求矩阵A=(2 -1 1 0 3 -1 2 1 3)的特征值与特征向量

特征向量是一个非零向量，它在矩阵乘法后保持平行。假设A是n阶方阵，x是A的属于特征值λ的一个特征向量，那么x就是一个n维列向量，满足Ax=λx 。特征向量在矩阵分析中有着广泛的应用。例如，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴 。特征向量是矩阵理论中的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值） 。在图像处理中，我们可以使用特征向量来描述图像中的局部特征，例如边缘、角点等。在计算机视觉中，我们可以使用特征向量来描述图像中的物体位置和形状 。

对于矩阵A,若AX = rX存在特征向量R,则称R为右特征向量;YA=rY存在特征向量L,则称L为左特征向量。线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量，特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。扩展资料：一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式：其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值都为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。参考资料来源：百度百科-特征向量

对于矩阵A，若AX = rX存在特征向量R，则称R为右特征向量；YA=rY存在特征向量L，则称L为左特征向量。[211；020；0-11]设A的特征值为λ则|A-λE|=2-λ 1 1 0 2-λ 0 0 -1 1-λ=(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0所以λ=1或2当λ=1A-E=1 1 10 1 00 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行～1 0 10 1 00 0 0得到特征向量为(1,0,-1)^T当λ=2A-2E=0 1 10 0 00 -1 -1 第3行加上第1行～0 1 10 0 00 0 0得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T

特征向量和基础解系的关系：特征向量是特征值对应产次方程组的基础解系。基础解系和特征向量是线性代数中两个重要的概念，它们在矩阵理论中起着至关重要的作用。基础解系是指一组线性无关的解，它们可以用来表示线性方程组的所有解。而特征向量则是指一个向量，它在一个线性变换下被映射成另一个向量，而这个向量与原来的向量的夹角相同。虽然基础解系和特征向量是两个不同的概念，但是它们之间也有一些联系。首先，特征向量可以用来构造基础解系。具体来说，如果一个矩阵的特征向量和特征值被知道，那么就可以用它们来构造出一个基础解系。其次，基础解系也可以用来求出特征向量。具体来说，如果一个线性方程组的基础解系被知道，那么就可以用它来求出该方程组的系数矩阵的特征向量。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。注意事项：首先，基础解系是一组线性无关的解，因此在使用它们来表示线性方程组的解时，需要注意它们的个数和系数。其次，特征向量的计算需要求出矩阵的特征值和特征向量，因此需要注意计算方法的选择和计算的准确性。总的来说，基础解系和特征向量是线性代数中两个重要的概念，它们之间有一定的联系，但也有一些区别。在使用它们时，需要注意它们的个数和系数，以及计算方法的选择和准确性。

特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。希尔伯特在1904年第一次用这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于??的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。参考资料来源：百度百科-特征值参考资料来源：百度百科-特征向量

基础解系：是对于方程组而言的,方程组才有所谓的基础解系,就是方程所有解的“基”。特征向量：对于矩阵而言的,特征向量有对应的特征值,如果Ax=ax,则x就是对应于特征值a的特征向量。基础解系和特征向量的关系可以通过以下例子理解：A是矩阵，x是n维向量，基础解系是齐次方程组Ax=0的解，特征向量是由(A-λE)x=0对应的特征方程解得到的。扩展资料：求解特征向量的步骤：A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。

P是n阶可逆矩阵 ，已知n维列向量β是属于特征值λ的特征限量，则矩阵(P^( -1) AP)倒置的属于特征值λ的特征向量是设矩阵(P^( -1) AP=B。它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。扩展资料：它的驻波——即那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减小。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。参考资料来源：百度百科-特征向量

