什么是线性方程？

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y、y。扩展资料：微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。参考资料来源：百度百科-微分方程

线性微分方程具有以下几个要求：1. 线性性质：线性微分方程是指方程中的未知函数及其导数（或高阶导数）以及系数之间满足线性关系。即方程形式为线性组合。2. 阶数：线性微分方程的阶数为未知函数的最高阶导数的阶数。例如，一阶线性微分方程包含一阶导数，二阶线性微分方程包含二阶导数，依此类推。3. 系数函数：线性微分方程中的系数函数可以是常数函数，也可以是与自变量有关的函数。4. 解空间：对于n阶线性微分方程，通常有n个线性无关的解。这意味着在求解时需要找到足够数量的线性无关解。5. 初始条件或边界条件：为了确定唯一解，线性微分方程需要给定一些初始条件（对应初值问题）或边界条件（对应边值问题）。总的来说，线性微分方程由未知函数、导数及系数函数构成，并且满足线性性质，通过给定的初始条件或边界条件确定唯一解。

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1故 a=-2，b=1对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x设其特解为 y*=Ax+B代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x整理可得（A-1）x+（B-2A）=0所以 A=1，B=2所以特解为 y*=x+2通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2将y（0）=2，y（0）=0 代入可得C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2故答案为-xex+x+2扩展资料：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

区别线性微分方程和非线性微分方程如下：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y"都是一次方。如y"=2xy。2.非线性，就是除了线性的。如y"=2xy^2。所谓的线性微分方程 linear differential differentiation，其中A、只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；C、函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。扩展资料微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。参考资料：百度百科-微分方程

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"对于二阶微分方程,形如:y""+p(x)y"+q(x)y+f(x)=0的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的但y"=y^2不是线性的注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2不是线性的x*y"=2是线性的(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y是线性的y"=sin(y)y是非线性的(3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y是线性的y"=y^2是非线性的

1、两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。2、两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。3、一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

一阶线性微分方程中的线性什么意思？答：仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。yy"-2xy=3yy"有相乘关系，所以不是线性的。y"-cosy=1老师也说是非线性的，y"的系数也是常数啊；答：y的系数是常数，但cosy已经不是幂函数了。还有：求方程ydx+(x-y^3)dy=0的通解答案第一句话是这样的：方程含有y^3,故不是关于未知函数y的线性方程……线性到底是指什么呀？答：y^3显然不是线性的。前面已经说了：仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。y^3是3次幂而不是一次幂。一楼乱讲。线性根本不是这个概念。一阶导数的系数为常数的叫常系数方程，跟是否线性无关。

一阶线性微分方程公式是：y"+P(x)y=Q(x)。形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。一阶线性微分推导：实际上公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。

线性就是对于每个阶次,幂指数最高次数为1.或者0, 例如 y"""+4y""+8y"+9y=0 每个阶次的次数的幂指数都是1. 形如下面的就是非线性的. （y""")^2+4y""+8y"+9y=0 y"""幂指数最高次数为2.

一阶线性微分方程是形如y"+P（x）y=Q（x）的微分方程。其中Q（x）称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。实际上公式：y"＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。

齐次线性微分方程是：形如y""+py"+qy=0的方程称为“齐次线性方程”。“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。 微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：形如y"=f (y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的。如：x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y"=1+y/x中每一项都是0次项。微分微分在数学中的定义：由函数B=f（A），得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f（x）的微分又可记作dy = f"（x）dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫作微商。以上内容参考：百度百科——微分

一阶线性微分方程介绍如下：有两种形式：y"=p(y/x)和y"=P(x)y+Q(x)。形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程，数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算。而在微分方程中，自变量对未知函数y而言相当于常数，微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数。而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式。当Q(x)≡0时，方程为y"+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。因为y"是关于y及其各阶导数的1次的，P(x)y是一次项，它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项，所以为齐次。当Q(x)≠0时，称方程y"+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。

线性微分方程解的结构：（dx)/(dt)=Ax+e^atPm(t)。微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。线性微分方程是指以下形式的微分方程：其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。L是线性的条件，排除了诸如把y的导数平方那样的运算；但允许取y的二阶导数。性质：这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如aX+bY+c=0，此处c为关于x或y的0次项。如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

