椭圆三大定义

椭圆第三定义，也称为几何定义，是指一个点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。这个定义是椭圆的一种定义方式，与椭圆的数学定义以及椭圆的经验定义不同。对于这个定义，它意味着椭圆是由一个动点和一个不动点（即两个焦点）的运动轨迹组成。根据这一定义，可以进一步说明椭圆的一些性质。首先，椭圆上任何一个点到两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度，这使得椭圆的形状非常特殊，仅次于圆形。其次，椭圆有两个焦点，这也是其他几何图形所不具备的。这个性质可以用于椭圆的构造和计算。最后，长轴和短轴的长度是椭圆的两个主要参数，它们决定了椭圆的大小和形状。除了几何定义之外，椭圆还有其他的定义方式。在数学上，可以使用一组方程来定义椭圆，例如一个二次方程。在经验上，可以从椭圆的外形和特征来判定一个图形是否为椭圆。不同的定义方式可以提供不同的角度来分析和解释椭圆的性质和特征。总的来说，椭圆的第三定义是指一个点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。这个定义揭示了椭圆的一些基本性质，例如椭圆的形状、焦点的位置和长短轴的长度等等。不同的定义方式可以让我们从不同的角度来认识和理解椭圆，深入挖掘椭圆的本质和内涵。

椭圆的第三定义是指，椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中F1和F2被称为焦点，2a被称为椭圆的长轴。椭圆还具有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。根据椭圆的这些定义和性质，我们可以得出一些推论：1. 椭圆的离心率小于1：椭圆的离心率定义为焦点到中心的距离与椭圆长轴的长度之比。根据椭圆的第三定义，焦点到中心的距离小于椭圆的长轴长度，所以离心率小于1。2. 椭圆的离心率趋近于0时，形状接近于一个圆：当椭圆的离心率接近于0时，焦点到中心的距离趋近于0，椭圆的形状逐渐接近于一个圆。3. 椭圆的两个焦点对称于椭圆的中心：根据椭圆的第三定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等，因此椭圆的两个焦点关于椭圆的中心具有对称性。4. 椭圆的长轴是对称轴，短轴是短径：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，也是椭圆上的最长的直径；短轴是与长轴垂直，并且通过中心的直径，也是椭圆上的最短直径。这些推论可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质及其在几何学和物理学中的应用。

第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点。这里的e应该指离心率。当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。标准方程：F点在X轴：椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1)焦点在X轴时，标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)。2)焦点在Y轴时，标准方程为:y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)。其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。

椭圆第三定义是椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。平面内的动点到两定点A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘积，等于常数e-1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于-1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。椭圆的其它定义第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。第二定义：平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。

椭圆的第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.手绘法（1）：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。（2）：连接AC。（3）：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。（4）：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。（5）：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。（6）：截取H，G对于O点的对称点H"，G" ⑺：H，H"为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G"为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。

第三定义：平面内的动点到两定点a1(a,0)、a2(-a,0)的斜率乘积等于常数e^2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点。这里的e应该指离心率。当常数大于-1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。说实话，个人觉得第三定义没有太大意义，并且由第三定义得出的轨迹是一个不完整的椭圆（因为除掉了两顶点。）

定义 平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线. 其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点. 当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.

椭圆的三个定义如下：1. 几何定义：椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数的点的集合构成。换句话说，椭圆是到两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。2. 代数定义：椭圆可以通过代数方程来定义。在直角坐标系中，一个椭圆的代数方程通常形如 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。3. 轨迹定义：椭圆也可以通过运动学的观点来定义。当一个点沿着一个平面上的轨迹，且到两个焦点的距离之和等于常数时，该轨迹即为椭圆。这种定义可以在描述行星绕太阳运动的椭圆轨道时得到应用。这些定义提供了不同的视角来理解椭圆的性质和特征。椭圆在几何学、代数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

分类: 电脑/网络 >> 程序设计 >> 其他编程语言 问题描述: 如题 解析: 椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 椭圆第二定义：到一定点与一定直线的距离之比等于定值（这个定值小于1）的点的 *** 为一椭圆（平面内到定点与到定直线的距离的比是常数e(e>0)的点的轨迹,当0<e<1时,是椭圆）。 椭圆第三定义：由于是数学字符，无法表示，请到网址看jky.xsedu/Article/UploadFiles/2005811115353591.doc。