求特征向量方法如下：从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。一、特征向量的简介矩阵的特点向量是矩阵实际上的主要观点之一，它有着普遍的使用，数学上，线性变换的特点向量是一个非简并的向量，其标的目的在该变换下稳定，该向量在此变换下缩放的比例称为其特点值。二、性质线性变换的特点向量是指在变换下标的目的稳定，或者容易地乘以一个缩放因子的非零向量，特点向量对应的特点值是它所乘的阿谁缩放因子，特点空间就是由一切有着类似特点值的特点向量构成的空间，还包含零向量，但要留意零向量自身不是特点向量。线性变换的主特点向量是最大特点值对应的特点向量，特点值的几何重次是相应特点空间的维数，有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其一切特点值的聚集。三、例子跟着地球的自转，除在转轴上的两个箭头，每一个从地心往外指的箭头都在扭转。思索地球在自转一小时后的变换：地心指向天文南极的箭头是这个变换的一个特点向量，可是从地心指向赤道上任何一点的箭头不会是一个特点向量，又由于指向顶点的箭头没有被地球的自转拉伸，所以它的特点值是1。薄金属板关于一个固定点平均舒展，使得板上每个点到该固定点的间隔翻倍。这个舒展是一个具有特点值2的变换，从该固定点到板上任何一点的向量都是一个特点向量，而相应的特点空间是一切这些向量的聚集。四、定理谱定理在有限维的状况，将一切可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正轨矩阵，留意这包含自共轭（厄尔米特）的状况，这很有效，由于对角化矩阵T的函数f(T)的观点是明白的，在采取更一般的矩阵的函数的时候谱定理的用处就更分明了。五、数值计算的原则：在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。

特征向量是一种重要的数学概念，它可以用来描述一个空间中的点，并且可以用来表示一个空间中的几何形状。它也可以用来表示一个函数的变化，以及一个空间中的物体的位置和方向。因此，求特征向量是一个重要的数学问题。首先，要求特征向量，需要确定一个基础空间，并在该空间中定义一组基矢量。基矢量是一组线性无关的向量，它们可以用来表示空间中的任何点。一旦基矢量被确定，就可以求出特征向量。其次，要求特征向量，需要使用线性代数的知识。线性代数是一门数学学科，它研究的是矩阵和向量之间的关系。线性代数可以用来求解线性方程组，从而求出特征向量。最后，要求特征向量，还需要使用数值分析的知识。数值分析是一门研究计算机算法的学科，它可以用来求解复杂的数学问题。数值分析可以用来求解线性方程组，从而求出特征向量。总之，求特征向量是一个复杂的数学问题，需要综合运用线性代数和数值分析的知识。首先，需要确定一个基础空间，并在该空间中定义一组基矢量；其次，需要使用线性代数的知识求解线性方程组；最后，需要使用数值分析的知识求解线性方程组。只有综合运用这些知识，才能求出特征向量。

问题一：什么是特征向量？特征值？ 25分 特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量 来自UC浏览器 问题二：特征值和特征向量的几何意义是什么？ 特征向量的几何意义 特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想 一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标 量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时 先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！ 比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]"=[a -b]",其中上标"表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]"(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]"(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了! zz quentan blog 问题三：什么是左右特征向量 5分 A=[2 4 6;8 10 12;16 20 10] A = 2 4 6 8 10 12 16 20 10 >> [x,y]=eig(A) %x为右特征向量，s为左特征向量，v为规格化的左特征向量 x = -0.25057066610473 -0.75728611172496 -0.37026452747123 -0.57316596105677 0.64832528567130 -0.41252239696521 -0.78018915807239 -0.07868970039160 0.83230370160091 y = 29.83166481964299 0 0 0 -0.80100599693287 0 阀 0 0 -7.03065882271013 >> [s,t]=eig(A") s = -0.50784386176239 -0.84327293428122 -0.55495915239562 -0.66034030426232 0.52505980762843 -0.57529769964573 -0.55321360669909 -0.11490411969091 0.60087677268694 t = 29.83166481964298 0 0 0 -0.80100599693287 0 0 0 -7.03065882271013 >> v=inv(x)" v = -0.54178875996860 -0.85347174923880 -0.58855577812648 -0.70447824920440 0.53141005035764 -0.61012559898821 -0.59019107355381 -0.11629380718941 0.63725320139379 >> v(:,1)"*x(:,1) ans = 1 问题四：什么是左右特征向量？ 对于矩阵A，若AX = rX存在特征向量R，则称R为右特征向量；YA=rY存在特征向量L，则称L为左特征向量。 [211；020；0-11] 设A的特征值为λ 则|A-λE|= 2-λ 1 1 0 2-λ 0 0 -1 1-λ =(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0 所以λ=1或2 当λ=1 A-E= 1 1 1 0 1 0 0 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行 ～ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量为(1,0,-1)^T 当λ=2 A-2E= 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 第3行加上第1行 ～ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T 问题五：向量，特征向量，特征值是什么关系 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量，其满足的条件是AX=λX 问题六：模式识别中的特征向量和矩阵的特征向量有什么关系 昨天就看到这个问题，到现在竟然没有人回答，那我就稍微解答一下，具体深入理解请自行分析； 特征向量是个什么东西？学过矩阵论的人都知道，一个可逆的矩阵可以分解为特征值和特征向量的乘积，即AV=lambaV,其中V是特征向量矩阵；这个的好处是可以把一个矩阵换基；即将一个矩阵基底转换为以另一组以特征向量为基的矩阵；好处呢，显而易见，可以抛弃太小的特征值对应的基，他没意义嘛，从而起到降维的效果，这就是PCA降维，可以百度一下； 那么模式识别讲的特征向量是什么呢，这个是一个截然不同的概念，模式识别重在分类，分类用什么数据呢，当然是特征向量，这个特征指的是，你分类物体的特征，如人脸，指纹，那你就可以从这些图片上面提取；那提取的这些数据就构成了你物体的一个特征，这就是特征向量；当然，可能你提取的特征向量太多维，那么这个时候，为了计算简便，你就需要降维，就可以通过上面所讲的PCA算法；通过降维后的数据进行计算。 所以，这是两种截然不同的概念