大致有三个条件：①未知函数及其各阶导数都是一次幂。②未知函数及各阶导数的系数只能含有自变量或常数 这在后面一阶线性微分方程中也涉及到了。dy／dx＝－p（x）y十Q（x），其中p（x）就是未知函数含自变量的系数。③不能出现未知函数及各阶导数的复合函数形式。如sinxdx＝cosydy，出现了cosy，为复合函数，所以不是线性微分方程。微分方程是数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系，在初等数学的代数方程里，其解是常数值。微分方程可分为常微分方程及偏微分方程。它在化学、工程学、经济学和人口统计等领域应用广泛。线性及非线性：常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程，因此简化求解的过程。针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。

第一步：求特征根令ar+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)=-β）。第二部：通解1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)。2、若r1=r2，则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)。3、若r1，2=α±βi，则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。分类一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=Q(x)。齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

1、对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程：解为：令C=u(x)，得：带入原方程得：对u"（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：主要思想：数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。参考资料来源：百度百科－一阶线性微分方程

问题一：如何判断一个微分方程是线性，还是非线性微分方程？！ 所谓的线性微分方程 linear differential differentiation，其中 A、只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数； B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算； C、函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算； D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如： siny、cosy、tany、根号y、lny、lgx、y2、y3、y^x、x^y、、、、、 . 若不能复合上面的条件，就是非线性方程 nonlinear differential differentiation. . 问题二：怎样判断线性还是非线性微分方程？ 在常微分方程中，如果右端函数F对未知函数y和它的各介导数y‘，y"‘，y(n)（n介导数）的全体而言是一次的，则它是线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程。y"‘+yy"=x是非线性的。y"+y+y""=x就是现行的。要学好常微分方程，首先要认真听课，掌握好基本的定义。微分方程的解法很重要，各种方程类型要回分辨，对应的解法要记牢掌握。解方程组，只要掌握了公式，考试题目基本可以迎刃而解。当然还要做一定的题目，熟练掌握各种运算技巧。只要下定决心学，没有学不会的。我是数学专业的，开始觉得很难，后来硬着头皮看书，总结题型，最后都掌握了。不要考试时在复习，平时就要抓紧，我周围就有很多失败的例子。祝你好运！ 问题三：如何判断微分方程是否是线性微分方程 线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。 问题四：如何判断一个微分方程是线性，非线性？ 何谓线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。 这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如aX+bY+c=0，此处c为关于x或y的0次项。 如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

一阶线性齐次微分方程公式：y"+P（xy）=Q（x）。Q（x）称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶线性微分方程的求解， 可以从不同的角度、不同的思路去观察和思考，其解题的方法不是唯一的，这可以开阔我们的思路、丰富我们的解题方法。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

公式应该是 ∫e^(-p(x))dx ，这个积分是个不定积分，本身就包含了一个常数。不用再写 ∫e^(-p(x))dx + C 了。正常情况下，微分方程方程都有边界条件 和/或 初始条件， 当你知道p(x) 的具体形式时，算这个不定积分，应该保留一个常数，而后用边界条件 和/或 初始条件来确定常数的值，得到完全确定的解。

一阶线性微分方程中的线性什么意思？答：仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。yy"-2xy=3 yy"有相乘关系，所以不是线性的。y"-cosy=1老师也说是非线性的，y"的系数也是常数啊；答：y的系数是常数，但cosy已经不是幂函数了。还有：求方程ydx+(x-y^3)dy=0的通解答案第一句话是这样的：方程含有y^3,故不是关于未知函数Y的线性方程……线性到底是指什么呀？答：y^3显然不是线性的。前面已经说了：仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。y^3是3次幂而不是一次幂。一楼乱讲。线性根本不是这个概念。一阶导数的系数为常数的叫常系数方程，跟是否线性无关。

你列的这个式子是线性的。请采纳线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。所谓的线性微分方程制，其中：A、只能出现函数本身百，以及函数的任度何阶次的导函数；B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任知何运算；C、函数本身跟本身、道各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。

