xy2在x2+y2<=4的定义域内的二重积分为多少

要计算函数 \( xy^2 \) 在 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 的定义域内的二重积分，我们首先识别出这是一个圆形区域，半径为2。这个积分可以通过极坐标来简化计算。

在极坐标中，\( x = r \cos \theta \) 和 \( y = r \sin \theta \)，并且 \( x^2 + y^2 = r^2 \)。因此，积分区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 变为 \( 0 \leq r \leq 2 \) 和 \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \)。

现在，我们可以将二重积分写成极坐标形式：

\[

\iint_{x^2 + y^2 \leq 4} xy^2 \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \sin^2 \theta \cos \theta \, dr \, d\theta

\]

首先对 \( r \) 积分：

\[

\int_0^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} = 4

\]

然后对 \( \theta \) 积分：

\[

\int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta

\]

这个积分可以通过使用三角恒等式 \( \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \) 来简化：

\[

\int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 - \cos 2\theta) \cos \theta \, d\theta

\]

这个积分可以通过分部积分或查表来解决。经过计算，我们得到：

\[

\int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \left[ \pi - 0 \right] = \frac{\pi}{2}

\]

将这两个结果相乘，我们得到：

\[

\iint_{x^2 + y^2 \leq 4} xy^2 \, dx \, dy = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi

\]

所以，函数 \( xy^2 \) 在 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 的定义域内的二重积分是 \( 2\pi \)。