特征向量的性质如下：第一性质线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。第二性质A的一个特征值λ的代数重次是λ作为A的特征多项式的零点的次数;换句话说，若λ是一个该多项式的根，它是因子(t u2212 λ)在特征多项式中在因式分解后中出现的次数。一个n×n矩阵有n个特征值，如果将代数重次计算在内的话，因为其特征多项式次数为n。一个代数重次1的特征值为"单特征值"。在关于矩阵理论的条目中，可能会遇到如下的命题:"一个矩阵A的特征值为4,4,3,3,3,2,2,1,"表示4的代数重次为二，3的是三，2的是二，而1的是1。这样的风格因为代数重次对于矩阵理论中的很多数学证明很重要而被大量使用。回想一下，我们定义特征向量的几何重次为相应特征空间的维数，也就是λI u2212 A的零空间。代数重次也可以视为一种维数:它是相应广义特征空间 (第一种意义)的维数，也就是矩阵(λI u2212 A)^k对于任何足够大的k的零空间。也就是说，它是"广义特征向量"(第一种意义)的空间，其中一个广义特征向量是任何一个如果 λI u2212 A作用连续作用足够多次就"最终"会变0的向量。任何特征向量是一个广义特征向量，以此任一特征空间被包含于相应的广义特征空间。这给了一个几何重次总是小于代数重次的简单证明。这里的第一种意义不可和下面所说的广义特征值问题混淆。

特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Ax=ax，则x就是对应于特征值a的特征向量。而解向量是对于方程组而言的，就是“方程组的解”，是一个意思。基础解系和特征向量的关系可以通过以下例子理解：A是矩阵，x是n维向量，基础解系是齐次方程组Ax=0的解，特征向量是由(A-λE)x=0对应的特征方程解得到的。第一性质线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。以上内容参考：百度百科-特征向量

一个特征值只能有一个特征向量，（非重根）又一个重根，那么有可能有两个线性无关的特征向量，也有可能没有两个线性无关的特征向量（只有一个）。不可能多于两个。如果有两个，则可对角化，如果只有一个，不能对角化；矩阵可对角化的条件：有n个线性无关的特征向量；这里不同的特征值，对应线性无关的特征向量。重点分析重根情况，n重根如果有n个线性无关的特征向量，则也可对角化。特征值和特征向量数学概念若σ是线性空间V的线性变换，σ对V中某非零向量x的作用是伸缩：σ（x）=aζ，则称x是σ的属于a的特征向量，a称为σ的特征值。位似变换σk（即对V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均为特征向量，它们同属特征值k；而旋转角θ（0<θ<π）的变换没有特征向量。可以通过矩阵表示求线性变换的特征值、特征向量。以上内容参考：百度百科-特征值和特征向量