线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。[1]因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。线性方程也称为一次方程，因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是算数式而非方程式。如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，以此类推。一元方程式一元一次方程式是指一个方程式中仅含有一个变量，且等号两边至少有一个一次单项式的方程。[2]任意一个一元一次方程形式经化的方程。它的解为。以下就是一个例子：它的解便是：一元一次方程式是等于一条线性方程式：简单点来说，如或以上的次方是不容许的。注意：当 a=0时ax+b=0不是一元一次方程式。如果，此方程式无限多解；如果b=0，则此方程式恰一解。线性方程形式形为 ax+by+...+cz+d=0 ，关于x、y的线性方程，是指经过整理后能变形为ax+by+c=0的方程（其中a、b、c为已知数，a、b不同时为0）。一元线性方程是最简单的方程，其形式为ax=b。因为把一次方程在坐标系中表示出来的图形是一条直线，故称其为线性方程。应用二元一次联立方程式求解二元一次联立方程式可以使用代入消去法或加减消去法。[1]代入消去法代入消去法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程式的方法。例如：解得再代入即从而求出加减消去法加减消去法就是将两个方程加或相减，从而消去其中一个未知数的方法。通常，我们先将其中一个方程的两边同时乘以一个不是0的数，使其中的一个系数与另外一个方程的对应系数相同。再将两个方程相加或相减。例如：把两式相加消去x，即从而求出联系线性化关系在例子中（不是特例）变量y是x的函数，而且函数和方程的图像一致。这里f有如下特性：f(x+y)=f(x)+f(y)f(ax)=af(x)这里a不是向量。一个函数如果满足这样的特性就叫做线性函数，或者更一般的，叫线性化。因为线性的独特属性，在同类方程中对线性函数的解决有叠加作用。这使得线性方程最容易解决和推演。线性方程在应用数学中有重要规律。使用它们建立模型很容易，而且在某些情况下可以假设变量的变动非常小，这样许多非线性方程就转化为线性方程。与微分的联系若，则。所以，线性函数并无驻点，即没有极大值和极小值，且线性函数的斜率是未知数x 的系数。

方程中未知函数及其各阶导数只含一次项的微分方程为线性微分方程：如：y“" + y" + y" + y = sinx............线性微分方程yy"+y"+lny + a =0...................非线性微分方程1/y" +y=0................................非线性微分方程y" = siny...................................非线性方程你可以举出好多的例子。总之只需查看：y 和 y"、y”、y"",.....都只含其一次项即为线性微分方程

关于线性微分方程的求解线性微分方程的求解1.1 线性方程首先讲一下什么叫线性方程，含有变量的最高次幂不超过1次的方程，允许0次的存在 。eg. ax+by+cz+d=0;@线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。(1) y"前的系数不能含y，但可以含x，如:x*y"=2 是线性的； y*y"=2 不是线性的。(2) y前的系数也不能含y，但可以含x，如：y"=sin(x)y 是线性的，y"=sin(y)y 是非线性的。(3) 整个方程中，只能出现y和y"，不能出现sin(y)，y^2，y^3等等，如：y"=y 是线性的；y"=y^2 是非线性的。就是关于y的复合函数。1.2 微分方程就带有自变量，未知函数和未知函数的导数的方程。比如y"=sinx , y"=y。对于一阶微分方程，形如：y" + p(x)y + q(x) = 0的称为"一阶线性微分方程"。对于二阶微分方程，形如：y"" + p(x)y "+ q(x)y + f(x) = 0的称为"二阶线性微分方程"。1.3 齐次方程1.方程中所有项的次数都相等。比如xy,x^2,y^2都是二次的。dy/dx、y/x和常数a都是0次的。比如y"=1+y/x.就是齐次方程。2.形如 y" + p(x)y" + q(x)y = 0的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y",y"",…的次数都是相等的（都是一次），“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项）.方程 y" + p(x)y" + q(x)y = f(x)就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。2 一阶线性齐次微分方程y" + p(x)y = 0一阶微分dy/dx，线性y" + p(x)y = 0，齐次是方程不含自由项。求解：dy/dx = -p(x)y ;dy/y = -p(x)dx ;ln|y| = -∫p(x)dx + C ;y=Ce^ -∫p(x)dx ;3 一阶线性非齐次微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)一阶微分dy/dx ,线性 y" + p(x)y - q(x) = 0，非齐次，含有不关于y的自由项。

“线性”是指函数y及其n阶导数的幂都为1； “常系数”是指函数y及其n阶导数前的系数都为常数； “微分方程”即以自变量x,函数y及其n阶导数组成的方程； 组合一下就是线性常系数微分方程了.

