 关于三条边的中点的连线是三角形的内心。即 AH 过AH的中点，BH 过 BH 的中点，CH 过 CH 的中点。4. 垂心 H 关于三条边的中点的连线所得的三角形是原三角形的旁心三角形。旁心三角形是指以原三角形的三边中点为顶点构成的三角形。5. 垂心 H 关于三条边的中点的连线与原三角形的外接圆相切。6. 垂心 H 是三角形内角平分线的交点。这些性质是垂心的一些重要特点，也可以用于解决与垂心相关的几何问题。

三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心. 锐角三角形垂心在三角形内部. 直角三角形垂心在三角形直角顶点. 钝角三角形垂心在三角形外部. 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点. 三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.

一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三、三角形的垂心定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。四、三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

百度百科三角形五心定律http://baike.baidu.com/view/1611086.htm一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理　　三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。一、三角形重心定理　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 　　重心的性质： 　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 　　2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。二、三角形外心定理　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 　　外心的性质： 　　1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 　　2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 　　3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 　　4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 　　垂心的性质： 　　1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 　　3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　定理证明 　　已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　　证明： 　　连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 　　∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC 　　∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 　　因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 　　内心的性质： 　　1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 　　4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 　　5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　7、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 　　旁心的性质： 　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 　　2、每个三角形都有三个旁心。 　　3、旁心到三边的距离相等。 　　如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 　　附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。有关三角形五心的诗歌　　三角形五心歌（重外垂内旁） 　　三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 　　重 心 　　三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 　　重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 　　外 心 　　三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 　　此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 　　垂 心 　　三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 　　直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 　　内 心 　　三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 　　点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然． 　　五心性质别记混，做起题来真是好

旁心：三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心 重心：所有中线（顶点连接对边中点）相交的点 垂心：所有高（顶点到对边的距离）相交的点 内心：往三角形内作内切圆后,圆的中心,或者角平分线（线到邻边夹角相等）相交的点 外心：往三角形外作外切圆后,圆的中心 不存在中心的,中心只不过是日常口语,应该是几何中心的简称,比如圆的中心为中点,矩形的中心为对角线的交点等…… 欢迎追问 补充网上资料： 　　重心　三角形三条中线的交点 　　性质：分三条中线比为2:1 　　内心　三角形三条角平分线的交点 　　性质：到三边距离相等 　垂心　三角形三条高的交点 　　性质：由三角形的垂心可以造成的四个等(外接)圆三角形 　　外心　三角形三边中垂线的交点 　　性质：到三顶点距离相等 旁心　三角形两个外角平分线与第三内角平分线交点 　　通常在三角形外 　　性质：到三边距离相等

准确地说,锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心. 下面是垂心性质的总结： 垂心 三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心.三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H. 性质1 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上. 性质2 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF. 性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组). 性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆. 性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC. 性质6 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍. 性质7 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA. 性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍. 性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.

一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵. 90‵圆周角所对弦是直径. (常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等. 同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2 三、垂心 三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。四、内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA. 三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.关于三角形垂心性质百度百科上写的很细，你可以去搜搜看。

三角形垂心所具有的性质主要有下面几个：1. 垂心是三角形三条高线的交点。2. 垂心到三角形三个顶点的距离不相等，但垂心到三角形三个边的垂线长度是相等的。3. 在一个直角三角形中，垂心就是直角的顶点。4. 垂心是三角形内嵌的九点圆的圆心。5. 在任意三角形中，垂心都位于三角形内部或边上，但只有在直角三角形中，垂心才位于三角形的内部。6. 由垂心引出的众线段中，三条垂线垂足连成的三角形面积为原三角形的一半。以上就是三角形垂心的一些基本性质，不过在更高级的数学分析中，可能会有更深入的性质被发现。

三角形垂心所具有的性质主要有下面几个：1. 垂心是三角形三条高线的交点。2. 垂心到三角形三个顶点的距离不相等，但垂心到三角形三个边的垂线长度是相等的。3. 在一个直角三角形中，垂心就是直角的顶点。4. 垂心是三角形内嵌的九点圆的圆心。5. 在任意三角形中，垂心都位于三角形内部或边上，但只有在直角三角形中，垂心才位于三角形的内部。6. 由垂心引出的众线段中，三条垂线垂足连成的三角形面积为原三角形的一半。以上就是三角形垂心的一些基本性质，不过在更高级的数学分析中，可能会有更深入的性质被发现。