特征值与特征向量的关系乘积等于对应方阵行列式的值，和等于对应方阵对角线元素之和。特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征搭腊岩值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量局衡。扩展资料：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向知御量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|。

求特征值的传统方法是令特征多项式｜ AE－A｜ ＝ 0，求出A的特征值，对于A的任一特征值h，特征方程（ aE－ A）X＝ 0的所有非零解X即为矩阵A的属于特征值N的特征向量两者的计算是分割的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组，且计算量都较大。使用matlab可以方便的计算任何复杂的方阵的特征值和特征向量：1、首先需要知道计算矩阵的特征值和特征向量要用eig函数，可以在命令行窗口中输入help eig，查看一下eig函数的用法，如下图所示：2、在命令行窗口中输入a＝［1 2 3；2 4 5；7 8 9］，按回车键之后，输入［x，y］＝eig（a），如下图所示：3、按回车键之后，得到了x，y的值，其中x的每一列值表示矩阵a的一个特征向量，这里有3个特征向量，y的对角元素值代表a矩阵的特征值，如下图所示：4、步如果我们要取y的对角元素值，可以使用diag（y），如下图所示：5、按回车键之后，可以看到已经取出y的对角线元素值，也就是a矩阵的特征值，如下图所示：6、第六步我们也可以在命令行窗口help diag，可以看到关于diag函数的用法，如下图所示：注意事项：特征值和特征向量的应用：1、可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如，在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据；2、数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐，会造成猫头鹰的种群灭亡；3、著名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。

特征向量不可以为零向量。例如：它只有一个特征值，也就是λ = 1。其特征多项式是(λ u2212 1)2，所以这个特征值代数重次为2。但是，相应特征空间是通常称为x轴的数轴，由向量线性撑成，所以几何重次只是1。广义特征向量可以用于计算一个矩阵的若当标准型。若当块通常不是对角化而是幂零的这个事实与特征向量和广义特征向量之间的区别直接相关。共轭特征向量一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征向量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但只在使用交替坐标系统的时候出现。例如，在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐 (FSA)，从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐 (BSA)，从而给出了共轭特征值方程。

矩阵的特征方程式是：A * x = lamda * x这个方程可以看出什么？矩阵实际可以看作一个变换，方程左边就是把向量x变到另一个位置而已；右边就是把向量x作了一个拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了，表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长（或缩短）lamda倍，仅此而已。任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。扩展资料矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：1、核：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。2、值域：某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。3、空间：向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。

|λE-A| =|λ-1/3 -2/3||-1/2 λ-1/2|= λ^2 - (5/6)λ + 1/6 - 2/6 = λ^2 - (5/6)λ - 1/6 = （λ-1)(λ+1/6)得特征值 λ = 1， -1/6.对于 λ = 1， λE-A =[ 2/3 -2/3][-1/2 1/2]初等行变换为 [ 1 -1][ 0 0]得 (λE-A)x = 0 的基础解系即 A 的特征向量 (1, 1)^T;对于 λ = -1/6， λE-A =[-1/2 -2/3][-1/2 -2/3]初等行变换为 [ 3 4][ 0 0]得 (λE-A)x = 0 的基础解系即 A 的特征向量 (4, -3)^T.