椭圆的解释[ellipse;elliptic] 一种 规则 的卵形线;特指平面两定点(焦点)的距离之和为一常数的所有点的轨迹 详细解释 亦作“ 椭圜 ”。长 圆形 。 清 姚鼐 《罗雨峰鬼趣图》 诗：“君看隙外光，穿落窗中壤，或方或椭圜，横斜直曲枉。” 杨沫 《 青春 之歌》 第一部第一章：“她的脸庞是椭圆的、白晳的， 晶莹 得好像透明的玉石。” 词语分解 椭的解释 椭 （椭） ǒ 〔椭圆〕长圆形。 （椭） 部首 ：木； 圆的解释 圆 （圆） á 从中心点到周边任何一点的距离都相等的形：圆形。圆圈。圆周。圆锥。圆柱。 完备，周全： 圆满 。圆全。 使之周全： 自圆其说 。圆谎。圆场。 占梦以决吉凶：圆梦。 宛转，滑利： 圆滑 。圆润。 运转

1、平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆。2、平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数离心率的点的集合，其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线。3、平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k值应满足一定的条件，即为排除斜率不存在的情况。

椭圆的三大定义介绍如下：1. 有两个焦点F1和F2，它们位于椭圆的长轴上，且距离为2a，其中a为椭圆的半长轴的长度。2. 椭圆的两个焦点与任意一点P到焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的离心率e定义为焦距与半长轴之比，即e = c/a，其中c是焦距的长度。椭圆具有许多特点和性质，例如对称性、四个顶点和两个焦点之间的关系，以及与长轴、短轴和离心率相关的性质。椭圆在数学、物理、工程和其他领域中有着广泛的应用，例如天体轨道、电子轨道等。当我们进一步扩展椭圆的定义时，可以涉及到以下内容：1. 椭圆的方程：椭圆可以用数学方程来描述。在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。2. 椭圆的焦点性质：椭圆的一个重要性质是焦点定理。根据焦点定理，椭圆上的任意一点P到两个焦点之间的距离之和等于椭圆的长轴的长度。即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的参数方程：除了直角坐标系中的方程表示，椭圆也可以用参数方程来描述。通常使用参数t来表示椭圆上的点的位置，参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)。4. 椭圆的离心率：离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。它定义为焦距与半长轴的比例，即e = c/a。离心率决定了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一个细长的形状。5. 椭圆的重要性质：椭圆有许多重要的几何性质。例如，椭圆的周长可以由椭圆的参数计算，周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的椭圆积分。椭圆还有弦长、面积、切线和法线等各种几何性质。6. 椭圆的应用：椭圆在许多领域中有着广泛的应用。在天体力学中，行星轨道通常被建模为椭圆轨道。在工程学中，抛物面天线和椭圆镜面反射器等设备也利用了椭圆的特性。此外，椭圆还在密码学、信号处理和图像处理等领域中有着重要的应用。总之，扩展椭圆的定义可以涵盖更多的数学方程、性质、参数、应用和解释。这些概念和应用有助于更深入地理解和应用椭圆。

椭圆第三定义——线段最值，在于巧妙将椭圆的第三定义与y1y2联系在一起，令人眼前一亮，最后利用均值不等式找到B1B2最小值，解题或者教学可作借鉴。

定义 平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线. 其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点. 当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.

定义 平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.

椭圆的第三定义平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。 扩展资料 椭圆的第三定义平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的`点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点。当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。

一个是长轴不等于短轴，不然就是圆了。另一个，是左右焦点。

第一定义：平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。第二定义：平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。其他定义：根据椭圆的一条重要性质，也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e^2-1。可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有k应满足<0且不等于-1。扩展资料：在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。参考资料：百度百科-椭圆

不是点差法推导出来的。椭圆第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。点差法：点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。扩展资料：点差法常见问题1、在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。2、解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.3、若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标（a，b）,（c，d），将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".参考资料来源：百度百科-点差法

1.椭圆，是平面上到两个固定点的距离之和是同一个常数的轨迹。 2.这两个固定点叫做焦点。 3.它是圆锥曲线的一种，即圆锥和平面的截线。 4.椭圆在方程上可以写为标准式x方除a方加y方除b方等于1。 5.第一定义：平面内和两定点FF2的距离的和等于常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆。 6.第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离之比为常数e，其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线。

不完全正确。椭圆的第三定义是：所有到两个定点距离之和等于常数的点的集合。这两个定点被称为椭圆的焦点，它们的距离称为椭圆的焦距，常数称为椭圆的长轴长度。在定义中，这两个定点是固定的，不会变化。所有到这两个定点距离之和等于常数的点的集合构成了椭圆。因此，这两个定点不是任意的点，而是椭圆的重要属性之一。如果你改变这两个点的位置或距离，那么椭圆的形状和大小也会随之变化。

一是椭圆定义、二是几何性质、三是平面内的动点到两定点a1(a,0)、a2(-a,0)的斜率乘积等于常数e^2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.