三角形的垂心是指三条高的交点，也就是三条高的垂足所构成的点。垂心具有以下向量性质：1. 垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH + →BH + →CH = →02. 垂心到三角形三个顶点的向量共线。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH, →BH, →CH共线，且共线方向从垂心H指向各个顶点A、B、C。要证明这些性质，可以采取向量的方法进行推导和证明。以下是垂心向量性质的一个简单证明：证明1：垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。我们取三角形ABC的三边上的中点分别为D、E、F，即AD是边BC的中点，BE是边AC的中点，CF是边AB的中点。那么根据向量的中点定理，我们有：→AD = 1/2(→AB + →AC)→BE = 1/2(→BA + →BC)→CF = 1/2(→CA + →CB)现在我们考虑四个向量的和：→AD + →BE + →CF= 1/2(→AB + →AC) + 1/2(→BA + →BC) + 1/2(→CA + →CB)= 1/2(→AB + →BA) + 1/2(→AC + →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB + →BA + →AC + →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB - →BA + →AC - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= →0 + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC - →CB)= →0由此可见，垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。证明2：垂心到三角形三个顶点的向量共线。我们知道，如果一条向量加上另一条向量等于零向量，那么这两条向量是共线的，并且方向相反。根据证明1中的结果，我们有：→AH + →BH + →CH = →0也就是说，→AH、→BH、→CH共线，并且共线方向是从垂心H指向各个顶点A、B、C。综上所述，垂心具有以上的向量性质，证明是通过向量的加法和性质进行推导得出的。这些性质在解决某些几何问题时可以提供有用的信息和理论基础。

设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。三角形垂心4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、 设锐角⊿ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形垂心的性质　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 　　9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 　　12、 　　西姆松(Simson)定理（西姆松线） 　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。

设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、 设锐角⊿ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形垂心的向量性质及证明是OA^2+BC^2=OB^2+CA^2OA^2+(OC-OB)^2=OB^2+(OA-OC)^2OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2=OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2-2OC*OB=-2OA*OCOC*OB=OA*OCOC*OB=OC*OAOC*OB-OC*OA=0OC*(OB-OA)=0OC*AB=0OC丄AB，同理OA丄BC，OB丄AC，所以O是三角形垂心。三角形垂心的定理证明锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心是它垂足三角形的内心，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。

设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）。11、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。12、 设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推广到任意三角形）16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。(高中学习中常用知识）

三角形垂心的向量性质及证明是OA^2+BC^2=OB^2+CA^2OA^2+(OC-OB)^2=OB^2+(OA-OC)^2OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2=OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2-2OC*OB=-2OA*OCOC*OB=OA*OCOC*OB=OC*OAOC*OB-OC*OA=0OC*(OB-OA)=0OC*AB=0OC丄AB，同理OA丄BC，OB丄AC，所以O是三角形垂心。三角形垂心的定理证明锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心是它垂足三角形的内心，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。

重心是三角形三边中线的交点重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心到三边距离相等（为内切圆半径）若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。到外心到三角形的三个顶点距离相等

三角形的垂心是指三条高的交点，也就是三条高的垂足所构成的点。垂心具有以下向量性质：1. 垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH + →BH + →CH = →02. 垂心到三角形三个顶点的向量共线。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH, →BH, →CH共线，且共线方向从垂心H指向各个顶点A、B、C。要证明这些性质，可以采取向量的方法进行推导和证明。以下是垂心向量性质的一个简单证明：证明1：垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。我们取三角形ABC的三边上的中点分别为D、E、F，即AD是边BC的中点，BE是边AC的中点，CF是边AB的中点。那么根据向量的中点定理，我们有：→AD = 1/2(→AB + →AC)→BE = 1/2(→BA + →BC)→CF = 1/2(→CA + →CB)现在我们考虑四个向量的和：→AD + →BE + →CF= 1/2(→AB + →AC) + 1/2(→BA + →BC) + 1/2(→CA + →CB)= 1/2(→AB + →BA) + 1/2(→AC + →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB + →BA + →AC + →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB - →BA + →AC - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= →0 + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC - →CB)= →0由此可见，垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。证明2：垂心到三角形三个顶点的向量共线。我们知道，如果一条向量加上另一条向量等于零向量，那么这两条向量是共线的，并且方向相反。根据证明1中的结果，我们有：→AH + →BH + →CH = →0也就是说，→AH、→BH、→CH共线，并且共线方向是从垂心H指向各个顶点A、B、C。综上所述，垂心具有以上的向量性质，证明是通过向量的加法和性质进行推导得出的。这些性质在解决某些几何问题时可以提供有用的信息和理论基础。