矩阵A求特征向量过程a)计算det(A-sE)=0，求出特征值b) 对于每个特征值，计算(A-sE)x =0，求出基础解系则基础解系每个向量都是特征向量

对于一个方阵来说求特征值的方法就是行列式方程|A-λE|=0解得λ 之后再代入矩阵A-λE中化简得到特征向量

判断一个非零向量α是否为矩阵A的特征向量，只需计算Aα，看它是否α的倍数，如果Aα=λα，则α就是A的对应于特征值λ的特征向量。

求特征值对应的特征向量的方法如下：1、给定一个方阵 A，找出其特征值 λ。2、对于每个特征值 λ，解方程组 (A - λI)X = 0，其中 A 是原矩阵，λ 是特征值，I 是单位矩阵，X 是待求的特征向量。3、将方程组 (A - λI)X = 0 转化为增广矩阵形式，即 (A - λI|0)。4、对增广矩阵进行行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵。5、根据行简化阶梯形矩阵的形式，可以得到特征向量的解。6、将解得的特征向量进行归一化，使其模长为1，即可得到单位特征向量。特征值的实际意义1、矩阵的特征值可以用于描述线性变换的特性。矩阵表示了一个线性变换，而特征值则提供了关于该变换的重要信息。特征值告诉我们变换对应的向量是否保持方向或缩放，以及变换对应的空间是否被拉伸或压缩。2、特征值和特征向量可以用于描述动力系统的稳定性。在物理、工程、经济等领域中，很多系统的演化可以用线性变换表示。特征值的实部决定了系统的稳定性，即系统是否趋向于稳定状态或发散。3、特征值可以用于降维和特征选择。在数据分析和机器学习中，特征值和特征向量可以用于将高维数据映射到低维空间，实现降维。通过选择最大特征值对应的特征向量，可以找到数据中最具代表性和区分性的特征。

特征向量系是线性代数的重要概念之一。若线性变换的特征向量系所含向量个数等于 n，则称其特征向量系是完全的。判断特征向量线性无关的方法：1、显式向量组将向量按列向量构造矩阵A。对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。梯矩阵的非零行数即向量组的秩。如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。否则向量组线性无关。2、隐式向量组一般是设向量组的一个线性组合等于0。若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。否则向量组线性相关。例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。判断特征向量线性无关的方法：1、显式向量组将向量按列向量构造矩阵A。对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。梯矩阵的非零行数即向量组的秩。如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。否则向量组线性无关。2、隐式向量组一般是设向量组的一个线性组合等于0。若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。否则向量组线性相关。例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。

求矩阵的特征向量公式：|A-λE|=0。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

|A-xE|=2-x 32 1-x=(2-x)(1-x)-6=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)所以特征值是-1,4-1对应的特征向量：(A+E)x=0的系数矩阵为3 3 2 2基础解系为[-1 1]"，所以-1对应的特征向量为[-1 1]"4对应的特征向量：(A-4E)x=0的系数矩阵为-2 32 -3基础解系为[3 2]"所以4对应的特征向量为[3 2]"

它们的特征值相同，特征向量不一定相同。相似则特征多项式相同，所以矩阵A和B的特征值相同。而对于相同的特征值x，An=xn，n为特征向量，一样的矩阵特征向量不一定相同。扩展资料：一、矩阵的特征值求值方法：Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。还可用mathematica求得。二、矩阵的特征向量求值方法：对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。设矩阵为A，特征向量是t，特征值是x，At=x*t，移项得（A-x*I）t=0，∵t不是零向量∴A-x*I=0，（2-x）（1-x）（-x）-4（2-x）=0，化简得（x-2）（x^2-x-4）=0，∴矩阵有三个特征值：2，（1±根号17）/2。把特征值分别代入方程，设x=（a，b，c），可得到对于x=2，b=0，a+c=0，对应x=2的特征向量为（-1，0，1）（未归一化），其它x的一样做。求矩阵的全部特征值和特征向量：1、计算的特征多项式；2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。以上内容参考：百度百科-特征值

方阵A的任何一个特征值都有无数个特征向量，但线性无关的只有n-r(λE-A)个。特征向量有以下性质:①来自不同特征值的特征向量线性无关。②n重特征值最多有n-r(λiE-A)个特征值。特别的，一重特征值有且仅有一个线性无关的特征向量。

例：已知矩阵A，有特征值λ1及其对应一个特征向量α1，特征值λ2及其对应一个特征向量α2，求矩阵A。∵　Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2∴ A[α1 α2]=[α1 α2] diag(λ1 λ2)，其中矩阵[α1 α2]为由两个特征向量作为列的矩阵，diag(λ1 λ2)为由于特征值作为对角元的对角矩阵。记矩阵P=[α1 α2]，矩阵Λ=diag(λ1 λ2)，则有：AP=PΛ∴ A=PΛP逆将P，Λ带入计算即可。注：数学符号右上角标打不出来（像P的－1次方那样），就用“P逆”表示了，希望能帮到您