椭圆的第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合(定 点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)。

适用。根据网络资料显示，椭圆第三定义是椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度，所以椭圆第三定义焦点在y适用。

不可以的，只能用最基本的第一定义，直接用回扣分。如果想用①在试卷上简单推一遍 ②在草稿纸上用，把结果写在试卷上

椭圆只有两个定义，即到两点距离和为常数与离心率那个，没有第三定义。

椭圆的定义有两个，具体如下：第一定义平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。第二定义平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1）的点的轨迹。我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。这两个定义是等价的。椭圆的长半轴、短半轴和面积公式如果把椭圆的任意一条对称轴与椭圆的两个交点所对应的线段都称为椭圆的“轴”，那么较长的那个“轴”被称为椭圆的长轴，较短的那个“轴”被称为椭圆的短轴。习惯上，把椭圆的长轴长度记为“2a”，并把以椭圆的对称中心为端点的长轴的一半称作这个椭圆的长半轴；把椭圆的短轴长度记为“2b”，并把以椭圆的对称中心为端点的短轴的一半称作这个椭圆的短半轴。有了“长半轴”和“短半轴”的概念后，任何一个椭圆的面积公式就可以表述为：“椭圆的面积等于圆周率π与长半轴长、短半轴长这三者间的乘积”，用数学公式可以表示为：S=πab。

椭圆第一定义：椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。椭圆第二定义：椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆第三定义：椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

只有椭圆和双曲线有第三定义即椭圆或双曲线上一动点（两顶点除外）与两顶点（a,0）（-a,0）或（0，a）（0，－a）连线的斜率的乘积为定值e＾2－1。简介第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。P为椭圆的动点。第二定义：椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

定义 椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的） 1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）； 2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的;[编辑本段]标准方程 高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。 椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： 1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0) 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1[编辑本段]公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a[编辑本段]椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 相关性质 由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。 例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点 用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。 -----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程.（2）直线l：y=x+1与椭圆交与a，b两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.（3）设直线l与椭圆C交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值. 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c==√2，b=√(a05-c05),b=1,方程是x^2/3+y^2/1=1，二，要求面积，显然已ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求的m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的3√2/2,面积1/2*3√2/2*3√2/2=9/4,

双曲线的第二定义和第三定义如下：双曲线的第二定义的具体介绍：(x+c)+y2-V(x-c)+y2=和(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)分别进行变形整理，PFl=e,e>1,FEl双曲线的第二定义:点P满足 d，1为定直线。则P点的轨迹为双曲线.其中F为定点。平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率,e=c/a)地点的集合(定点f不在定直线上,该常数为小于1的正数)。双曲线的第三定义的具体介绍：第三定义:椭圆上的点与圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e~2-1，椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的。双曲线的具体介绍：一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολu03afα”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

过原点的一条直线与椭圆交于2个点 椭圆上一动点与2个交点的连线的斜率之积为-b^2/a^2

椭圆的第三定义：平面内的动点到两定点A1(-a，0)、A2(a，0)的斜率乘积等于常数e^2-1当常数大于-1小于0时地点的轨迹叫做椭圆。其中两定点分别为椭圆的顶点。这里的e指离心率。注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。椭圆也可看作圆按一定方向做压缩或拉伸一定比例所得图形。简介第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。P为椭圆的动点。第二定义：椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

椭圆的第三定义是指，椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中F1和F2被称为焦点，2a被称为椭圆的长轴。椭圆还具有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。根据椭圆的这些定义和性质，我们可以得出一些推论：1. 椭圆的离心率小于1：椭圆的离心率定义为焦点到中心的距离与椭圆长轴的长度之比。根据椭圆的第三定义，焦点到中心的距离小于椭圆的长轴长度，所以离心率小于1。2. 椭圆的离心率趋近于0时，形状接近于一个圆：当椭圆的离心率接近于0时，焦点到中心的距离趋近于0，椭圆的形状逐渐接近于一个圆。3. 椭圆的两个焦点对称于椭圆的中心：根据椭圆的第三定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等，因此椭圆的两个焦点关于椭圆的中心具有对称性。4. 椭圆的长轴是对称轴，短轴是短径：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，也是椭圆上的最长的直径；短轴是与长轴垂直，并且通过中心的直径，也是椭圆上的最短直径。这些推论可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质及其在几何学和物理学中的应用。