微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。常微分方程及偏微分方程-常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变量的函数 。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：fleft(x, frac{d^n y}{dx^n},frac{d^{(n-1)} y}{dx^{(n-1)}},cdots, frac{dy}{dx}, y ight)=0常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变量导数的最高阶数 :p.3，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：x^2 frac{d^2 y}{dx^2} + x frac{dy}{dx} + (x^2 - alpha^2)y = 0（其中y为应变量）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。-偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变量的函数 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。像以下的方程就是偏微分方程：frac{partial u}{partial t} + tfrac{partial u}{partial x} = 0.线性及非线性常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。若微分方程中没有出现未知数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现未知数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程:p.315-316，因此简化求解的过程。针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，至2012年8月为止此问题尚未被证明。线性微分方程常常用来近似非线性微分方程，不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程，但在小角度时可以近似为线性的微分方程。举例以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。非齐次一阶常系数线性微分方程：frac{du}{dx} = cu+x^2.齐次二阶线性微分方程：frac{d^2u}{dx^2} - xfrac{du}{dx} + u = 0.描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：frac{d^2u}{dx^2} + omega^2u = 0.非齐次一阶非线性微分方程：frac{du}{dx} = u^2 + 1.描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：Lfrac{d^2u}{dx^2} + gsin u = 0.以下是偏微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x及t或者是x及y。齐次一阶线性偏微分方程：frac{partial u}{partial t} + tfrac{partial u}{partial x} = 0.拉普拉斯方程，是椭圆型的齐次二阶常系数线性偏微分方程：frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0.KdV方程，是三阶的非线性偏微分方程：frac{partial u}{partial t} = 6ufrac{partial u}{partial x} - frac{partial^3 u}{partial x^3}.

(x-2)dy/dx=y+2(x-2)^3求通解如下图所示：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。一阶齐次线性微分方程对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。一阶非齐次线性微分方程：对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程:解为：令C=u(x)，得:带入原方程得：对u"(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。注意到，上式右端第一项是对应的齐次线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐次线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。

系统的稳态响应求法公司是Y(s)=H(s)X(s)。资料扩展：稳态响应是指当足够长的时间之后，系统对于固定的输入，有了一个较为稳定的输出。在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态。意义：稳定电路的完全响应可分解为暂态响应和稳态响应，二者反映了动态电路的变化过程，暂态响应反映了电路过度过程的特点，稳态响应反映了电路最终变化的趋势。特例：对于直流激励的动态电路，由于微分方程的齐次解（固有响应）是以指数形式衰减的，随着时间的推移，其幅度越来越小，最终衰减为零，这时的固有响应又称为暂态响应。随着时间的推移，最终当电路进入稳定状态时，完全解将只剩下特解（直流形式），即强迫响应，这时强迫响应又称为稳态响应。线性微分方程：线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。微分方程：微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

其实也挺简单的！微分方程是含有未知函数导数（偏导）的方程。如果方程关于未知函数，及未知函数导数（偏）是线性的就叫线性微分方程。简单方法也有，你就把未知函数，及未知函数各阶导数看成a，b，c等，其他看成常数，你再看如果它是a,b,c等的一次多项式，那么它就是线性的。例如:dy/dx+2yx+1=0dy/dx看成a，y看成b,->a+2xb+1=0是a,b的一次多形式，所以它是线性微分方程dy/dx+2ydy/dx+1=0dy/dx看成a，y看成b,->a+2xab+1=0，出现了ab二次项，他不是a,b的一次多形式，所以不是线性微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。定义线性方程也称为一次方程，因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是算数式而非方程式。如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，以此类推。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。否则称其为非线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。在代数方程中，仅含未知数的一次幕的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为:即方程的最高次项是-次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0， 此处c为关于x或y的0次项。扩展资料微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y"=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0 的称为"线性" 对于二阶微分方程,形如:y""+p(x)y"+q(x)y+f(x)=0 的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的 但y"=y^2不是线性的 注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2 不是线性的 x*y"=2 是线性的 (2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y 是线性的 y"=sin(y)y 是非线性的 (3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y 是线性的 y"=y^2 是非线性的