具体步骤分析如下：1、第一步我们首先需要知道计算矩阵的特征值和特征向量要用eig函数，可以在命令行窗口中输入help eig，查看一下eig函数的用法，如下图所示：2、第二步在命令行窗口中输入a=[1 2 3;2 4 5;7 8 9]，按回车键之后，输入[x,y]=eig(a)，如下图所示：3、第三步按回车键之后，得到了x,y的值，其中x的每一列值表示矩阵a的一个特征向量，这里有3个特征向量，y的对角元素值代表a矩阵的特征值，如下图所示：4、第四步如果我们要取y的对角元素值，可以使用diag(y)，如下图所示：5、第五步按回车键之后，可以看到已经取出y的对角线元素值，也就是a矩阵的特征值，如下图所示：6、第六步我们也可以在命令行窗口help diag，可以看到关于diag函数的用法，如下图所示：扩展资料：MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。参考资料：百度百科——MATLAB

λ = 2 对应两个线性无关的特征向量。从 x1 -2x3 = 0 一个方程三个未知数就可知道，有两个变量是自由的。你只取了一组。应该再取一组 x2 = 1 ， x3 = 0 ，解出 x1 = 0 。

求出特征值后如何求解特征向量如下：特征值是矩阵的一个重要性质，可以通过求解特征方程来求得。特征方程是由矩阵减去特征值乘以单位矩阵再求行列式得到的方程。1.特征值和特征向量的定义：特征值是矩阵A满足方程Av=λv的数λ，其中v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。特征向量表示在矩阵作用下只发生伸缩变化而不改变方向的向量。2.求解特征值的步骤：首先，设矩阵A是一个n阶方阵。为了求解特征值，需要解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，det表示行列式。解特征方程可以得到n个特征值λ1，λ2，…，λn。3.特征方程的求解：特征方程det(A-λI)=0是一个关于λ的多项式方程，称为特征方程。根据多项式的性质，特征方程有n个根，也就是n个特征值。求解特征方程可以通过一些数值方法，如牛顿法、迭代法等。对于较小的矩阵，可以手动计算行列式来解方程。4.特征值的性质：特征值具有一些重要的性质。首先，特征值的和等于矩阵的迹（主对角线元素之和）。其次，特征值的乘积等于矩阵的行列式值。这些性质对于矩阵的分析和计算都具有一定的意义。拓展知识：特征值在线性代数中的应用：特征值的求解对于线性代数和相关领域有着广泛的应用。在物理、工程、计算机图形学等领域中，特征值和特征向量常用于描述变换、振动、稳定性分析、图像处理等问题。特征值分解还可以将矩阵分解成对角化的形式，简化矩阵运算。特征值分解和矩阵对角化：对于一个可对角化的方阵A，可以将其分解为A=PDP^(-1)，其中P是由特征向量构成的矩阵，D是对应特征值构成的对角矩阵。这种分解称为特征值分解或矩阵对角化，对于特征值的求解起到了重要的作用。特征值的重复性：矩阵的特征值可以是重复的，即存在多个特征值相等的情况。这时，对应于相同特征值的特征向量可以形成一个向量子空间。在求解特征值时，需要考虑到特征值重复的情况，并求解对应的特征向量。总结：特征值是矩阵的重要性质，可以通过求解特征方程来获得。求解特征值可以通过解特征方程，得到所有的特征值。特征值和特征向量在线性代数和相关领域有广泛的应用，特征值分解和矩阵对角化是常见的应用之一。同时，需要注意特征值可能出现重复的情况，需要特别处理。

为什么任何一个特征值对应无数个特征向量？Ax=px，满足上述方程的p为特征值，对应的x为特征向量。遗项后得到（A-p I）x=Bx=0,其中 I 为单位矩阵。满足上述方程的p，也就是矩阵A的特征值，会使得矩阵B的行列式为0。根据线性代数的理论，对于方程Bx=0，当矩阵B的行列式为0时，x有无穷多组非零解。另外，对于方程Bx=0，若x是该方程的非零解，即x是特征向量，因为B（kx）=k（Bx）=0,则kx也是该方程的解，即kx也是特征向量，k只要是非零常数即可。因此，任何一个特征值对应无数个特征向量

数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”。这显示了特征值对于定义特定的线性变换有多重要。

对于矩阵A,若AX = rX存在特征向量R,则称R为右特征向量;YA=rY存在特征向量L,则称L为左特征向量。线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量，特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。扩展资料：一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式：其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值都为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。参考资料来源：百度百科-特征向量