第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点。这里的e应该指离心率。当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。标准方程：F点在X轴：椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1)焦点在X轴时，标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)。2)焦点在Y轴时，标准方程为:y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)。其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。

简单分析一下，详情如图所示

椭圆第三定义，也称为几何定义，是指一个点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。这个定义是椭圆的一种定义方式，与椭圆的数学定义以及椭圆的经验定义不同。对于这个定义，它意味着椭圆是由一个动点和一个不动点（即两个焦点）的运动轨迹组成。根据这一定义，可以进一步说明椭圆的一些性质。首先，椭圆上任何一个点到两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度，这使得椭圆的形状非常特殊，仅次于圆形。其次，椭圆有两个焦点，这也是其他几何图形所不具备的。这个性质可以用于椭圆的构造和计算。最后，长轴和短轴的长度是椭圆的两个主要参数，它们决定了椭圆的大小和形状。除了几何定义之外，椭圆还有其他的定义方式。在数学上，可以使用一组方程来定义椭圆，例如一个二次方程。在经验上，可以从椭圆的外形和特征来判定一个图形是否为椭圆。不同的定义方式可以提供不同的角度来分析和解释椭圆的性质和特征。总的来说，椭圆的第三定义是指一个点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。这个定义揭示了椭圆的一些基本性质，例如椭圆的形状、焦点的位置和长短轴的长度等等。不同的定义方式可以让我们从不同的角度来认识和理解椭圆，深入挖掘椭圆的本质和内涵。

椭圆第三定义，也称为几何定义，是指一个点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。这个定义是椭圆的一种定义方式，与椭圆的数学定义以及椭圆的经验定义不同。对于这个定义，它意味着椭圆是由一个动点和一个不动点（即两个焦点）的运动轨迹组成。根据这一定义，可以进一步说明椭圆的一些性质。首先，椭圆上任何一个点到两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度，这使得椭圆的形状非常特殊，仅次于圆形。其次，椭圆有两个焦点，这也是其他几何图形所不具备的。这个性质可以用于椭圆的构造和计算。最后，长轴和短轴的长度是椭圆的两个主要参数，它们决定了椭圆的大小和形状。除了几何定义之外，椭圆还有其他的定义方式。在数学上，可以使用一组方程来定义椭圆，例如一个二次方程。在经验上，可以从椭圆的外形和特征来判定一个图形是否为椭圆。不同的定义方式可以提供不同的角度来分析和解释椭圆的性质和特征。总的来说，椭圆的第三定义是指一个点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。这个定义揭示了椭圆的一些基本性质，例如椭圆的形状、焦点的位置和长短轴的长度等等。不同的定义方式可以让我们从不同的角度来认识和理解椭圆，深入挖掘椭圆的本质和内涵。

椭圆的第三定义是指，椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中F1和F2被称为焦点，2a被称为椭圆的长轴。椭圆还具有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。根据椭圆的这些定义和性质，我们可以得出一些推论：1. 椭圆的离心率小于1：椭圆的离心率定义为焦点到中心的距离与椭圆长轴的长度之比。根据椭圆的第三定义，焦点到中心的距离小于椭圆的长轴长度，所以离心率小于1。2. 椭圆的离心率趋近于0时，形状接近于一个圆：当椭圆的离心率接近于0时，焦点到中心的距离趋近于0，椭圆的形状逐渐接近于一个圆。3. 椭圆的两个焦点对称于椭圆的中心：根据椭圆的第三定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等，因此椭圆的两个焦点关于椭圆的中心具有对称性。4. 椭圆的长轴是对称轴，短轴是短径：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，也是椭圆上的最长的直径；短轴是与长轴垂直，并且通过中心的直径，也是椭圆上的最短直径。这些推论可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质及其在几何学和物理学中的应用。

椭圆的第三定义：平面内的动点到两定点A1(-a，0)、A2(a，0)的斜率乘积等于常数e^2-1当常数大于-1小于0时地点的轨迹叫做椭圆。其中两定点分别为椭圆的顶点。这里的e指离心率。注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。椭圆也可看作圆按一定方向做压缩或拉伸一定比例所得图形。简介第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。P为椭圆的动点。第二定义：椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

平面内的动点到两定点A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘积，等于常数 e-1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于-1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。椭圆的第一定义和第二定义第一定义：平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。第二定义：平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。