微分方程中的线性，指的是y及其导数y"都是一次方。如y"=2xy。非线性，就是除了线性老汪的。如y"=2xy^2。线性方程：在代数升罩方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。解方程的注意事项1、有分侍笑仔母先去分母。2、有括号就去括号。3、需要移项就进行移项。4、合并同类项。5、系数化为1求得未知数的值。6、开头要写“解”。[tele.tzkjjx.cn/article/263895.html][tele.gzsdyhg.cn/article/965740.html][tele.bdtcs.com.cn/article/927104.html][tele.wolcol.cn/article/714850.html][tele.bdtcs.com.cn/article/907381.html][tele.wolcol.cn/article/379148.html][tele.xj1985.cn/article/391256.html][tele.0739zpl.cn/article/807591.html][tele.xj1985.cn/article/270591.html][tele.thw100.cn/article/609251.html]

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y、y。扩展资料：微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。参考资料来源：百度百科-微分方程

线性常系数微分方程介绍如下：常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1故 a=-2，b=1对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x设其特解为 y*=Ax+B代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x整理可得（A-1）x+（B-2A）=0所以 A=1，B=2所以特解为 y*=x+2通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2将y（0）=2，y（0）=0 代入可得C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2故答案为-xex+x+2扩展资料：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y、y。扩展资料：微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。参考资料来源：百度百科-微分方程

微分方程中的线性，指的是y及其导数y"都是一次方。如y"=2xy。非线性，就是除了线性的。如y"=2xy^2。线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。解方程的注意事项1、有分母先去分母。2、有括号就去括号。3、需要移项就进行移项。4、合并同类项。5、系数化为1求得未知数的值。6、开头要写“解”。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。微分方程中的未知函数在代数方程中，仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。否则称其为非线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。在代数方程中，仅含未知数的一次幕的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为:即方程的最高次项是-次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0， 此处c为关于x或y的0次项。扩展资料微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y"=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y、y。扩展资料：微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。参考资料来源：百度百科-微分方程

一阶线性微分方程通解公式为y"+P(x)y=Q(x)。一般的一阶线性微分方程可以写成y"+p(x)y=g(x)两边同时乘e^P（P是p的一个原函数）就得到d(ye^P)/dx=ge^P。所以ye^P=∫ge^Pdx。y=e^(-P)*(GG+C)（GG是ge^P的一个原函数）这里就是代入p=1，g=e^(-x)。一阶线性微分方程通解公式定义：形如 (1)的方程称为一阶线性微分方程。方程式（1）的特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设，是x的连续函数。若，式（1）变为（2）称为一阶齐线性方程。如果不恒为0，方程式（1）称为一阶非齐线性方程。式（2）也称为对应于式（1）的齐线性方程。式（2）是变量分离方程，它的通解为 (3)，这里C是任意常数。一阶线性微分方程通解公式通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。

线性微分方程的判断1、未知函数及其各阶导数都是一次幂。2、未知函数及各阶导数的系数只能含有自变量或常数。这在后面一阶线性微分方程中也涉及到了。dy／dx＝－p（x）y十Q（x），其中p（x）就是未知函数含自变量的系数。3、不能出现未知函数及各阶导数的复合函数形式。如sinxdx＝cosydy，出现了cosy，为复合函数，所以不是线性微分方程。微分方程是数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系，在初等数学的代数方程里，其解是常数值。微分方程可分为常微分方程及偏微分方程。它在化学、工程学、经济学和人口统计等领域应用广泛。线性及非线性：常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程，因此简化求解的过程。针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。线性微分方程是指个函数y()的某一次微分与该数或它的其它次微分或它的函数值有一定关系的微分方程。线性微分方程可以采用明确的形式表达，它是由常数系数和未知函数及其一次或多次微分构成的表达式。判断一个方程是否为线性微分方程，首先可以从它的形式上判断，即看它的右边是否只有未知函数和它的一次或多次微分，而左边是否只有次或多次微分。如果满足这两个条件，则可以认为这是一个线性微分方程。其次，可以判断方程中的系数是否为常数即看它的系数是否有变量。如果没有，则可以认为它是一个线性微分方程。此外，还可以从函数的结构上判断方程是否为线性微分方程。即看函数的形式是否为一元多项式、指数函数、对数函数或三角函数的线性组合。如果满足这一条件，也可以认为它是一个线性微分方程。最后，还可以从函数的解的形式上判断万程是否为线性微分方程。即看解的形式是否可以表示为常数乘以指数函数或三角函数的线性组合。如果满足这一条件，也可以认为它是一个线性微分方程。总的来说，判断一个方程是否为线性微分方程，需要从它的形式、系数、函数的结构和函数的解的形式上进行判断。只有满足所有条件才可以认为它是一个线性微分方程。