对于矩阵A,若AX = rX存在特征向量R,则称R为右特征向量;YA=rY存在特征向量L,则称L为左特征向量。线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量，特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。扩展资料：一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式：其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值都为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。参考资料来源：百度百科-特征向量

正交化会，单位化就是把这个向量化为单位向量。比如向量(1，2，3)单位化就是：[1/根号下(1^2+2^2+3^2)，2/根号下(1^2+2^2+3^2)，3/根号下(1^2+2^2+3^2)]=(1/根号14，2/根号14，3/根号14)线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。扩展资料：假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。其特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。参考资料来源：百度百科--特征向量

求特征向量：Ax=cx，矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。 一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

问题一：什么是特征向量？特征值？ 25分 特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量 来自UC浏览器 问题二：特征值和特征向量的几何意义是什么？ 特征向量的几何意义 特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想 一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标 量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时 先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！ 比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]"=[a -b]",其中上标"表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]"(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]"(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了! zz quentan blog 问题三：什么是左右特征向量 5分 A=[2 4 6;8 10 12;16 20 10] A = 2 4 6 8 10 12 16 20 10 >> [x,y]=eig(A) %x为右特征向量，s为左特征向量，v为规格化的左特征向量 x = -0.25057066610473 -0.75728611172496 -0.37026452747123 -0.57316596105677 0.64832528567130 -0.41252239696521 -0.78018915807239 -0.07868970039160 0.83230370160091 y = 29.83166481964299 0 0 0 -0.80100599693287 0 阀 0 0 -7.03065882271013 >> [s,t]=eig(A") s = -0.50784386176239 -0.84327293428122 -0.55495915239562 -0.66034030426232 0.52505980762843 -0.57529769964573 -0.55321360669909 -0.11490411969091 0.60087677268694 t = 29.83166481964298 0 0 0 -0.80100599693287 0 0 0 -7.03065882271013 >> v=inv(x)" v = -0.54178875996860 -0.85347174923880 -0.58855577812648 -0.70447824920440 0.53141005035764 -0.61012559898821 -0.59019107355381 -0.11629380718941 0.63725320139379 >> v(:,1)"*x(:,1) ans = 1 问题四：什么是左右特征向量？ 对于矩阵A，若AX = rX存在特征向量R，则称R为右特征向量；YA=rY存在特征向量L，则称L为左特征向量。 [211；020；0-11] 设A的特征值为λ 则|A-λE|= 2-λ 1 1 0 2-λ 0 0 -1 1-λ =(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0 所以λ=1或2 当λ=1 A-E= 1 1 1 0 1 0 0 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行 ～ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量为(1,0,-1)^T 当λ=2 A-2E= 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 第3行加上第1行 ～ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T 问题五：向量，特征向量，特征值是什么关系 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量，其满足的条件是AX=λX 问题六：模式识别中的特征向量和矩阵的特征向量有什么关系 昨天就看到这个问题，到现在竟然没有人回答，那我就稍微解答一下，具体深入理解请自行分析； 特征向量是个什么东西？学过矩阵论的人都知道，一个可逆的矩阵可以分解为特征值和特征向量的乘积，即AV=lambaV,其中V是特征向量矩阵；这个的好处是可以把一个矩阵换基；即将一个矩阵基底转换为以另一组以特征向量为基的矩阵；好处呢，显而易见，可以抛弃太小的特征值对应的基，他没意义嘛，从而起到降维的效果，这就是PCA降维，可以百度一下； 那么模式识别讲的特征向量是什么呢，这个是一个截然不同的概念，模式识别重在分类，分类用什么数据呢，当然是特征向量，这个特征指的是，你分类物体的特征，如人脸，指纹，那你就可以从这些图片上面提取；那提取的这些数据就构成了你物体的一个特征，这就是特征向量；当然，可能你提取的特征向量太多维，那么这个时候，为了计算简便，你就需要降维，就可以通过上面所讲的PCA算法；通过降维后的数据进行计算。 所以，这是两种截然不同的概念