　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。　　垂心的性质：　　1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））　　3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。　　定理证明　　已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，求证：CF⊥AB　　证明：　　连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE　　∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC　　∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB　　因此，垂心定理成立！

三角形的垂心是指三条高线的交点，以 H 表示。以下是垂心的一些性质：1. 垂心 H 到三个顶点的连线上的线段长度相等，即 HA = HB = HC。2. 垂心 H 到三条边的距离乘积等于三条边的长度乘积的两倍。即 AH * BH * CH = 2R^3，其中 R 是三角形外接圆的半径。3. 垂心 H 关于三条边的中点的连线是三角形的内心。即 AH 过AH的中点，BH 过 BH 的中点，CH 过 CH 的中点。4. 垂心 H 关于三条边的中点的连线所得的三角形是原三角形的旁心三角形。旁心三角形是指以原三角形的三边中点为顶点构成的三角形。5. 垂心 H 关于三条边的中点的连线与原三角形的外接圆相切。6. 垂心 H 是三角形内角平分线的交点。这些性质是垂心的一些重要特点，也可以用于解决与垂心相关的几何问题。

三角形三条高的交点叫垂心，垂心的性质：1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2.三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4.垂心分每条高线的两部分乘积相等。

三角形垂心所具有的性质主要有下面几个：1. 垂心是三角形三条高线的交点。2. 垂心到三角形三个顶点的距离不相等，但垂心到三角形三个边的垂线长度是相等的。3. 在一个直角三角形中，垂心就是直角的顶点。4. 垂心是三角形内嵌的九点圆的圆心。5. 在任意三角形中，垂心都位于三角形内部或边上，但只有在直角三角形中，垂心才位于三角形的内部。6. 由垂心引出的众线段中，三条垂线垂足连成的三角形面积为原三角形的一半。以上就是三角形垂心的一些基本性质，不过在更高级的数学分析中，可能会有更深入的性质被发现。

三角形的重心是三角形三条中线的交点。三角形的重心的性质　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 　　5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的外心的性质　　1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 　　3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 　　4.OA=OB=OC=R 　　5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 　　6.S△ABC=abc/4R三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质　　1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 　　2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 　　3.r=2S/(a+b+c) 　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 　　6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质　　1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 　　2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 　　3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 　　4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 　　5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 　　6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 　　7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 　　8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 　　9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 　　10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 　　11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

三角形垂心，指的是三角形的三条高与对边或其延长线相交于一点的这个点。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。性质：1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）。

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。其中2是充要条件。仅供参考。这些性质都是可以直接用的啊。

内心的性质：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外；等边三角形外心与内心为同一点。垂心：三条高所在直线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。扩展资料：此外三角形还有一个重心。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心.重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。参考资料来源：百度百科——内心定理参考资料来源：百度百科——三角形外心参考资料来源：百度百科——三角形垂心

三角形三条高的交点叫垂心，垂心的性质：1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2.三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4.垂心分每条高线的两部分乘积相等。扩展资料：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/21、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。参考资料：百度百科——垂心

正三角形,“垂心将三条高都分为2：1”,实际上这条性质应该是“重心将三条中线都分为2：1”,只是因为正三角形中垂心,重心重合,高和中线也重合,才这么说 垂心是高的交点,没有这个性质 比如直角三角形的垂心就是直角那个顶点