问题一：如何判断一个微分方程是线性，还是非线性微分方程？！ 所谓的线性微分方程 linear differential differentiation，其中 A、只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数； B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算； C、函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算； D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如： siny、cosy、tany、根号y、lny、lgx、y2、y3、y^x、x^y、、、、、 . 若不能复合上面的条件，就是非线性方程 nonlinear differential differentiation. . 问题二：怎样判断线性还是非线性微分方程？ 在常微分方程中，如果右端函数F对未知函数y和它的各介导数y‘，y"‘，y(n)（n介导数）的全体而言是一次的，则它是线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程。y"‘+yy"=x是非线性的。y"+y+y""=x就是现行的。要学好常微分方程，首先要认真听课，掌握好基本的定义。微分方程的解法很重要，各种方程类型要回分辨，对应的解法要记牢掌握。解方程组，只要掌握了公式，考试题目基本可以迎刃而解。当然还要做一定的题目，熟练掌握各种运算技巧。只要下定决心学，没有学不会的。我是数学专业的，开始觉得很难，后来硬着头皮看书，总结题型，最后都掌握了。不要考试时在复习，平时就要抓紧，我周围就有很多失败的例子。祝你好运！ 问题三：如何判断微分方程是否是线性微分方程 线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。 问题四：如何判断一个微分方程是线性，非线性？ 何谓线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。 这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如aX+bY+c=0，此处c为关于x或y的0次项。 如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。扩展资料：线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0 的称为"线性" 对于二阶微分方程,形如:y""+p(x)y"+q(x)y+f(x)=0 的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的 但y"=y^2不是线性的 注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2 不是线性的 x*y"=2 是线性的 (2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y 是线性的 y"=sin(y)y 是非线性的 (3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y 是线性的 y"=y^2 是非线性的

线性即(直观的说，做题直接可以判断的依据)：方程中不含交叉项，如：yy"、yy""、y"y""等方程中不含高次项，如：(y"")^2、y^3等方程不含有负次项，如：1/y、1/y""等说白了就是不是这些东西(y、y"、y""、y"""...)的线性组合，还有例如什么e^y+y""、siny"+y多了去了ay+by""+cy"""...就是他们的线性的组合了总之不是这些东西的线性的组合，列写出来即为非线性方程。微分方程论是数学的重要分支之一。大致和微积分同时产生，并随实际需要而发展。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。中文名：微分方程外文名：The differential equation数学范畴：高等数学发明人：艾萨克·牛顿所属学科：数学理论基础：极限理论

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y、y。扩展资料：微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。参考资料来源：百度百科-微分方程

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1故 a=-2，b=1对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x设其特解为 y*=Ax+B代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x整理可得（A-1）x+（B-2A）=0所以 A=1，B=2所以特解为 y*=x+2通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2将y（0）=2，y（0）=0 代入可得C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2故答案为-xex+x+2扩展资料：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。否则称其为非线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。在代数方程中，仅含未知数的一次幕的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为:即方程的最高次项是-次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0， 此处c为关于x或y的0次项。扩展资料微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y"=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

微分方程中的线性，指的是y及其导数y"都是一次方。如y"=2xy。非线性，就是除了线性的。如y"=2xy^2。线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。解方程的注意事项1、有分母先去分母。2、有括号就去括号。3、需要移项就进行移项。4、合并同类项。5、系数化为1求得未知数的值。6、开头要写“解”。