特征向量是方阵的非零向量，其纯数量表示为特征值。下面是求解特征向量的详细步骤：1. 计算矩阵的特征值首先需要计算矩阵的特征值。我们可以通过解决以下方程来计算：Ax = λx其中A为输入矩阵，x是我们要找的向量，λ为特征值。2. 计算特征值对应的特征向量一旦获得所有的特征值，就可以计算每个特征值对应的特征向量。我们可以通过以下方程来计算：(A-λI)x = 0其中λ为特征值，I是单位矩阵，x是我们要找的向量。通过解决该方程，我们可以得到特征向量x。3. 规范化特征向量为了方便处理，我们需要将特征向量规范化（即使其模长为1）。我们可以通过计算以下公式来实现：x = x/ ||x||其中||x||为向量x的模长。4. 校验特征向量现在我们已经得到了特征向量，需要校验它们是否正确。我们可以用以下方式来校验：Ax = λx将特征向量带入该公式，我们应该得到与特征值对应的结果。如果结果不一致，则表明我们可能犯了错误。5. 重复步骤2-4如果矩阵有多个特征值，则需要重复步骤2-4，以获取所有特征向量。

从定义出发，Ax=cx，A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果，并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。 当在计算中微子振荡概率时发现，特征向量和特征值的几何本质，其实就是空间矢量的旋转和缩放。而中微子的三个（电子，μ子，τ子），就相当于空间中的三个向量之间的变换。 用户只需要列一个简单的方程式，特征向量便可迎刃而解。公式表示只需要通过删除原始矩阵的行和列，创建子矩阵。再将子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一起，就可以计算原始矩阵的特征向量。 传统的求解特征向量思路，是通过计算特征多项式，然后去求解特征值，再求解齐次线性方程组，最终得出特征向量。

特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

P是n阶可逆矩阵 ，已知n维列向量β是属于特征值λ的特征限量，则矩阵(P^( -1) AP)倒置的属于特征值λ的特征向量是设矩阵(P^( -1) AP=B。它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。扩展资料：它的驻波——即那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减小。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。参考资料来源：百度百科-特征向量

1、设x是矩阵A的特征向量，先计算Ax；2、发现得出的向量是x的某个倍数；3、计算出倍数，这个倍数就是要求的特征值。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。扩展资料：特征向量的性质：特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

特征向量是线性代数中的概念，它是指在矩阵运算中，被矩阵变换后结果方向不变的向量。解特征向量的过程可以通过以下步骤进行：1. 计算矩阵的特征值。特征值是标量，可以通过行列式的值计算得到。设矩阵为A，则特征值为λ，有|A-λI|=0，其中I为单位矩阵，即可求出λ的值。2. 代入λ的值，求解特征向量。对于每特征值λ，都存在对应的特征向量v，满足(A-λI)v=0，其中0是零向量。可以通过高斯消元或矩阵的秩等方法求解该方程组，得到特征向量v。需要注意的是，矩阵可以有多组不同的特征值与特征向量，且特征向量只有在非零向量条件下才有意义。

特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Ax=ax，则x就是对应于特征值a的特征向量。而解向量是对于方程组而言的，就是“方程组的解”，是一个意思。基础解系和特征向量的关系可以通过以下例子理解：A是矩阵，x是n维向量，基础解系是齐次方程组Ax=0的解，特征向量是由(A-λE)x=0对应的特征方程解得到的。第一性质线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。以上内容参考：百度百科-特征向量

对于矩阵A,若AX = rX存在特征向量R,则称R为右特征向量;YA=rY存在特征向量L,则称L为左特征向量。线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量，特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。扩展资料：一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式：其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值都为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。参考资料来源：百度百科-特征向量

一个特征值只能有一个特征向量,（非重根）又一个重根,那么有可能有两个线性无关的特征向量,也有可能没有两个线性无关的特征向量（只有一个）.不可能多于两个.如果有两个,则可对角化,如果只有一个,不能对角化矩阵可对角化的条件：有n个线性无关的特征向量这里不同的特征值,对应线性无关的特征向量.重点分析重根情况,n重根如果有n个线性无关的特征向量,则也可对角化

1.属于不同特征值的特征向量一定线性无关.2.相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.3.设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量,且a~b,即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap,则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量．4.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1,2,3...的特征向量（1,2,3...中可以有相同的值）．

这个题本身比较简单，但是为了说明一般过程，还是一步步按照正常流程来做。先求特征值，再求基础解析，最后求特征向量：以上，请采纳。