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

垂心是三角形内部的一个特殊点，它是三条高线的交点。下面是与三角形垂心相关的一些结论：1. 垂心存在性：对于任意一个三角形，都存在唯一的垂心。这是因为三角形的三条高线都会相交于一个点，即垂心。2. 垂心与高线的关系：垂心到三角形的三条边上的垂足的连线称为高线。垂心到每条边的连线都垂直于相应的边，即垂心与高线垂直。3. 垂心与外心的关系：外心是三角形外接圆的圆心。垂心、三角形的顶点和外心共线，且垂心在外心和三角形的顶点连线的中点处。4. 垂心与重心的关系：重心是三角形内心的一个特殊点，它是三条中线的交点。垂心、重心和顶点三者共线，且垂心到重心的距离是重心到顶点距离的两倍。5. 垂心与内心的关系：内心是三角形内切圆的圆心。垂心到三条边的距离之和等于垂心到内心的距离之和。6. 垂心与垂直平分线的关系：垂心到三角形三个顶点的连线的中垂线称为垂直平分线。三条垂直平分线交于垂心。7. 垂心与角平分线的关系：垂心到三角形三个内角的平分线交于一点，该点是垂心。8. 垂心与欧拉线的关系：欧拉线是三角形的重心、垂心和外心三个点的连线。垂心在欧拉线上，并且位于重心和外心之间的三分之一处。这些是与三角形垂心相关的一些结论。垂心在三角形中有着独特的几何性质和重要的位置关系，对于研究和解决与三角形相关的几何问题具有重要的意义。

三角形五心口诀是重心、外心、内心、垂心、旁心。三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。三角形五心的性质：1、三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。2、三角形的外心到三顶点的距离相等。3、三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。4、三角形的内心、旁心到三边距离相等。5、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。6、三角形的外心是它的中点三角形的垂心。7、三角形的重心也是它的中点三角形的重心。8、三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。9、三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍。

三角形的垂心是指三条高的交点，也就是三条高的垂足所构成的点。垂心具有以下向量性质：1. 垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH + →BH + →CH = →02. 垂心到三角形三个顶点的向量共线。即，如果ABC是一个三角形，H是其垂心，则有：→AH, →BH, →CH共线，且共线方向从垂心H指向各个顶点A、B、C。要证明这些性质，可以采取向量的方法进行推导和证明。以下是垂心向量性质的一个简单证明：证明1：垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。我们取三角形ABC的三边上的中点分别为D、E、F，即AD是边BC的中点，BE是边AC的中点，CF是边AB的中点。那么根据向量的中点定理，我们有：→AD = 1/2(→AB + →AC)→BE = 1/2(→BA + →BC)→CF = 1/2(→CA + →CB)现在我们考虑四个向量的和：→AD + →BE + →CF= 1/2(→AB + →AC) + 1/2(→BA + →BC) + 1/2(→CA + →CB)= 1/2(→AB + →BA) + 1/2(→AC + →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB + →BA + →AC + →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA + →BC + →CB)= 1/2(→AB + →AC - →BA - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→AB - →BA + →AC - →CA) + 1/2(→BC + →CB)= →0 + 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC + →CB)= 1/2(→BC - →CB)= →0由此可见，垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。证明2：垂心到三角形三个顶点的向量共线。我们知道，如果一条向量加上另一条向量等于零向量，那么这两条向量是共线的，并且方向相反。根据证明1中的结果，我们有：→AH + →BH + →CH = →0也就是说，→AH、→BH、→CH共线，并且共线方向是从垂心H指向各个顶点A、B、C。综上所述，垂心具有以上的向量性质，证明是通过向量的加法和性质进行推导得出的。这些性质在解决某些几何问题时可以提供有用的信息和理论基础。

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！

关于重心，垂心，外心，内心各指的重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。垂心定理 三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。内心定理 三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。旁心定理 三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心扫三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心扫三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。三角形的五心一定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽

外心是三条垂直平分线（也就是中垂线）的交点。内心是三条内角平分线的交点内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心：是高的交点。对于等边三角形，所有心都重合，这点称为中心

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！

（一）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。（二）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。（三）垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。重心确定方法1，组合法工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。2，负面积法如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积）。3，实验法（平衡法）如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。主要包括悬挂法和称重法。

三角函数的和差化积包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。记忆口诀三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图像单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。中心记上数字一，连结顶点三角形。向下三角平方和，倒数关系是对角。顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小。变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变。