椭圆第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。椭圆的推论：椭圆被直线所截线段的长度 通常是联立圆和直线的方程。得到关于x或者y的一元二次方程。然后用公式l=sqrt(1+k^2) |X1-X2| 或者 l=sqrt(1+(1/k)^2) |Y1-Y2| （k为直线斜率）椭圆的性质1、椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<X<1）。e=c/a（0<e<1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。2、椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c，0）与准线x=±a^2/c） 的距离为a^2/c-c=b^2/c3、焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。4、椭圆过右焦点的半径r=a-ex。5、过左焦点的半径r=a+ex。

椭圆第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。椭圆被直线所截线段的长度，通常是联立圆和直线的方程。得到关于x或者y的一元二次方程。然后用公式l=sqrt(1+k^2) |X1-X2| 或者 l=sqrt(1+(1/k)^2) |Y1-Y2| （k为直线斜率）椭圆的性质1、椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<X<1）。e=c/a（0<e<1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。2、椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c，0）与准线x=±a^2/c） 的距离为a^2/c-c=b^2/c3、焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。4、椭圆过右焦点的半径r=a-ex。5、过左焦点的半径r=a+ex。

椭圆的第三定义是指，椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中F1和F2被称为焦点，2a被称为椭圆的长轴。椭圆还具有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。根据椭圆的这些定义和性质，我们可以得出一些推论：1. 椭圆的离心率小于1：椭圆的离心率定义为焦点到中心的距离与椭圆长轴的长度之比。根据椭圆的第三定义，焦点到中心的距离小于椭圆的长轴长度，所以离心率小于1。2. 椭圆的离心率趋近于0时，形状接近于一个圆：当椭圆的离心率接近于0时，焦点到中心的距离趋近于0，椭圆的形状逐渐接近于一个圆。3. 椭圆的两个焦点对称于椭圆的中心：根据椭圆的第三定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等，因此椭圆的两个焦点关于椭圆的中心具有对称性。4. 椭圆的长轴是对称轴，短轴是短径：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，也是椭圆上的最长的直径；短轴是与长轴垂直，并且通过中心的直径，也是椭圆上的最短直径。这些推论可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质及其在几何学和物理学中的应用。

定义 平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线. 其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点. 当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.

椭圆的第三定义：平面内的动点到两定点A1(-a，0)、A2(a，0)的斜率乘积等于常数e^2-1当常数大于-1小于0时地点的轨迹叫做椭圆。其中两定点分别为椭圆的顶点。这里的e指离心率。注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。椭圆也可看作圆按一定方向做压缩或拉伸一定比例所得图形。简介第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。P为椭圆的动点。第二定义：椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点。这里的e应该指离心率。当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。说实话，个人觉得第三定义没有太大意义，并且由第三定义得出的轨迹是一个不完整的椭圆（因为除掉了两顶点。）

椭圆的三个定义如下：1. 几何定义：椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数的点的集合构成。换句话说，椭圆是到两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。2. 代数定义：椭圆可以通过代数方程来定义。在直角坐标系中，一个椭圆的代数方程通常形如 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。3. 轨迹定义：椭圆也可以通过运动学的观点来定义。当一个点沿着一个平面上的轨迹，且到两个焦点的距离之和等于常数时，该轨迹即为椭圆。这种定义可以在描述行星绕太阳运动的椭圆轨道时得到应用。这些定义提供了不同的视角来理解椭圆的性质和特征。椭圆在几何学、代数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

椭圆的解释[ellipse;elliptic] 一种 规则 的卵形线;特指平面两定点(焦点)的距离之和为一常数的所有点的轨迹 详细解释 亦作“ 椭圜 ”。长 圆形 。 清 姚鼐 《罗雨峰鬼趣图》 诗：“君看隙外光，穿落窗中壤，或方或椭圜，横斜直曲枉。” 杨沫 《 青春 之歌》 第一部第一章：“她的脸庞是椭圆的、白晳的， 晶莹 得好像透明的玉石。” 词语分解 椭的解释 椭 （椭） ǒ 〔椭圆〕长圆形。 （椭） 部首 ：木； 圆的解释 圆 （圆） á 从中心点到周边任何一点的距离都相等的形：圆形。圆圈。圆周。圆锥。圆柱。 完备，周全： 圆满 。圆全。 使之周全： 自圆其说 。圆谎。圆场。 占梦以决吉凶：圆梦。 宛转，滑利： 圆滑 。圆润。 运转

第三定义：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.这里的e应该指离心率. 当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线. 说实话,个人觉得第三定义没有太大意义,并且由第三定义得出的轨迹是一个不完整的椭圆（因为除掉了两顶点.）